Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 230 -
Bài 6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỶ

I. Hệ phương trình cơ bản
1. Hệ đối xứng loại I
VD 285. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2 3
3
x xy y
x xy y
++=
+ + =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 1;1x y = ⋅
b)
2 2
5
6
x xy y
x y y x
+ + =
+ =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 1; 2 ; 2;1x y = ⋅
c)
2 2
1 1 1
2
5
x y
x y
+ = −
+ =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 1;2 ; 2; 1x y = − − ⋅
d)
2 2 4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
+ + + =
+ + + + =
ĐS:
( )
( )
( ) ( )
{
}
; 2; 2 ; 1; 2 ; 2;1x y = ± − − ⋅∓
e)
3 3
8
2 2
x y
x y xy
+ =
+ + =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 2;0 ; 0; 2x y = ⋅
f)
3 3 3 3
17
5
x x y y
x xy y
+ + =
+ + =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 1; 2 ; 2;1x y = ⋅
g)
2 2
4 4 2 2
13
91
x y xy
x y x y
+ + =
+ + =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 3; 1 ; 1; 3x y = ± ± ± ± ⋅
h)
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
+ + =
+ + =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 1; 2 ; 2; 1x y = ± ± ± ± ⋅
i)
4 4 2 2
2 2
6 41
( ) 10
x y x y
xy x y
+ + =
+ =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 1; 2 ; 2; 1x y = ± ± ± ± ⋅
VD 286.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
2 2
1 1 5
1 1 9
x y x y
x y x y
+ + + =
+ + + =
ĐS:
( )
3 5 3 5
; 1; ; ;1
2 2
x y
± ±
= ⋅
b)
2 2
2 2
1
( ) 1 49
1
( ) 1 5
x y x y
x y xy
+ + =
+ + =
ĐS:
( )
7 3 5 7 3 5
; 1; ; ; 1
2 2
x y
± ±
= − − ⋅
c)
2 2 2 2 2 2
( )(1 ) 18
( )(1 ) 208
x y xy xy
x y x y x y
+ + =
+ + =
ĐS:
( ) ( )
( )
{
}
; 0;0 ; 7 4 3;2 3x y = ± ± ⋅
d)
2 2
2 2
4
1 1 4
x y x y xy
yx
x y x y
+ + + =
+ + + =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 1;1x y = ⋅
e)
2 2 4 4 2 2
( ) 4
( )( ) 4
yx
x y x y
x y x y x y
+ + =
+ + =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 1;1x y = ⋅
www.VNMATH.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 231 -
VD 287.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
6
20
x y y x
x y y x
+ =
+ =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 1; 4 ; 4;1x y = ⋅
b)
2 2
3 3
33
2( ) 3( )
6
x y x y xy
x y
+ = +
+ =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 64;8 ; 8;64x y = ⋅
c)
2 2 2 8 2
4
x y xy
x y
+ + =
+ =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 4; 4x y = ⋅
d)
3
1 1 4
x y xy
x y
+ − =
+ + + =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 3;3x y = ⋅
e)
2 2
2 2
1 1 2
1 1 1
x y xy
x y
− + − = +
+ =
ĐS:
( )
( )
{
}
; 2; 2x y = ± ± ⋅
f)
1 1 3
5 ( 1)( 1)
x y
x y x y
− + − =
+ = + − −
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 2; 5 ; 5;2x y = ⋅
g)
2 2 3 4 3
2 2
x y xy xy
x y
+ + + =
+ =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 2; 2x y = ⋅
2. Hệ đối xứng loại II
VD 288.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
2
4 3
4 3
x x y
y y x
− =
− =
ĐS:
( ) ( )
1 13 1 13
0; 0 ; 7;7 ; ;
2 2
±
⋅
∓
b)
2
2
3(2 )
3(2 )
x xy y
y xy x
− = +
− = +
ĐS:
( ) ( )
3 3 3 3
; 2; 2 ; ;
2 2
x y
+ −
= − − − ⋅
c)
2
2
1
1
xy x y
xy y x
+ = +
+ = +
ĐS:
( ) ( ) ( )
1 1
; 1;1 , ; , ; 1
2 2
x y a a
= − − − − ⋅
d)
2 2
2 2
( 1)( 6) ( 1)
( 1)( 6) ( 1)
x y y x
y x x y
− + = +
− + = +
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{
}
; 2; 2 ; 3; 3 ; 3; 2 ; 2; 3x y = ⋅
e)
3
3
1 2
1 2
x y
y x
+ =
+ =
ĐS:
( ) ( )
1 5 1 5
; 1;1 , ;
2 2
x y
− ± − ±
= ⋅
f)
1 3
2
1 3
2
xy x
yx y
+ =
+ =
ĐS:
( ) ( )
( )
{
}
; 1; 1 , 2; 2x y = ± ± ± ⋅
∓
g)
(5 4 )(3 2 ) 7 2
(5 4 )(3 2 ) 7 2
x y x y y x
y x y x x y
− + = −
− + = −
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 0;0 ; 1;1x y = ⋅
h)
2 2 2
2 2 2
(6 4 )( 1) 5 ( 1)
(6 4 )( 1) 5 ( 1)
x y x y y x
y x x y x y
+ + − = +
+ + − = +
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 0;0 ; 1; 1x y = ± ± ⋅
i)
4 2 3
4 2 3
90
8
90
8
x y xy x
y x yx y
+ − − =
+ − − =
ĐS:
( ) ( )
9 9 1 1
; 0;0 ; ; ; 1; ; ;1
8 8 2 2
x y
= ⋅
www.VNMATH.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 232 -
VD 289.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
2 2
x y
y x
+ − =
+ − =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 0;0 , 2;2 .x y =
b)
1 7 4
1 7 4
x y
y x
+ + − =
+ + − =
ĐS:
( ) ( )
; 8;8 .x y =
c)
5 2 7
2 5 7
x y
x y
+ + − =
− + + =
ĐS:
( ) ( )
; 11;11 .x y =
d)
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x
+ + = +
+ + = +
ĐS:
( ) ( )
; 1;1 .x y =
e)
2 3 4 4
2 3 4 4
x y
y x
+ + − =
+ + − =
ĐS:
( ) ( )
11 11
; 3; 3 , ;
9 9
x y
= ⋅
f)
2 2
2 2
1 1 2
1 1 2
x y y x
x x y y
+ + + =
+ + + =
ĐS:
( )
5 1 5 1
; ;
2 2
x y
− −
= ⋅
g)
2 2 2
2 2 2
(1 )(1 )
(1 )(1 )
x x y x y
y y x y x
− − = −
− − = −
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 0;0 ; 1;1x y = ⋅
VD 290.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
( )(3 4 ) 2
( )(3 4 ) 2
x y xy x
x y xy y
+ − = −
+ + =
ĐS:
( )
2 2
3 3
2 1 2 1
; 2 ;
3 3
x y
− −
= ⋅
b)
4 3
4 3
8 4( 1) 16 3
8 4( 1) 16 3
x y x
y x y
+ = − −
+ = − +
ĐS:
( )
( )
; 1 3;1 3 .x y = ± ±
c)
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
+ + + + + + + + + =
+ + + − + + + + − =
ĐS:
( ) ( )
; 4; 4 .x y =
d)
12
1 2
3
12
1 6
3
x
y x
y
y x
− =
+
+ =
+
ĐS:
( )
( )
; 4 2 3;12 6 3 .x y = + +
e)
2 2
2 2
1
2 1 3
1
2 1 1
xx y
yx y
+ =
+
− =
+
ĐS:
( ) ( )
1 1
; 1;1 ; ;
2 2
x y
= − ⋅
f)
2 2
2 2
78 20
78 15
y
xx y
x
yx y
+ =
+
+ =
+
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 2; 3 ; 18;12x y = ⋅
g)
2
2
2 2 1 34 2
2 2 1 34 2
x x y x xy
y x y y xy
+ − + − − = +
+ − + − − = −
ĐS:
( ) ( )
; 2; 5 .x y = −
www.VNMATH.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 233 -
3. Hệ đẳng cấp và phương pháp thế tạo phương trình bậc cao hoặc phương trình đẳng cấp
VD 291.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y
− =
− − =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 2;1 ; 2; 1x y = − − ⋅
b)
2 2
2 2
239
2 2 2
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
ĐS:
( )
3 17 8 17
; ;
17 17
x y
= ± ⋅
∓
c)
2 2
2 2
3 1
2 2 1
x xy y
x xy y
− + = −
+ − =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 1; 1x y = ± ± ⋅
d)
2 2
2 2
2 3 9
2 13 15 0
x xy y
x xy y
−+=
− + =
ĐS:
( ) ( )
5 1
; 3; 2 , ;
2 2
x y
= ± ± ± ± ⋅
e)
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
ĐS:
( ) ( )
4 3 5 3
; 1; 2 ; ;
3 3
x y
= ± ± ± ⋅
∓
f)
2 2
2 2
2 3 9
2 13 15 18
x xy y
x xy y
−+=
−+=
ĐS:
( ) ( )
3 2 3 2
; 3;0 ; ;
2 2
x y
= ± ± ± ⋅
VD 292.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
2 2
14 21 22 39 0
35 28 111 10 0
x y x y
x y x y
− + − =
+ + − =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 0;0 , 3;1x y = − ⋅
b)
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
+ − =
− − =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 3; 1 , 3;1x y = − − ⋅
c)
2 2
2 2
2 ( 1) 3
3 2
x x y y y
x xy y x y
− − + =
+ − = −
ĐS:
( ) ( ) ( )
7 3
; 0;0 ; 1;1 ; ;
43 43
x y
= ± ⋅
d)
2 2
2 2
14 21 6 45 14 0
35 28 41 122 56 0
x y x y
x y x y
− − + − =
+ + − + =
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 1;2 , 2; 3x y = − ⋅
VD 293.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
3
2
2 5 7
3 2 3
x xy y
x x y
− + =
− + =
ĐS:
( )
6 2 33 153 44 23
1; 2 ; ;
7 49
± −
⋅
∓
b)
2 2 2
7 1
10 1
xy x y
x y y
= + +
= −
ĐS:
( ) ( )
1
; 3; 1 ; 1; 3
x y
= − − ⋅
c)
3 2
4 6 2
2 ( 1) 4
5 4
x y x x
x x y
+ + =
− =
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
{
}
; 0; 0 ; 1;1 ; 2; 2x y = ⋅
d)
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1
( 1) 1
x y y x x x
x y x
+ + + = − +
+ + =
ĐS:
( ) ( )
5
; 1; 1 ; 2; 2
x y
= − − − ⋅
e)
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
+ + = +
+ = +
ĐS:
( )
17
; 4; 4
x y
= − ⋅
f)
5
12
3
2( 3) 1 4
x y
y x x
− + =
+ − + = −
ĐS:
( )
3
; 3; 4
x y
= − ⋅
VD 294.
Giải các hệ phương trình sau:
www.VNMATH.com
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 234 -
a)
2
3 2 2 3
5 3 3
3
x y x xy
x x y y
− = −
− = −
ĐS:
( ) ( )
1 1
; ; ; 1;1
2 2
x y
= − ⋅
b)
3 3 2
4 4
1
4 4
x y xy
x y x y
+ − =
+ = +
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1 1
; 0;1 ; 1;0 ; 1;1 ; ;
25 25
x y
= ⋅
c)
3 3
2 2
2 4
13 41 21 9
x y x y
x xy y
− = +
− + = −
ĐS:
( ) ( ) ( )
{
}
; 2;1 ; 2; 1x y = − − ⋅
d)
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
+ =
+ + =
ĐS:
( )
3 3
3 3
1 1 3 2 3
; ; , ;
3 3
2 2
x y
= ⋅
e)
3 3
2 2
8 2
3 6
x x y y
x y
− = +
− =
ĐS:
( )
6 6
1; 3 ; ;4
13 13
± − ⋅
f)
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )
x y y x
y x
+ = +
+ = +
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
{
}
; 0; 2 ; 1; 3 ; 1;3x y = ± − − ⋅
g)
3 3
2 2
2 9 ( )(2 3)
3
x y x y xy
x xy y
− = − +
−+=
ĐS:
( )
{
}
( ; ) 2; 1x y = ± ± ⋅
h)
2 2
4
( )( ) 15x y x y
y y x
+ + =
+ =
ĐS:
( ) ( )
( )
{
}
3 3
; 2;1 , 2 3; 3x y = − ⋅
i)
2 2
2 2 5
2
( )(4 2 ) 2
x y
x y x y xy y
+ =
+ − − =
ĐS:
( ) ( )
{
}
; 1; 1x y = ± ± ⋅
II. Biến đổi một phương trình về tích số, kết hợp với phương trình còn lại
1. Sử dụng tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai đưa 1 phương trình về tích
VD 295.
Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
2 2
7
2 2
x xy y
x xy y x y
++=
− − = − +
(CĐ – 2014)
ĐS:
( ) ( ) ( ) ( )
{
}
; 2; 1 ; 2; 3 ; 3;2x y = ± ± − − ⋅
b)
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+−=
− + + − − =
(D – 2012)
ĐS:
( ) ( )
1 5
; 1;1 , ; 5
2
x y
− ±
= ± ⋅
c)
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
(A – 2011)
ĐS:
( ) ( )
2 2 2
; 1; 1 , ;
5 5
x y
= ± ± ± ± ⋅
d)
2 2
2 2
2 0
3 7 3 0
y xy x
x xy y x y
+ − =
− − + + + =
ĐS:
( ) ( )
13 157
13 157; 2
1; 1 , 3; 3
−
− ±
⋅
− −
∓
e)
2 2
2 2
2 5 2
4
x xy y x y
x y x y
+ − = − −
+ + + =
ĐS:
( ) ( )
4 13
; 1;1 , ;
5 5
x y
= − − ⋅
f)
2
2 2
5 3 6
4 3 2 9
x x xy y
x y xy y
+ − = −
− + =
ĐS:
( )
45 3 233 1 9
3; , 1;1 , ;
4 4 4
− ±
− − ⋅
g)
3 2 2
3 2
2 2
2 4
x x y xy y x y
x xy x
+ − = − −
−+=
ĐS:
( ) ( )
1 17
; 1; 1 , ;10 17
2
x y
±
= − ± ⋅
h)
2 2 3
3 2
2 8 4 0
16 2 8 5 0
x xy xy y
x x y
− − + =
+ − + =
ĐS:
( )
1 3 19 3 19
; ;1 , ;
2 4 2
x y
± ±
= ⋅
www.VNMATH.com