Hephươngtrınh&cacphươngphapgiai
Phần1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 1
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA PEN – C 2015 - 2016
MÔN TOÁN
NGUYỄN BÁ TUẤN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
& CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
(Phần 1: Biến đổi đại số và phép thế)
Tài liệu dành tặng học sinh
Hephươngtrınh&cacphươngphapgiai
Phần1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 2
I. Phép rút - thế.
II. Sửdụng các phép biế n đổ i đạ i sốlàm xuất hiệ n phư ơ ng trình tích.
1. Sửdụng các phép biế n đổ i sơ cấ p đơ n giả n.
2. Hệ phư ơ ng trình có dấu hiệu chứ a 1 phư ơ ng trình dạ ng đẳ ng cấp.
3. Quy 1 phư ơ ng trình vềdạ ng phư ơ ng trình bậc 2.
4. Hệ đồ ng bậc.
5. Phư ơ ng pháp hệ sốbấ t định (UTC).
6. Phư ơ ng pháp liên hợ p.
Khi gặp 1 bài hệ phương trình thì ta có thứtự ưu tiên cho các hướng giải sau:
+ Phép rút - thế
Hệ có phư ơ ng trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay
vào phư ơ ng trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từ ng đề bài cụthểmà ta có thểthếcụm
biểu thứchay thếhằng số.
+ Sửdụng các phép biến đổi đại sốlàm xuất hiện phư ơ ng trình tích.
- Nế u 1 trong 2 phư ơ ng trình của hệcó dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậ c 2 đó như
bình thư ờ ng để tìm mối quan hệgiữa x và y.
-Phương pháp hệ sốbất định (UCT): Với 1 vài hệ đơ n giả n ta quan sát nếu thấ y 2 phư ơ ng
trình của hệcó form giống nhau thì thửcộng (trừ) 2 vế tư ơ ng ứ ng củ a các phư ơ ng trình
trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tửchung. Đỉnh cao của việc kết hợ p 2 phư ơ ng trình để tìm
ra mối liên hệ x, y đó là phư ơ ng pháp hệ sốbấ t định (UCT).
-Phương pháp liên hợp: biế n đổ i đư a 1 phư ơ ng trình trong hệvềdạng nhân tử.
+ Sửdụ ng PP đặ tẩn phụ:
-Quan sát phư ơ ng trình có chứa các biệt thức:
2 2
, ,( ) , .....,( ) .xy x y x y x y x y
thì đặ t
tổng –tích (P=x+y, S=xy).
-Sơ chế hệbằng các phép nhân, chia
2 2
, , , , , , ....
k k
x y xy x y x y
để xuất hiện dấu hiệ u đặ tẩn phụ.
- Với những bài có chứ a căn thì thư ờ ng đặ t căn thứ c đó làm ẩ n phụ.
+ Sửdụng PP hàm số
+ Sửdụ ng PP đánh giá
+ Sửdụ ng PP lư ợ ng giác
+ Kết hợp vận dụng nhiề u phư ơ ng pháp
Hephươngtrınh&cacphươngphapgiai
Phần1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 3
I. PHÉP RÚT - THẾ
Bài 1. Giải hệ phư ơ ng trình:
4 3 3 2 2
3 3
9 9 (1)
7 (2)
x x y y y x x y x
x y x
Giải
Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=>
x y
TừPT(1) nhận thấy các hệsố tư ơ ng ứ ng của các hạng tửcùng bậ c là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp
để tìm nhân tửchung:
3 3 3
3
7 7
(2) y x y x
x x
Thay vào (3) ta đư ợ c:
2
3
3
2
2 3 3
3
3
2
3 2 3 3
3
3
2
3
3 6 2 4
3
79
7 7
2 . 9 0
7 7
2 . . 9 0
2 . 7 7 9 0 (4)
x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x x
Xét hàm số:
2
3
3 6 2 4
3
( ) 2 7 7 9, 0f x x x x x x x x
Hephươngtrınh&cacphươngphapgiai
Phần1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 4
6 2 8 4
3
2 6 2
2 2
2
6 2
34
3
6 14 1 9 70 49
'( ) 3 2 7 . 0, 0
3
3 7 7
x x x x
f x x x x x
x x x x
Suy ra
( )f x
đồ ng biến trên
0;
mà:
(1) 0f
Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất
1 2x y
Vậy hệ phư ơ ng trình đã cho có 1 nghiệm:
; 1;2x y
Bài 2. Giải hệ phư ơ ng trình:
2 2
2 2 2 2
3
1 4 1 8
x y xy x
x xy y x
Giải
Bình phư ơ ng 2 vế củ a phư ơ ng trình (1):
2
2 2 2 2 3x y x y x
Hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đư ơ ng vớ i:
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 0 3 0
3 3 0
4 8 3
0
3 0 0; 0
0
1 0 5
11; 5
33
xy x xy x
x y x y x x y x
x y x y x y x y x y x
x
xy x x y
y
x y x xx y
x y x y x x y x y x
Bài 3. Giải hệ phư ơ ng trình:
2
2 2 2
2 2 1
2 1 2 3 2 4 2
xy y x
y x x x x x
Giải
Nhận xét: từ phư ơ ng trình (1) ta có thểrút y theo biến x và do
2 2 2
2 0 2 0x x x x x x x x x x
Hephươngtrınh&cacphươngpha pgia i
Phần1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 5
Nên ta có (1)
2 2
2
2
2 2 2
2
y x x y x x
x x
Thế
22y x x
vào phư ơ ng trình (2) ta có:
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 1 2 3 2 4
1 2 2 1 2 3 0
1 1 1 2 1 2 (*)
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
Xét hàm số
2
( ) 1 2f x t t
ta có:
2
2
2
'( ) 1 2 0, ( )
2
t
f t t t f t
t
đồ ng biến trên
1
(*) 1 1 2
f x f x x x x
11
2
x y
. Vậy hệ đã cho có nghiệm là
1
2
1
x
y
Bài 4: Giải hệ phư ơ ng trình:
3 3
2 2
4 16 (1)
1 5 1 (2)
x y y x
y x
Giải
“Thế hằng số”
PT
2 2
(2) 5 4 (3)y x
Thay vào (1) ta đư ợ c: