Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa
H ÌNH H ỌC 10 Ch ư ơng 2. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
2
§1.Tích vô hướng của hai vectơ
o
o
180
a≤ ≤
o
o
o
o
o
và a không phải là góc đặc biệt
o (0 ;30 ; 45 ;60 ;90 )
càc giá trị
0
9
• Nếu
A .Tóm tắt giáo khoa : 1 . Góc giữa hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc .Số đo a ( tính bằng độ ) của một góc hình học thỏa : 0 a≤ ≤ 0o
lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi
y
o
o
, ta dùng góc bù để tính giá
90
180
• Nếu
a< ≤
(cid:71) a
o
trị lượng giác của a : a
sin(180
a
)
sin
=
−
(cid:71) b
o
cos
a
cos(180
a
)
= −
−
o
tan
a
tan(180
a
)
= −
−
o
O
x
cot
a
cot(180
a
)
= −
−
;
;
(cid:71) a
)
(cid:71) b ≠
b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) ;a OB b
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) Vẽ các vectơ OA
(cid:71) (cid:71) ;a b
=
(cid:71) ( 0 Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ
(cid:71) (cid:71) .a b
= (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) Ký hiệu : ( , )a b 2 . Tích vô hướng của hai vectơ : a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ
ký hiệu là
là một số xác định bởi :
(cid:71) (cid:71) ,a b
(cid:74)(cid:71)(cid:71) . a b
(cid:71) (cid:71) a b
(cid:71) (cid:71) , ) a b
cos(
=
D
)
=
C
b) Tính chất : (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71) . . a b b a = (cid:71) (cid:71) (cid:71) .( a b c + (cid:71) (cid:71) k a b )
(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:71)(cid:71) a b ac . + (cid:71) (cid:71) (cid:71) a kb .( k a b ( . )
(
(cid:74)(cid:74)(cid:71) )
=
=
A
F
E
B
2
2
Ta cũng có các kết qủa sau : (cid:71) (cid:71) . a b
(cid:71) a
(cid:71) a
(cid:71) a
(cid:71) b
0
;
= ⇔ ⊥
=
Chú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức :
2
2
2
+
2
2
(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) a ) a b ( = + (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71) a b a b )(
(
(cid:71) (cid:71) (cid:71) a b b 2 . + (cid:71) (cid:71) b a
)
+
−
−
=
c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ ,
. Gọi E , F lần lượt là hình chiếu
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ;AB CD
vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB . Ta có công thức :
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . . AB CD AB EF =
(cid:71) a
) ;
(
)
(cid:71) b
=
d) Công thức về tọa độ : Cho các vectơ : ( =
. Ta có các công thức :
a a , 1
2
b b , 1 2
2
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
3
2
2
a
+
a 1
2
+
a b 2 2
a b 1 1
(cid:71) a = (cid:71) (cid:71) a b . (cid:71) a
0
⊥ ⇔ +
=
a b 1 1
a b 2 2 a b 1 1
= (cid:71) b (cid:71) (cid:71) a b cos( , )
=
+ 2
2
.
+
+
a b 2 2 2 b 1
b 2
2 a 1
a 2
3 . Áp dụng :
( A , B cố định ; k là hằng số )
(1)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB k= .
2
2
Bài toán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : Gọi I là trung điểm của AB , ta có : (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) k MI IA MI )(
(cid:74)(cid:74)(cid:71) IB
(1)
IA
)
k
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MI ( ⇔ +
= ⇔
+
−
=
2
2 IM k
IA
⇔
= +
2
k
0:
Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I ,
)
2 IA+
k • +
>
IA 2
IA
0:
Tập hợp các điểm M là :
k • +
=
{ }I
2
IA
0
: Tập hợp các điểm M là tập rỗng
k • +
<
Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . Cho đường tròn tâm I , bán kính R và một điểm M . Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường
(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) .MA MB
được gọi là
phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) .
tròn taị A và B . Biểu thức Ta có : M
I /( )
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . '
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) IB MI ).(
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ') IB
Ρ
=
=
=
+
+
2
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( MA MB MB MB MI . (cid:74)(cid:74)(cid:71) IB
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ' IB do IB (
MI
)
= −
−
=
T
A
2
2
MI
R
=
−
M
2
/( )
I MT =
B
M
I
B'
o
o
Chú ý : Do biểu thức trên , ta cũng có : Ρ ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ) B . Giải toán : Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác của một góc Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau o
) cot(42 12 ')
) sin 65 43'36"; ) tan(62 25'16"); b
a
c
Giải : Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ
Deg Rad Gra 2 1
tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028 o
o
o
Ấn phím 1 để chọn đơn vị đo góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 ÷ Vậy
sin 65 43'36" 0,9115; tan(62 25'16") 1,9145;cot(42 12 ') 1,1028
=
=
=
Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619
Giải :
3
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
4
a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 . 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên
o20 29 '58"
o
29 '58"
Vậy : x = 20 b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan 2 = o’” màn hình hiện lên
o
Vậy :
x =
o 63
26 '5"
63 26 '5" c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( 1 ÷ 2 . 6 1 9 ) = o’” màn hình hiện lên o
o
Vậy : x =
20 53'53"
20 53'53"
Dạng toán 2 : Tính giá trị lượng giác của góc giữa 2 vectơ Ví dụ 1 : Cho hình vuông ABCD ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau :
(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) ) CA DC ;
(cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) AC BC ;
. (
(
)
Giải : Ta có : (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71)
:
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC BC ,
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC AD DAC ) ,
)
(
45o
(
=
=
=
o
B
Do đó :
sin(
)
sin 45
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC AD ⇒ = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AC BC =
=
A
2 2
o
cos(
)
cos 45
=
=
o
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AC BC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AC BC
tan 45
1 cot(
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AC BC
)
)
2 2 = =
=
D
E
C
và ta có :
tan( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) Tương tự , vẽ CE
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) DC
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , CA DC (
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , CA CE
)
(
;
) 135o
=
=
α
=
=
2
−
o
o
o
sin
sin135
sin 45
;cos
cos135
o cos 45
;
α
=
=
=
α
=
= −
=
o
o
(vì 135
; 45
bù nhau )
2
o tan 45
o tan135
1; cot
1
=
α
= −
= −
α
2 2 = −
tan Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm ; AD =3cm . Tính các góc :
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) , A C AD b
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) , CA BC
a
) ;
(
)
(
=
=
B
Giải : Ta có : a = góc CAD Suy ra :
A
'
o 53 7
=
=
b
(
a tan (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CA BC ,
)
CD 4 = AD 3 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CA CE , (
)
) ; (
=
=
a 1,333 ⇒ = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CE BC =
C
D
o
o
'
−
53 7 ' 126 53 =
E
A
M
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . BM BN
(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) . AC CB
;
N
C
Suy ra b = gócACE .Mà gócACE và góc CAD bù nhau o Nên b = 180 Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a . M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC Tính những tích vô hướng sau : (cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) AB AC ; . Giải : Ta có
B
2
9
o
.
cos 60
a a 3 .3 .
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB AC AB AC =
=
=
1 2
a 2
4
www.saosangsong.com.vn/
E
5
Vẽ
)
; (
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC CB ,
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CE CB ( ,
)
BCE
=
=
=
o
cos120
a a 3 .3 .(
)
=
1 − 2
120o 2 9 a − 2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BM BN .
=
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CE AC = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AC CB AC CB . = = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM AB AN AB )( ( − − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM AN AB AM AB AN AB . .
) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
−
=
−
+
o
o
o
2
AM AN .
AB AN .
cos 60
AB
=
−
−
+
) 3 .2 ( a a
=
.2 .1 3 . ( a a a a −
−
) 3 .3 a a +
cos 0 1 2
AB AM cos 60 . 1 2
2
a
=
13 2
0
ểm ên ộ M là m t đi đường thẳng (d) qua G và tr (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB MC BC ). = + +
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
3
(
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . ). MA MB MC BC MG BC
3
0
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; vuông góc với cạnh BC . Chứng minh rằng ( Giải : Ta có :
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB MC MG +
⇒
+
+
=
+
=
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) vì MG BC⊥
Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD c Tính các tích vô hướng sau :
N lần lượt là trung điểm của BC và CD .
ạnh bằng a ; M , (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AM AM AN . ;
Giải : Ta có :
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB AM AB AB BM AB
=
+
+ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
B
A
0)
0
(
a
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . ) AB BM = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB BM AB BM ⇒
=
=
2 2 a ⊥ = + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) )( AB BM AD DN
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM AN
=
M
+ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) DN .
( + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB AD AB DN BM AD BM
+
+
+
=
o
o
AB DN .
cos 0
BM AD .
cos 0
0
+
+
D
C
2
N
a .
.1
a . .1
a AB AD BM DN ;
(
)
=
+
=
⊥
⊥
0 = + a 2
a 2
Dạng toán 4 : Sử dụng định lý chiếu
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A và
. Tính ba cạnh của tam giác
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB CB
4 ;
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC BC 9 .
=
=
2
C
4 9
Giải : Ta có : C , B có hình chiếu xuống đường thẳng AB lần lượt là A , B .Do đó : AB 2 ⇒ = . Tương tự : 2 AC 3 ⇒ =
= =
= =
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB CB AB AB AB . . = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC BC AC AC AC . . = 2
2
BC
AB
AC
4 9
13
=
+
=
+ =
0 (1)
.(2
)
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC AM BC−
=
M
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: Giải :
A
B
A
2
(1)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM BC BC .
⇔
=
2
2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM BC .
⇔
=
C
B
BC 2 Gọi A’ , M’ lần lượt là hình chiếu của A , M xuống đường
M'
A'
5
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
6
2
'
thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có :
Do đó :
'
0
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) '. . AM BC A M BC =
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) '. A M BC =
>
BC 2
Suy ra 2 vectơ
cùng hướng
2
2
Do đó ;
A M BC '.
'
A M '
'
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) A M BC ' ' , (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) A M BC '.
'
⇔
=
⇔
=
=
BC 2
BC 2
BC 2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) A M BC B N CA C P AB . . . '
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74) '
0
'
Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi ) Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’ Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường cao là : AA’ , BB’ ,CC’. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh :
=
+
+
C
A'
(theo định lý hình chiếu )
M
Giải : Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có : A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB . lần lư ợt là hìmh chiếu của O xuông BC , CA , AB M , N , P (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) A M BC HO BC . . ' = Do đó : Tương tự :
'
=
=
N B'
O
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . . B N CA HO CA C P AB HO AB : (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .(
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
0
)
'
'
'
' (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . A M BC B N CA C P AB HO BC CA AB HO O . =
+
+
=
=
+
+
B
A
C'
P
Do đó : Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài
2
2
(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74) A B
AB=
o
Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120 ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC
Giải : Ta có
2
2
2
2
2
o
BC
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) BC
(
)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC AB AB
2
36 2.6.3cos120
9
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC AB −
=
=
+
−
=
−
+
36 18 9 63
=
+ =
+
63
3 7
BC ⇒ =
=
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c
2
2
2
AB
BC
+
−
a) Chứng minh rằng
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AC .
=
AC 2
b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c
Giải :
2
2
2
2
AB
BC
+
−
2
2
2
2
BC
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC
(
)
AC
AB
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC AB
Ta có :
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB AC
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC AB −
=
=
+
−
⇔
=
AC 2
Gọi M là trung điểm của BC , ta có : (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AG
(
)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AC +
=
=
2
2
2
2
2
(
)
(
2
2 3 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AG
AG
AB
AC
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB AC
)
=
=
=
+
+
2 1 . 3 2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 1 AB AC + 9
1 9
2
2
2
2
2
2
2
b (
c
b
c
a
)
b (2
a
)
=
+
+
+
−
=
+
2 c −2
1 9
1 9
2
2
Vậy :
2
AG
2 b
c
=
+
2 − a
1 3
6
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
7
2
2
2
2
2
MO
2 2 a
4
+
MA MB MC MD +
=
+
+
Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có : Giải : Ta có :
2
2
2
2
(
2
=
=
2 MO OA +
+
2
2
2
2
(
2
=
=
2 MO OB +
+
2
2
2
2
(
)
2
=
=
2 MO OC +
+
2
2
2
2
(
)
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MA = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MB MB = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MC MC = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MD MD =
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OA ) + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OB ) + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OC + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OD +
=
=
2 MO OD +
+
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
2
2
2
2
2
2
MO
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OA . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OB . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OC . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MO OD (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MO OA OB OC OD (
2
)
4
OA 4
+
+
+
MA MB MC MD +
+
+
=
+
+
a
2
2
2
MO
4
4(
)
0
=
+
+
2
2
2
MO
a
4
2
=
+
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
a
2
(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA OB OC OD O OA OB OC OD (
;
)
=
+
+
+
=
=
=
=
2
Dạng toán 6 : Chứng minh 2 vectơ vuông góc (hay 2 đường thẳng vuông góc)
Ví dụ 1 : Cho
Chứng minh rằng hai vectơ (
(cid:71) a
)
; (
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) 2 b
(cid:71) (cid:71) a b +
−
6 ;
(cid:71) a
(cid:71) b
(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 4 ; cos( , ) a b
=
=
=
1 6
vuông góc
2
2
Giải : Ta có (cid:71) (cid:71) (cid:71) a b a
(cid:71) a
).(
(
(cid:71) b 2 )
(cid:71) b 2
36
2.16
+
−
−
=
−
=
−
−
.
32 36 6.4.
−
−
=
=
−
−
32 0 =
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71) ab b a 2 . + (cid:71) (cid:71) 1 a b 6
(cid:71) (cid:71) a b . 1 6
(
)
(
(cid:71) a
36 (cid:71) 2 ) b
(cid:71) (cid:71) a b ⇒ + ⊥ −
Ví dụ 2 : Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB = 2a 2 . Chứng minh rằng hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với nhau
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
Giải : Ta có (cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . . AC BD AB BC BA AD AB BA AB AD BC BA BC AD
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) )( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . ) ( + + + = = + +
D
o
o
A
2
2
AB BA . cos180 BC AD . cos 0 = 0 0 + + +
2( 1) 4 .2 .1 a a a 8 0 2.2 − + 8 a = − + = =
a 2 a (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC BD ⇒ ⊥
C
B
(3 10, 2 5)
( 7, 3) ;
( 3, 7)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC
(6 3, 5 2) − − −
= − −
= − −
−
−
=
=
7
www.saosangsong.com.vn/
Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Dạng toán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , 5 ) ; B( 3 , 2 ) ; C( 6 , -5 ) .Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B . Giải : (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) Ta có : AB
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
( 7).(3)
( 3).( 7)
0
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BC .
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BC
= −
+ −
−
= ⇒ ⊥
8
Suy ra : . Vậy tam giác ABC vuông tại B
a) Tính góc A của tam giác ABC .
*b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC
( 4, 2) ;
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB
= − −
(3, 1) − −
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) , AB AC
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A( 3 , 1 ) ; B( -1 , -1 ) ; C( 6 , 0 ) Giải : Ta có :
) cos A cos( = = = = 10 − 10 2 1 − 2 + − + 4.3 ( 2).( 1) − 16 4. 9 1 +
Vậy góc A bằng 135 o
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) y MO );
, 1
( 1
(6
(3
y
)
(
,
x = − − − −
x = − −
x , − −
=
−
=
=
−
=
x
0
(3
0
⇔
⇔
⊥ MA MB ⊥ MC MO
− − )( 1 − x
)(
+ − y x ) (1 − + − y x ( )
− − y )( 1 ) = − y ) 0 )(
(6
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) ,1 y MB ); x − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MC MO .
0
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2
2
4
⇔
⇔
− =
− = x 4 0 [ (1) 2 2 − + x y x
6
(2)] 0
+ +
− −
− = =
x 2 x
y 2 y
x 2 x 6
4 0 (1) (2) 0
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
=
x
1
⇔
⇔
+
x 2 y
= 1 − = 6 0
= ±
y
5
⎧ ⎨ 1 ⎩
và *b) Gọi M là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC , ta có : M (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) (cid:71) ( x , y ) ; MA y MC );
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 5) ;
M
(1,
M
(1, 5)
−
1
2
Vậ y có hai giao điểm M :
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A( 5 , 3 ) ; B( 2 , - 1 ) ; C( -1 , 5 )
a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A
Giải : a) Gọi H( x , y ) là tọa độ trực tâm , ta có : (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) AH 2,
( 3, 6);
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) BC
3);
5,
x
x
y
(
(
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC
y
1);
( 6, 2)
= −
=
=
−
−
−
+
= −
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) BH (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AH BC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . BH AC
0 = ⇔ ⇔ ( ( 5)( 3) 2)( 6) ( ( 3)(6) 0 1)(2) 0 x x y y AH BC ⊥ BH AC ⊥ − − − + − + − + = = 0 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2 ⇔ ⇔ 1 = − 7 3 2 y y − = x =⎧ ⎨ y =⎩ x ⎧ − ⎨ 3 x ⎩ Vậy tọa độ trực tâm H là : H( 3 , 2 )
1 (1)
x
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) BC ⊥ ⇔ −
= − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 'BA
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) ' AA (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BA '
(
y
x
2,
1)
( 3, 6)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC = −
−
+
=
( tương tự câu a ) b) Gọi A’( x , y ) là tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có : y 2
cùng phương . ;
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
) (
)
0 (1)
−
+
=
Suy ra : 6( x – 2 ) + 3( y + 1 ) = 0 (2) .Giải (1) và (2) ta có : x = y = 1 Vậy tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A là : A’( 1 , 1 ) Dạng toán 8 : Tìm tập hợp điểm
Ví dụ 1 :Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
2
0 (2)
)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ).( a MA MB MC MB (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) b MA MA MB . +
=
8 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
9
Giải :
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB MI MC MB BC ;
2
+
=
−
=
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MI BC
MI
0
BC
a) Ta có : ( I là trung điểm của AB )
= ⇔ ⊥
⇔ ( 1 ) góc với BC
2
: Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông
(2) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MA MA MB (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MA MB .( ⇔ 0 = ⇔ + ) 0 = b) + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MA MI 2 MA MI 0 ⇔ = ⇔ ⊥
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI ( I là trung điểm của AB ) *Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
= −
2 b MA MC MB MD a + = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
2
) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . ) a MA MC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) a 4 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) c MA MB MC MA MC )( ).( ) a + + + =
Giải : Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm AC ) . Ta có :
2
2 a = − ⇔ 4
2
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( ) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MA MC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ).( MO OA MO OC + + = − a 4
2 MO OA −
( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) do OC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) OA ⇔ = − = −
2
2
2
2 OM OA =
2 a = ⇔ 4
a 4 2 OM ⇔ − = − = a 4 2 a 4 a 4 a 2
a 2
2
2
2
2
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng
2 = ⇔
a có T ng tự , : ươ ta (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:71) MA MC MB MD a . . + MO OA MO OB + − − =
2
2 a = ⇔
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71)
2
;
=
+
+
a 2 MO OM a do OA OB ( ) ⇔ = = = 2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
3 + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB MC MA MC
).(
(
= (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MG MO .
)
+
+
+
2 a = ⇔
=
a 6
2
2
2
2
a
2
2
2
2
2
(
)
(
.
)
MJ
JO
JM
GO
⇔
−
=
+
=
+
=
2 a = ⇔ 6
1 6
2
a 26 144
a 6
1 2
a 6
26
a
JM ⇔ =
12
a
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng a (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:71) Ta có M A MB MC MG MA MC MO ( G là trọng tâm tam giác ABC ) . Do đó : 2
BO
GO GO ;
.
=
=
1 2
1 3
1 3
2
a
26
( J là trung điểm của OG ; JO = )
12
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng
Dạng toán 9 : Tính phương tích . Tính đoạn tiếp tuyến .
Ví dụ 1 : Cho 4 điểm A( - 2 , 1 ) ; B( 4 , 7 ) ; M( 0 , 2) ; N(- 3 , - 5 )
Tính phương tích của điểm M , N đối với đường tròn đường kính AB
9 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
10
Giải : Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của AB ) :
)
⇒ I( 1 , 4 )
2 4 1 7 − + , 2
+ 2
2
2
( 2 1,1 4)
( 3, 3)
R
IA
9 9 18
= − −
−
= − − ⇒ =
= + =
2
M
(0 1, 2 4)
( 1, 2)
I /( )
2 IM R
(1 4) 18
13
=
−
−
= − − ⇒ Ρ
=
−
= +
−
= −
2
2
N
I (
( 3 1, 5 4)
( 4, 9)
I /( )
IN
R
= − − − −
= − − ⇒ Ρ
=
−
=
(16 81) 18 79 −
+
=
Ta cũng có : (cid:74)(cid:74)(cid:71) IA (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) IM (cid:74)(cid:74)(cid:71) IN
Ví dụ 2 : Cho 4 điểm A( - 2 , - 1 ) ; B( - 1 , 4 ) ; C( 4 , 3 ) ; M( 5 ,- 2 ). Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm )
1) ; 1, ( ( 4) ; ( 4, 3)
Giải : Gọi I ( x , y ) là tâm đường tròn (ABC) ,ta có : 2, y
2
2
2
2
2
2
(cid:74)(cid:74)(cid:71) IB (cid:74)(cid:74) (cid:71) IA x y x (cid:74)(cid:74)(cid:71) IC x y + = + + − = = − −
2
2
⇔ 2) 2 2) 1) 4) ( ( 4) 2 3) ` IA 2 IA IB IC ( x ( x ( y ( y ( x ( x y y = = + + + + 1) + 2 1) + = = + − + + − − ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2
2
2
⇔ ⇔ 1 1 6 5 x y = = 5 y = 2 y =
R IA 9 4 13 = = + =
M
/(
ABC
) 12
MT
12
2 3
MT
= ⇔ =
=
= Ρ
( G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm
)
;
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:71) ( . ; AB CM AB AB
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) AC
−
/( Vậy điểm M ở ngoài đường tròn (ABC) x + ⎧ ⎨ 3 x + ⎩ 2 (5 1) − 2 2 R − ⎧ ⎨ ⎩ 2 ( 2 1) = + − − 25 13 12 − = 16 9 25 ; + = MI R = ⇒ > Suy ra : I( 1 , 1 ) ; Do đó : Ρ MI ) = = M ABC MI 2 . Ta cũng có :
C . Bài tập rèn luyện : 2 .1 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a . Tinh các tích vô huớng (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) (cid:71) sau : AB GB . 2 của BC )
(cid:74)(cid:74)(cid:74)
và các tích vô hướng sau :
ín cá óc c g 2 . 2 .Cho tam giác ABC vuông tại A : AB = 3 ; AC = 4. T h (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BC AC BC ; . .
(cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) AC BC ,
(cid:74) (cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BC ,
) ; (
)
(
( I là trung điểm của CD )
2. 3 .Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = 3 , AC = 4 . Trên tia AB lấy điểm D sao cho (cid:74) (cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD = 4 Tính các tích vô hướng sau : . . BC BD AC BI ;
+
ng a , G là trọn , c nh g tâm tam giác ; M là một điểm bất (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) có giá trị không đổi . Tính giá trị . MA GB MB GC MC GA . . ) +
2 .4 . Cho tam giác ABC đều ạ bằ kỳ . Chứng minh rằng T = ( này .
2 .5 . Cho hình vuông ABCD , cạnh bằng a . Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng s
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
( O là tâm hình vuông )
).(
; (
) ; (
au : (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:71) AB BD AB AD BD BC . +
−
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ). OA OB OC AB +
+
* 2 .6 . Cho tam giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
23 a 4
2 . 7 .Cho tam giác ABC có trọng tâm là G .Chứng minh rằng :
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CA ( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ). BC CM 2 = +
10 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
2
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GA GB GB GC GC GA . . .
GA GB GC (
2 )
+
+
= −
+
+
1 2
2 .8. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a ; I là trung điểm của CD . Tính các tích vô hướng sau :
( G là trọng tâm tam giác ABD )
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) . . BD BI BI BG ;
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
.Định k để
=
(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74) 2 .9 .Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 ; AD = 3 và điểm M thỏa AM k AB 2 đường thẳng AC và DM vuông góc
2 . 10 . Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên tia đối của tia AB ,lấy điểm D sao cho AD = AC ; trên tia đối của tia AC , lấy điểm E saocho AE = AB . Chứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác ADE thì vuông góc với BC
2 . 11 . Cho :
11
.Định x để hai vectơ sau vuông góc với nhau (
)
; (
(cid:71) (cid:71) a xb +
(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) ) a xb −
2 . 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ; D thuộc tia AC và AD = 3AC Chứng minh rằng
2
2
(G là trọng tâm tam giác BCD )
(
16
AG
AB
AC
2 )
=
+
1 9
2
2
2
2 BC CD DA
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC DB
2
=
−
+
2
2
2
2
* 2 .13. Cho tứ giác ABCD AB − a) Chứng minh rằng ; b)Suy ra rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc là
CD
AD
BC
AB
+
=
+
2 . 14 . Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
) (
=
*
0
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) a AB AC AM ). + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .(
2
)
)
0 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) b MA MA MB MC +
+
=
2
* 2 .15 . Cho tam giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : (
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB MC a ).
=
+
2 . 16 . Cho hai điểm A( 1 , 2 ) ; B( 6 , 3 ) . Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox biết rằng tam giác ABC vuông tại C .
2 . 17 . Cho 4 điểm A( - 1 , 0 ) ; B( 0 , 3 ) ; C( 3 , 2 ) ; D( 5 , - 2) . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang vuông . Tính diện tích của hình thang này
6 ; 3 (cid:71) a (cid:71) b = =
2
3
a
o
2 .1
.cos 30
a .
.
.
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB GB AB GB . =
=
=
.
D. Hướng dẫn giải hay đáp số a 2
3 2
2
o
.
3 a 1 . 2 2
2
2
2
o
2
)
2
2 . .cos 60
0
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC
AB
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB AC a
a a
a
2 . a
−
=
−
=
−
=
−
=
2 1 2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .( AB AB (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BC ,
2 .2 . (
)
o
o
o
vá góc ABC bù nhau ;cosABC = (3 : 5) = 0,6 Suy ra o ABC = 53
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BC ,
) 180
7 ' 48"
(
53 7 ' 48" 126 52 '12" =
⇒
=
−
. .cos 60 a . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB CM AB CM . = = = a 4
11 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
0,8
=
AC 4 = BC 5
o
o
)
36 52 '12
ACB
ABC
"
=
=
−
12
C
.
.(
) 3.5.(
)
9
cosACB= (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( , AC BC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB BC AB BC =
−
=
= −
I
90 3 5
= 3 − 5
.
.
4.5.
16
=
=
4 5
A
D
4 5 .cos
.
2.3
CBD
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AC BC AC BC = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC BD BC BD . =
B
12
= −
5.4.( − = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC AI AC AB (
.
.
0)
=
=
2
AC
(
)
8
3 ) 5 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) . AC BI AC AI AB = − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC AD AC . +
=
=
=
1 2
1 2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
;
−
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
2 . 4 .Ta có : (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) MA GA GM MB GB GM MC GC GM − = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) T GA GB GB GC GC GA GM GA GB GC .
; (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
− = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (
)
+
+
=
+
+
−
o
o
o
GA GB .
.cos120
GB GC .
.cos120
GC GA .
.cos120
0
=
+
+
−
2
3
a
a
3
a
3
)
.
do GA GB GC
(
= −
=
=
=
=
2 3
2
3
a 2
2
a
2.5.
2
a
)
(
= −
+
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
a
2
2
2
(
)
1 2 3( ) .( = − 2 3 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB BD AB BA . . = − = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AD BD BC )( − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) OA OB OC AB OB AB OB OB OB ). (
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC CD DC CD . . = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
= (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .
=
=
=
+
+
=
=
2
a 2
(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
2
2
+
(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC CA AI CI +
=
M
A
I
(cid:74)(cid:71) (cid:74)
).
2
+
*2 .6 . Ta có : (cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:71) (cid:71) Vẽ AI BC CA ; = = ( I cố định và tam giác ACI là nửa tam giác đều) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74) (cid:74)(cid:74) . BC CM CI CM CA ( = (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CI CM ' .
=
M'
B
C
a
3
Theo giả thiết :
CM
'
CI
(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) CM . ' CI
=
=
23 a = ⇔ 4
2
1 2
2
2
2
2
0
Vậy tậphợp các điểm M là đường trung trực của đoạn CI . 7 .T có a 2 : (cid:71) (cid:71) (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74)(cid:74) (cid:74)(cid:74) GA GB GC + +
(cid:71) 0 = ⇔
+
+
=
2
2
2
)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) GA GB GC GA GB GB GC GC GA . . . 2 + + + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . . . GA GB GB GC GC GA
( GA GB GC
= −
⇔
+
+
+
+
1 2
2 .8 .
12 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
13
2
(
)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) . . BD BI BD
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) .( BC BC CD
)
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BD BC +
=
+
+
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2
2
(
2)
BC
BD
a
a
=
+
0 + =
+
=
1 2
3 a 2
.
(
(
)
)
(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . BI BG
1 2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BA BD BB
=
1 2 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC BD +
+
+
1 3
2
2
2
(0
2 2 ) a
=
+
=
+
2 a 3
2.9.
1 2 1 2 1 6 ⇔
AC DM ⊥
=
⇔
−
+
) 0 =
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(
a a + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AC DM 0 . (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AD AM AD ( )( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AD k AB AD )(
⇔
+
−
) 0 =
2
2
.16 9 0
kAB
AD
k
k
⇔
−
0 = ⇔
− = ⇔ =
9 16
2 . 10 . Gọi AI là trung tuyến của tam giác ADE , ta có : (cid:74)(cid:74)(cid:71) AI
) ( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AD AE + =
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AD AE AC AB ).( ( ) (0 . . 0) 1 2 (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AI BC + − = = + AD AB AE AC − − 1 2
2. 11 . x = ± 2 2 .12 .Ta có : (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AG
( . . ) 0 AI BC = AC AB AB AC − = ⇔ ⊥ 1 2 1 2
2
2
2
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AC AD ) ( (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 3 AC ) ( = + + = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AC + + 1 3
2
2
AG ( AB 16 AC 8 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AB AC ) 1 3 (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AG = + + = 1 9
2
2
2
2
) ( 16 AB AC + =
2.13. ) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB +
= + − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) 2 2 CD DA BC − − = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) )( CD DA CD DA − + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( AC DB BD − = + − =
2
2
2
b AC BD
)
AB
BC
0
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AC BD
⊥ ⇔
0 = ⇔
−
+
2 CD DA −
=
2
2
2
2
BC
AD
⇔
AB CD +
=
+
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)
0
)
)
0 = ⇔
=
+
+
b)
2 .14 . a) Tập hợp các điểm M là đường thẳng d qua A và vuông góc với trung tuyến AI của tam giác ABC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MA MB MC ( 2 + + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MJ MI
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MA MB MB MC .( + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MA MK
MA MK
) 0
.(2
2
0
4
= ⇔ ⊥
= ⇔
⇔
+
( J , I , K lần lươt là trung điểm của AB , BC , IJ) .Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn dường kính AK
13
www.saosangsong.com.vn/
2 1 9 2 2 CD DA BC a AB − + − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ) )( ( ( AB BC AB BC + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( ) AC AB BC CD DA − (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . AC DB =
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
2
2
2
14
2 = ⇔
2 = ⇔
.
2
2
2
2
MJ JC (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MA MB MC a ). (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MI MC a . 2 2.15.( + − = a 2
2
2
( I , J lần lượt là trung điểm của AB , CI ) . Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J , a
)
11 4
2 16 , Có hai điểm C : C( 2 , 0 ) ; C( 7 , 0 ) 2 17 . Hình thang ABCD vuông tại A và D . Diện tích của hình thang này bằng 15
a 3 a 8 a JM ( ) = + = = JM ⇔ = a 2 4 a 3 + 16 a 11 16 11 4
§2. Hệ thức lượng trong tam giác
A . Tóm tắt giáo khoa 1 .Định lý cosin : Trong một tam giác ABC , bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng .
2
2
2
A
a
b
c
bc 2
cos
A
=
+
−
2
2
2
b
c
a
2
ca
cos
B
=
+
−
b
2
2
2
c
c
a
b
2
ab
cos
C
=
+
−
B
C
Suy ra :
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
R
2
=
=
=
a sin
b sin
c sin
C
A
B
A
a c b a c b cos A ;cos B ;cos C = = = b − + ab 2 c − + bc 2 a − + ca 2
2
2
2
2 .Định lý sin : Trong một tam giác ABC , tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác 3 .Công thức tính độ dài đường trung tuyến .
2
b 2( ) a + − = m a
ma
2
2
2
2
2( ) c b + −
mc
= m b
mb
2
2
2
2
B
C
2( ) a c + − = m c c 4 a 4 b 4
a
là các trung tuyến vẽ t ; ; ừ A ,B ,C ) m m m c b
(AB = c ; BC = a ; CA = b ; 4 . Công thức tính diện tích : Diện tích S của tam giác ABC được tính bởi các công thức s u : a
14 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
A
15
S ab C bc A ca B sin sin sin = = = 1 2 1 2
b
c
S =
ha
1 2 abc R 4 pr S =
C
B
p p a p b p c S )( )( ( ) − − − =
a
1 2
( với p = (a+b+c) ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp )
5 . Giải tam giác : Giải tam iác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó
g . Giải toán
B Ví dụ 1 : Ch
o tam giác ABC có BC = 40cm ; CA = 13cm ; AB = 37cm Tinh góc nhỏ nhất của tam
2
2
2
2
2
b
c
2 13
37
B
0,9459
cos
=
=
=
=
C . giác AB
Giải : Ta biết rằng : đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất .Ta lại có : CA < AB < BC nên B < C < A . Vậy B là góc nhỏ nhất . Theo công thức ta có : 40 − + 2.37.40
2800 2960
a − + ca 2 o 18 55'
B⇒ =
o18 55 '
ậy góc nhỏ nhất của tam giác ABC là góc B và B =
V Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3 ; AC = 4 . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho góc B , D , A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn CD = CB . Tính các cạnh BD , AD ; các tiếp và diện tích của tam giác này ngọai
Giải
2
2
BC BD BC = + = = = = 2 10
D
2
2
B B = = = = cos ; sin
AB AB BC 2 BA AC 3 5 BD AD + 9 16 AC BC BA BD . 5 ; 4 5 B cos 2 = + − Ta có
C
73 = + 9 100 2.3.10. − = 3 5
AD 73 =
Ta cũng có
B
A
15 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
o 53 7 '
B⇒ =
3 cos B = = 0, 6 5
3.
AB
B
sin
0, 2808
D
⇒
=
=
=
=
sin AD
AB sin D
4 5 73
D =
o
o
o 110 25'
AD sin B o 16 18' o −
(53 7 ' 16 18') +
=
đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD cho bởi công thức :
Suy ra : BAD = 180 Bán kính
5,34
R
=
=
=
=
AD 2sin
B
5 73 8
2
73 4 5
a lại có 2 tam giác ABC và ACD có diện tích bằng nhau (vì có chung
đường cao vẽ từ A và 2
T cạnh đáy
BC ,CD bằng nhau ) Do đó :
12
2
2.
.
AB AC .
3.4
=
=
=
=
ABS
D
ABCS
1 2
16
Ví d
ụ 3 : Cho tam giác ABC có AB = 5cm ; AC = 7cm ; cosA=
Tính diện tích , bán kính
4 5 đường tròn ngọai tiếp , nội tiếp của tam giác và đường cao vẽ từ A Giải : Ta có :
2
2
A
A
S
A
cm 5
sin
1
;
AB AC .
.sin
5.7.
10,
=
1 cos −
=
−
=
=
=
=
=
16 25
3 5
1 2
1 2
3 5
21 2
2
2
2
2
.cos
18
3 2
B
C
AB
AC
. AB AC
A
BC
cm
=
+
−
=
25 49 2.5.7. −
+
= ⇔ =
4 5
2
R
cm
=
R ⇔ =
=
=
BC 2sin
5 2 2
BC sin A
A
2.
3 2 3 5
r
cm
=
=
=
S p
21 12 3 2 +
21 2 5 7 3 2 + + 2
S
cm
AH BC .
=
AH ⇔ =
=
=
S 2 BC
7 2 2
1 2
21 3 2
Ví dụ 4 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6cm ; E là trung điểm của CD . Tính bán kính
đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE và càc góc của tam giác này
Giải : Tacó
B
A
C
D
E
16 www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
17
2
o
2
6 2
cm AE ;
3 5
cm ACE
;
45
AC A= B
=
=
2 AD DE +
=
=
AE
c m
=
=
=
R (
ACE
)
2sin
3 10 2
ACE
3 5 2
sin
0,8944
o 63 25'
AED
AED
=
=
=
=>
=
AD AE o
o
o
o
o
o
o
180
180
(116 35' 45 ) 18 25'
AEC
CAE
=
−
6 3 5 63 25' 116 35' =
=>
=
−
+
=
sin
C
R=
2
sin sin sin
2
giác ABC bất kỳ , chứng minh rằng : Ví dụ 5 : Trong một tam B a h ) 2 sin a ) b S
C
B
R
A
=
là đường cao vẽ từ A ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp và S là diện tích của tam giác ABC )
h a
Ta có :
( Giải :
C
R
2 sin sin
R
B
C
S
=
=
=
=
ah a
h ⇔ = a
1 2
2 S a
bc a
(
do
R
2
=
=
a sin
A
b sin
B
c sin
C
A B C
B R 2 sin .2 sin A R 2 sin R=⎧ a 2 sin ⎪ 2 sin b R = ⇔ =⎨ ⎪ =⎩ c 2 sinR
Theo câu a) ta cũng có :
2
S
B
R
A
2
R
A
B
C
C R (2 sin ).(2 sin sin )
sin sin sin
=
=
=
ah a
1 2
1 2
a
6
Ví dụ 6 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Một đường tròn có bán kính bằng
, qua 2
3
và bán kính đường tròn ngọai tiếp
CE =
đỉnh A , C và cắt cạnh BC tại E . Tính đoạn AE và góc BAE iải : G Ta có :A
45o
a
6
c ACE bằng
tam giá
Do đó , theo định lý sin
D
A
3
a
6
a
6
3
2
2.
2.
.
=
AE ⇔ =
=
o
3
2 2
a 3
o
BAE
cos
BAE
30
=
=
=
=>
=
AE sin 45 3 Tam giác vuông ABE cho : AB AE
3 2
3
2
B
E
C
a a 3
Cho tam giác ABC có BAC =
.AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh
120o
p
hứng minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngọai tiế tam giác ABD và tam giác ADC
Ví dụ 7 : BC ) .C bằng bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Giải : Ta có
17
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
18
B
AD DAC =
o 60 = ⇒
sin
BAD
sin
DAC
sin
BAC
=
=
=
3 2
; 2
=
=
=
=
R (2 AB
R (
ADC
D
)
)
BD BAD
DC DAC
sin
sin
DC 3 2
Theo định lý sin , ta có : BD 3 2 BC BD DC
2
2
2
=
=
=
=
+
R (
ABC
)
R (
ABD
)
R (
ADC
)
sin
BC BAC
3 2
+ 3 2
+
⇔
=
R (
ABC
)
R (
ABD
)
R (
ADC
)
AM
.Chứng minh rằng
BAM
CAM
=
;α
β
=
=
bc sin c
Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC vá điểm M thuộc cạnh BC .Biết rằng : ) sin( + α β sin b + β α
Giải : Ta có :
A
bc
S
AB AC .
.sin
sin(
=
=
) + α β
(
ABC
)
1 2
BAM
AM c
S
AB AM .
.sin
. .sin
α
=
=
(
ABM
)
.sin
. .sin
. AC AM
CAM
AM b
S
β
=
=
(
ACM
)
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
Mà :
sin(
( sin
s
S
S
S
bc
AM c
b
in
⇔
=
+
) + α β
=
α
+
) β
)
(
ACM
(
ABC
)
(
ABM
)
1 2
Suy
ra AM
=
bc c sin
1 2 sin( ) + α β sin b + β α
2
2
2
(
,
là 3 trung tuyến vẽ từ A,B,C )
+
=
hứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là Ví dụ 9 : C m b
m m m m 5 , a c
m c
b
a
Giải : Ta có :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2(
c
)
b
2(
a
)
c
b 2(
)
a
+
+
−
−
−
+
2
2
2
5
+
=
⇔
+
=
m b
m c
m 5 a
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
10 b
10 c
5 a
b 4 2 2 b
a 4 2 a
b
2 c ⇔ +
+
−
=
+
c 4 2 −
− 2
+ 2
2
)
c
9( b
+ 2
2
c
+
9 a ⇔ = 2a⇔ = b Vậy tam giác ABC vuông tại A
o
Ví dụ 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC = 87 . Tính các cạnh và các
góc còn lại
Giải : Ta có :
18
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
19
2
2
2
o
2
2
o
a
b
c
bc 2
cos87
32
45
2.32.45.cos87
=
+
−
=
+
−
2898
2898
53,8
=
a ⇒ =
=
2
2
2
2
2
c
b
45
2898 32
cos
B
0,8052
=
=
=
+ − 2.45.53,8
a − + ca 2 o 36 22 '
ABC⇒
=
o
o
o
o
180
(87
ACB⇒
=
−
+
36 22 ') 56 38' =
BC có ba cạnh bằng 10cm ; 13cm ; 17cm . Tính diện tích ,bán kính
C. Bài tập rèn luyện . 2 . 18 .Cho tam giác A đườ
ng tròn ngọai tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác
g tại A ; AB = 3 ; AC = 4 . Tr sao cho AE = 5 .Tính các cạ
ên tia BC lấy điểm D saocho nh và các góc của tam giác
2 . 19 . Cho tam giác ABC vuôn CD = 7 ; trên tia BA lấy điểm E ADE
2 . 20 Tam giác ABC có 3 cạnh là BC = a ; CA = b ; AB = c và trung tuyến AM =
c 2
2
2
2
2
2
2
Chứng minh rằng
b 2
a
c
; sin
A
2sin
B
sin
C
=
−
=
+
2
Tính
2 .21 Cho tam giác ABC nhọn có AB = 3cm ; AC = 4cm và diện tích S = cạnh BC và .đường cao AH c
3 3cm ủa tam giác này .
E là trung điểm
2 .22 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a , O là tâm của hình vuông và của
AB . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp , diện tích và các góc của tam giác OCE
2 .23 .Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c .Chứng minh rằng
2
2
2
=
2
2
2
tan A c Btan b
a c
b a
+ +
− −
BAC
o 60 ;
BC
7
;
AC
2
=
=
= . Tính cạnh AB và các góc
giác này
2 . 24 . Cho tam giác ABC có : của tam
B = c và các cạnh này thỏa điều kiện
2
2
2 Chứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ B và C thì vuông góc với nhau
2 .25. Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; A b
= a 5
c+
2 . 26 . Cho tam giác ABC có : AB = 3cm ; AC = 2x(cm) ; BC = 5cm . a) Định điều kiện của x (để ABC là một tam giác ) b) Định x để góc BAC =
60o
giác MPQ có trung tuyến là MR .Chưng minh rằng
* 2 . 27 . a) Cho tam
2
2
2
2
2
MR
MP MQ +
=
+
PQ 2
2
2
2
b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 6 . Trên đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD = BE = 1 .Chứng minh rằng
AD
AC
AE
4
2
7
+
+
=
)và AB =4cm ;AD = 3cm ; BC = 11cm .
90o
2 .28 .Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác BCD . . D . Hướng dẫn giải hay đáp số 2 .18 .
19
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
20
p
cm
(10 13 17)
20
=
+
+
=
1 2
2
S
p p a p b p c
cm
)(
)(
(
)
20.10.7.3 10 42
64,80
=
−
−
−
=
=
=
R
cm
8,52
=
=
=
=
abc S 4
10.13.17 4.10 42
221 4 42
r
cm
3, 24
=
=
=
S p
10 42 20
2
25
5 7 12
5
2.19.
AC
BC
=
9 16 +
BD = ⇒ = + =
=
AB + 3 5 8
BE
2
2
DE
B
= + = 2 2 BD BE +
=
−
9, 63
=
144 64 2.12.8. −
+
DE ⇒ =
=
. BD BE 3 5
.cos 464 5
cos
B
B
o 53 7 '
0, 6 = = ⇒ =
B
BE
sin B
D
0,8 ;
sin
=
=
⇒
=
=
DE B sin
BE D sin
sin DE
D
sin
0, 6645
o 41 38'
=
=
D ⇒ =
3 5 4 5 8.0,8 9, 63 o
o
180
o (41 38' 53
7 ')
o 75 15'
E =
−
+
=
2
2
2
2
2
2
b 2(
b 2(
a
a
)
2 .20 . Áp dụng công thức về đường trung tuyến : ) −
+
−
+
2
=
=
2 AM m a
2 c ⇔ = 4
c 4
2
2
2
c
b 2
c 4 =
a ⇔ −
Theo định lý sin , ta
RsinC nên :
2
2
2
2
2
có : a = 2RsinA ; b =2RsinB ; c = 2 2 C
sin
sin
sin
2(
R
R
B
A
R
4
4
4
)
=
−
2
2
2
sin
A
sin
C
2sin
B
⇔
−
=
2
2
2
sin
A
2sin
B
sin
C
⇔
=
+
p dụng công thức :
2 .21 .A
S
A
A
AB AC .
.sin
3 3
3.4.sin
=
⇔
=
1 2
1 2
( vì góc A nhọn )
o
A
A
sin
60
⇔
= ⇒ =
3 2
Ta lại có :
o
2
2
2
BC
AB
AC
BC
2
AB AC .
.cos 60
13
13
=
+
−
= +
9 16 2.3.4. −
=
=>
=
1 2
AH
=
=
=
9 6 3 13
2 S BC
2.3 3 13
2 . 22 . Ta có :
20
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
21
2
a a
5
2
2
2
EOC EOC
o 135 ;
EC EC
EB EB
BC BC
a a
= =
= =
+ +
= =
+ +
= =
a a 4
2
E
B
A
EC EC
a a
a a
= =
= =
= =
R R (
)
EOC
2sin
EOC EOC
10 4
4.
O
; tan
ECB ECB
0,5
= =
OEC ECB OEC ECB = =
= =
= =
= =
5 2 2 EB EB BC BC
a a 2 a a
1 2
C
D
o o 26 33'
OEC ECB OEC ECB = =
= =
o o
o o
o o
o o
OCE OCE
180
(135
= =
− −
+ +
26 33') 18 27 ' = =
2
2
2
b
a
A
A
A
sin
;cos
tan
=
=
⇒
=
2
2
)
2 .23 .Ta có : 2 .23 .Ta có : a 2 R
c − + 2 bc
a
ab c 2 c +
−
sin cos 2
A = ( A R b 2
2
tan
B
=
=>
2
2
2
2
2
b
A c = B b
a c
b a
sin cos
B = B R c (
)
tan tan
abc 2 a +
−
+ +
− −
2
2
AB AC .
.cos
AC
BC
AB
2
2 .24 .Đặt AB = x ( x > 0 ) . Ta có : 2 A +
=
−
⇔
2
2
7
4 2. .2.
2
3 0
3 :
3
x
x
x
x
AB
=
+ −
x ⇔ −
− = ⇔ =
=
1 2
o
AC
sin
0, 6546
B
⇔
=
=
=
=
AC sin B
BC sin A
sin 60 BC
3 7
o
o
o
o
o 40 53' ;
180
(60
B
C
=
=
−
+
40 53') 79 7 ' =
M vuông góc
2 .25 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . với CN ta chỉ cần chứng minh tam giác BGC vuôn
Để chứng minh B g tại G. Ta có:
2
2
2
BM
)
(
CN
)
(
2 GB GC +
+
=
A
2
2
2
2
2
2
c
b
a
)
c
2 3 ) −
+
+
−
+
a 4
4 2( . 9
b 4
M
2
2
2
2
2
2
c
a
)
b
2(
a
b
)
c
2(
+
−
+
+
−
=
N
⎤ ⎦
⎡ ⎣
2
2
2
2
2
2
(4
a
b
c
)
(4
a
2 a 5 )
a
BC
=
+
+
=
+
=
=
G
2 3 ( 4 2 .= 9 1 9 1 9
1 9
C
B
Vậy tam giác BGC vuông tại G
2
2
BC
B
25
A
A
cos
=
2 .26 a) Điều kiện để ABC là một tam giác là : BC – AB < AC < BC+AB + 2
⇔ AC − AB AC .
b) Ta lại có :
⇔ 1 < x < 4 5 - 3 < 2x < 5+3 2 2 x 1 4 4 − + ⇔ = x 2 2.3.2 73
3
+
2
x
x
do
x
3
8 0
(
1
4
)
x 2 ⇔ −
− = ⇔ =
<
<
4
21
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
22
2
2
2
2
2
2.27. )a MP
)
(
+
=
+
=
+
2
2
2
2
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MQ MP MQ (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) MR RQ +
RQ
2 ) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MR RQ
M
R
RP
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2 + + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( MR RP RQ
MR
RP
RQ
=
+
+
+
2
2
MR
2
(
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) ( MR RP + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . MR RP MR
;
=
+
RP RQ =
=
) + (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) RP RQ +
=
PQ 2
PQ 2
2
2
2
2
AB
AE
AB
do DE
AD
2
2
2 (
2)
+
+
=
=
+
=
2
2
2
2
2
2
Theo câu a) , ta có : 2 DE 2 AB
AC
AC
AB
AC
2
2
2 2
2(
2 AD AE +
=
+
+ +
=
+
) 2 +
2
BC
2
2 2.36 2 74
=
+ =
+ =
2 . 28 . 2
2
2
DC
AB
(
)
16 64 80
DC
4 5
=
+
BC AD −
= ⇒ =
;sin
A
DB
DBC ADB =
=
=
= AB BD
+ 4 5
5 5
=
=
=
)
( BDR
C
sin
DC DBC
4 5 4 5
(cid:71) 0)
D
A
A
C
D
C
E
B
B
§3. Câu hỏi trắc n
ghiệm cuối
chương
A. Đề
1 . Cho
(tính ra độ ) bằng :
(cid:71) (cid:71) . Góc ( , )a b
(cid:71) a
(cid:71) b
(cid:71) (cid:71) . a b
1 ;
=
= −
=
1 2
(cid:74)(cid:71)(cid:71) .a b
a . 60 c . 30 (cid:71) a
. Tích vô hướng
1 ; (
)
(
bằng :
2 . Cho
o b . 120o o d . một đáp số khác (cid:71) b 2 ) =
+ ⊥ −
=
d . – 2
(cid:71) (cid:71) .a b
2 ; (
(cid:71) (cid:71) a b (cid:71) b (cid:71) a
1 ;
ng
bằng :
3 . Cho
a . – 1 b . 1 c . 2 (cid:71) b 3 ) =
= . Tích vô hướ 5
+
=
2
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AD +
=
thì đoạn AM bằng :
a . 2 b . 3 c . 4 4 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Nếu b .
d . một đáp số khác (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AM 3a áp só kh d .m đột
a .3a c .
5a
ác
ởi
5 . Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 ; AD = 3 và điểm I xác định b
22
www.saosangsong.com.vn/
(cid:74)(cid:74)(cid:71) a (cid:71) a (cid:71) b
23
. Nếu 2 đường thẳng AC và BI vuông góc với nh
au thì k bằng:
=
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) k AB a . 0,36 b. – 0,36 c , 0,6 d . một đáp số khác
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng (cid:74)(cid:74) (cid:71) I C
1x + ; AC = b = 2 ; AB = c = 3 . Nếu góc A của tam giác bằng
th
6 . Tam giác ABC có BC = a = 2 60o
ì giá trị của x là : a . 2 b . 3 c . 4 d . một đáp số khác
2
2
2
. Góc A của tam giác gần bằng
7 .Cho tam giác ABC có 3 cạnh thỏa :
BC
AB
AC
AB AC .
=
+
+
2 3
o
b .110o a . 109 c . 70o d . 71o
góc nào dưới đây nhất : 8 . Tam giác ABC có B = 30o ; C = 45o . Hệ thức nào sau đây đúng
AC 2 a . AB = 2AC b . c . AC = 2AB d . 2AB =
= AB AC 3
ương
9 . Trong một tam giác , nếu tổng bình phương 3 đường trung tuyến bằng 30 thí tổng bình ph 3 cạnh của tam giác sẽ bằng :
a .34 b . 36 c . 38 d .một đáp số khác
i
10 . Cho tam giác có ba cạnh là : 3m ; 4m ; 6m .Góc lớn nhất của tam giác gần bằng góc nào dướ đây nhất
0 b. 64 0 d. 117
a. 63o c. 1160
i của tia
4a . E là một điểm thuộc tia đố E bằng 3a thì đoạn AE sẽ bằng
11 . Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 2a ; BC = BC . Nếu bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác AC
a . 3a b . 4a c . 5a d . một đáp số khác
2a 3
.
đối của tia CB , lấy điểm E sao cho AE = bằng
12 .Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Trên tia Bán kính của đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE
a .5a b. 4a c .3a d . một đáp số khác
ỏ nhất của tam giác này gần bằng số nào
b . 3 d . 3,4
13 . Một tam giác có ba cạnh là 4 , 5 , 7 . Đường cao nh ư i đ d ớ ây nhất
a . 2,8 c . 3,2
BC = 6 ; sinA + sinB = 1,5 . Hệ thức nào dưới đây đúng :
=
B B
14 . Tam giác ABC có : AC+
a . A = 2sinC b . c . A = 4sinC d
AB 3sinC =AB 6sinC
đối của tia BC lấy điểm D sao
nào dưới đây nhất :
15 . Tam giác ABC vuông tại A và có AB = a ; BC = 2a . Trên tia cho BD = 3a .Đoạn AD gần bằng đoạn
. 3,4a b . 3,5a a c . 3,6a d . 3,7a
ọi R ,R’ lần lượt là bán kính đường tròn ngọai tiếp t điểm thuộc cạnh BC ) Hệ thức nào sau đây đúng 0,6R’
16 .Cho tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 5 . G ủ c a tam giác ABM và tam giác ACM ( M là mộ a . R = 0,5R’ b . R =
23
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
24
c . R = 0,7R’ d . R = 0,8R’
2
2
2
2
2
2
AB
BC
AB AC CA
;
BA
BC
BC BA .
=
+
−
+
−
o
o
o
17 .Tam giác ABC có các cạnh thỏa AC . = Góc C của tam giác bằng :
a . 30 b . 45 c . 60 d . một đáp số khác
18 . Tam giác AB
c
C có cá cạnh thỏa :
2
2
2
2
2
2
BC
AC
A
C
BC
BA
;
BC BA .
AB=
+
=
+
−
6 5
cosC của tam giác bằng :
a . 0,5 b .0,6 c . 0,7 d .0,8
3 . Bình phương của cạnh AC bằng :
19 . Tam giác ABC có AB = 4 ;BC = 10 ; trung tuyến AM =
a. 50 b . 51 c . 52
d . một đáp số khác
a .5 b .6 c .7 d .8
ng trả lời
.
20 . Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngọai tiếp là R = 4 .Nếu sinB + 2sinC = 1 thì (AC + 2AB) bằng : B. Bả . b 6 .b 11 .a 16 .b 1 .a 7 . a 12 .c 17 .c 2 3 .d 8 .b 13 .a 18 .d 4 .c 9 .d 14 . c 19 c 5 .b 10 .d 15 .c 20 .d C. Hướng dẫn giải : (cid:71) (cid:71) a b .
(cid:71) (cid:71) a b 1.1cos( , )
(cid:71) (cid:71) a b cos( , )
(cid:71) (cid:71) a b .
⇔ − =
=
1b . Ta có
o
2
2
(cid:71) (cid:71) a b cos( , ) (cid:71) b 2 )
⇔ (cid:71) a
)
(
(
(
−
= ⇔ −
−
2 a
.
1 = − ⇔ 2 (cid:71) (cid:71) (cid:71) a b a )( + ⊥ − ⇔ + (cid:71) (cid:71) a b .
1 2 (cid:71) (cid:71) a b ( , ) 120 = (cid:71) b 2 ) 0 (cid:74)(cid:71)(cid:71) . a b
2 0
1
1 ⇔ −
− = ⇔ = −
2
2
(cid:71) a
(cid:71) b 3
5
(
25
(cid:71) a
(cid:74)(cid:71) (cid:74) 2 b 9
25
(cid:71) a
+
= ⇔ +
= ⇔ +
+
=
3
d .
(cid:71) 3 ) b (cid:71) (cid:71) 1 6 .a b
(cid:74)(cid:71)(cid:71) 6 . a b (cid:71) (cid:71) a b .
9.4
25
2
⇔ +
+
= ⇔ = −
2
2
2
2
2
. 4b A
)
4
AB
AD
4
(cid:71) (cid:71) a b (cid:71) a (cid:71) b 2 (cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71) . 2 . a b b a +
=
+
+
2
.
(2 = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) do AB AD .
0)
a 5
(
=
=
AM a
5
=
⇒ 5b .
24
www.saosangsong.com.vn/
(cid:74)(cid:74) A (cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . B AD (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) M AM = (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) AB AD +
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
25
BI
(
(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) . BI AC
(cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) BC CI BC BA )( )
0
AC ⊥ ⇔
0 = ⇔
2
2
.
BC
kBA
0(
+ (cid:74)(cid:74)(cid:71) do CI
− (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) k AB
= (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) (cid:74)(cid:74)(cid:74)(cid:71) k BA BC BA
;
.
0)
⇔
+
=
=
= −
=
k
k
9 25
0
0,36
⇔ +
= ⇔ = −
= −
9 25
6 b . Định lý cos cho
2
2
2
a
b
c
bc 2
cos
A
1 4 9 2.3.2.
2
x
=
+
−
⇔ + = + −
1 2
3
x ⇔ =
a . Định lý cos cho :
7
2
2
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
A
AB
AC
AC
. AB AC
A
2
AB AC .
.cos
AB AC .
=
+
−
⇔
+
+
= AB
+
2 2 −
2 3
cos
0,3333
o 109 29 '
A
⇔
A ⇒ =
1 = − = − 3
o
và A là góc bù của góc này )
70 31' 0,3333 = b . Định lý sin cho
( cos 8
=
⇔
=
o
AC B sin
AB C sin
AC sin 30
AB o sin 45
AC ⇔ = 1 2
AB 2 2
AB AC
2
⇔ =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b 2(
2(
( 2
a
b
b
c
c
)
)
)
c
9d . Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến ,ta có : a −
−
+
+
+
+
+
−
2
2
2
+
+
=
m a
m b
m c
a 4
2
2
2
3(
a
c
)
+
+
2
2
2
b
c
40
30 ⇔ =
a ⇔ +
+
=
b 4
10d .
2
2
2
Đối diện với cạnh lớn nhất BC = 6m sẽ là góc A lớn nhất ,mà b
a
0, 4583
=
= −
= −
cosA=
9 16 36 − + 2.3.4
11 24
o 117 17 '
c − + bc 2 A⇒ =
11a . Tam giác ABC là nửa tam giác đều .Định lý sin cho :
R
R
2
a 3
= ⇔ =
=
o
AE 2sin 30
AE sin 30o
a 3
1
2c . Ta có
ACE
o 135 ;
R
R
2
a 3
=
= ⇔ =
=
AE o sin135
2.
2 2 2
13 a. Đường cao nhỏ nhất h là đường cao tương ứng với cạnh lớn nhất nghĩa là cạnh bằng 7 . a lại có T
25
www.saosangsong.com.vn/
Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng
26
p
(4 5 7) 8
=
+ +
=
1 2
S
p p a p b p c
)(
)(
(
)
8.4.3.1 4 6
=
−
−
−
=
=
h
2, 79
=
=
=
S 2 7
8 6 7
14c . Định lý sin cho :
4
=
=
=
=
=
sin
AB C sin
6 1,5
A
B
AC BC + sin +
C
AC sin B 4sin =
2
o
o 120 ;
ABD
BA .
AD
BC sin A AB ⇒ 15c . Tam giác ABC là nửa tam giác đề u BD .cos120 =
2 BD BA +
2 2 −
=
2
2
2
2
9
AD
a
a
2. .3 .( a a
=
+
−
−
) 13 a =
1 2
13
3, 605
a
AD a =
=
16b . Ta có sinAMB = sinAMC (góc bù nhau ) Định lý sin cho
R
R 2 '
0, 6
2
;
=
=
AC AMC
R ⇒ = R
AB AC
sin
'
3 = = 5
sin
AB AMB R 0, 6 '
R ⇒ =
o
o
B
60
C
60
17c . Giả thiết cho A =
= ⇒ =
2
2
2
)
BC
AB
AC
=
+
18d . Tam giác ABC vuông tại A (do Hệ t
hức hai cho :
2
cos
B
cos
C
sin
B
B
1
=
=
1 cos −
=
−
= =0,8
9 25
4 5
3 = ⇒ 5
2
2
2
2(
BC
AB
19c . Công thức tính độ dài trung tuyến cho ) −
+
2
AM
⇔
=
2(16
AC 4 2 ) 100 −
+
2
9
AC
⇔
=
(100 36 32) 52 −
+
=
=
1 2
AC 4
R
2
=
=
=
=
⇔
AC B
C
AB 2 C 2sin
AB 2 2sin
sin
+ +
20d . Định lý sin cho : AC B sin AC
AB C sin AB 2
8
=
+ 1
26
www.saosangsong.com.vn/
![Bài tập so sánh hơn và so sánh nhất của tính từ [kèm đáp án/mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250808/nhatlinhluong27@gmail.com/135x160/77671754900604.jpg)
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Tài liệu Lý thuyết và Bài tập Tiếng Anh lớp 6 [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250802/hoihoangdang@gmail.com/135x160/18041754292798.jpg)
