Hình học 10: Chương 1 - GV. Trần Duy Thái

§ 1 : CÁC ĐỊNH NGHĨA

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD hoặc

(cid:2) a ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB chính là độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu:

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB = AB

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: (cid:2) • Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu : b (cid:2) • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu 0 . • Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. • Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng • Hai vecto cùng hướng thì luôn cùng phương. • Độ dài vecto

TRƯỜNG THPT GÒ CÔNG ĐÔNG TÀI LIỆU HỌC TẬP

(cid:2) b

(cid:2) a

(cid:2) = (cid:219) b

cïng h−íng

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC cùng phương.

Vậy:

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB DC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

0

(cid:219) ABCD là hình bình hành. • Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài (cid:2)  = a  (cid:2) (cid:2)  a b , (cid:1)Các phương pháp chứng minh: • Ba điểm A,B,C thẳng hàng (cid:219) • Chứng minh

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA . (cid:2) a là vectơ-không khi và chỉ khi

(cid:2) a AA với A là điểm bất kì.

(cid:2) a

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: (cid:1)Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: • Để xác định vectơ ta cần biết độ dài và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Ví dụ 2 điểm phân biệt A, B ta có 2 vectơ khác nhau là (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB và • Vectơ hoặc =

CHƯƠNG I: VECTƠ

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Cho D ABC . Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh của tam giác đó. Bài 2: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ 4 điểm đã cho. Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE.

(cid:1) GV: Trần Duy Thái

=

(cid:2) b

(cid:2) ⇒ = a

a). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh và đường chéo của ngũ giác. b). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các dỉnh của ngũ giác.

(cid:2) (cid:2) b a (cid:2) (cid:2) a v b à

cïng h−íng

• (cid:1)Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ. (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách:    

Hình Học 10 - 1 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 2 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = BC AD

§ 2 : TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ

(cid:2) b ,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB DC và (cid:2) (cid:2) a = c thì

(cid:2) c

• ABCD là hbh ⇒ (cid:2) (cid:2) • Nếu b = a =

(cid:2)

(cid:2)

(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + AC a b

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB a ;

(cid:2) a . Dựng điểm N sao cho:

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm các vectơ bằng nhau và chứng minh.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN cùng phương với

(cid:2) a và có độ dài bằng

(cid:2) a .

(cid:2) c )

(cid:2) 0 )

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) = BC b . Khi đó (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) a b = + * Giao hoán : + b a (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) c = + * Kết hợp : ( + (a a b ) + (cid:2) (cid:2) 0 = a +

(cid:2) b + (cid:2) a

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: * Định nghĩa: Cho * Tính chất : a). b). Bài 2: Cho điểm M và (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MN a

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

=

Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối. Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN AB và

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN DC , thì ABCD là hình bình hành. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB DC thì

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AD BC .

minh rằng nếu

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

- • • * Tính chất vectơ –không : * Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có : (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB AO OB (phép cộng) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB OB OA (phép trừ)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AB AD

* Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

(cid:2) ) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AN MC và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:2) a là một vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng. (cid:2) (cid:2) (cid:2) a . Vậy + - = a a (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = - BA

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

=

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) E

F FB .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MD BN . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) DE

(cid:2) 0

Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Chứng tỏ: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AE BD . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD * Vecto đối: Vecto đối của vecto ( Kí hiệu: - . sao cho AM=CN. Chứng minh: Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chú ý: * Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm:

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) = + 0 IA IB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = + GA GB GC

=

I là trung điểm AB (cid:219) • • G là trọng tâm D ABC (cid:219)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AM PC

b). AN, BP, CQ đồng quy. AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng ming rằng: Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A’, B’, C’. Chứng minh: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AQ CN và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA .

a). Tìm các vecto khác B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: (cid:1) Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải:

a). Bài 10: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. (cid:2) 0 và cùng phương với (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB OE . Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và các tính chất của tổng các vectơ b). Tìm các vecto bằng vecto Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.Tìm các vectơ từ 5 điểm A,B,C,D,O:

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB .

b). Có độ dài bằng  (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) NC .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB BC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MC ; (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) +

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

=

;

+

+

+

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN QP NP MQ .

a). Tìm tổng của 2 vectơ a). Bằng vectơ Bài 12: Cho tam giác đều ABC . Các đẳng thức sau đây đúng hay sai? = - b). c). a). b). Chứng minh Bài 13 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) NC và (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AM AN AB AD . Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEFF tâm O. Chứng minh (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = OF 0 OA OB OC OD OE

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AB BC CD DE .

(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AM NC DK NI .

Chứng minh : Bài 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN.

(cid:2) a -

(cid:2) b , ta làm hai bước sau:

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) '

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AH B C .

Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng (cid:1) Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: CMR: Bài 15 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ • Theo định nghĩa, tìm hiệu

(cid:2) b

- Tìm vectơ đối của

là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : Hình Học 10 - 3 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 4 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

(cid:2) a

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) =

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = CO OB BA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = DA DB OD OC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB BC DB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + DA DB DC

(cid:2) ) b (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB BA với ba điểm O, A, B bất kì.

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) + IQ PS

(cid:1)(cid:1)(cid:2) RJ

- - a). b). - - - - c). d). - Tính tổng + - ( • Vận dụng quy tắc

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC +

(cid:2) 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MC +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ME =

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MD +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OE = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MF ( M tùy ý )

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OF = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MP . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) =

=

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MB BA

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài Tập: Bài 1: Cho tam giac ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Bài 10: Cho D ABC . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, (cid:2) 0 CARS. Chứng minh: . Bài 11: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : - - - - a). Tìm hiệu a). b). Phân tích b). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MB + - - c). Bài 12: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh Bài 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau: a). - - c). b). b).

= -

(cid:1)(cid:1)(cid:2) IB .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GF (cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ED (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BF + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EF -

c).

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ED + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ED = d). Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AC, BC. CMR: với điểm O

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AO + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BE + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AF + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OD + OE + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD d). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AE + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OC + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AF = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EA = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CF = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EF + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD - (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

+

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB - (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = OA OB OC OM ON OP

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) '

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = ' OA OB OC OA OB OC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) =

=

+

+

=

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD AC BD .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HB +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HC =

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

bất kì: Bài 14 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Với một điểm O bất kỳ, CMR: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + ' Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD - - a). Chứng minh rằng

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HA +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HB +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HC =

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 'HH

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC

b). Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng

Bài 16: CMR: trùng nhau. - - -

= Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh: (cid:2) 0

(cid:2) a ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BO =

(cid:2) b

+ F BC ED . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + BC BD BA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

.

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) DA theo

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB ;

(cid:2) a và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AO = (cid:2) b

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tùy ý. Chứng minh: + Tính Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AM AN MN NC MN PN BP CP . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN và AM theo 2 vectơ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD AC BD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = MA MB MA MB AB a). Bài 4: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi (cid:1)(cid:1)(cid:2) IA (cid:1) Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: + Sử dụng qui tắc ba điểm;quy tắc hình bình hành; trung điểm. + Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại; biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng thức luôn đúng. (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh các đẳng thức sau: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD AD CB c). AC BD AD BC b). a). Bài 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + E A F AC BD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = BD BA OC OB và (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB OA OB và

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = MA MB MC

-

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MC MB MD . Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

+

+

=

(cid:2) 0

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD MB NA

- b).

+

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:2) 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) =

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB CD AD CB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD CB CD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = + AD BE CF AE BF CD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

Bài 18: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho (cid:1) Dạng 4: Tính độ dài của vectơ: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: Đưa tổng hoặc hiệu của các vectơ về một vectơ có độ dài là một cạnh của đa giác. (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: - b). a). - - d). c). a). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) - - e). f) - Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a, AC=2a. Tính: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + CD CA CB Bài 6: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (Bằng nhiều cách khác nhau) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = AB CD AC DB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + + AB BC CD DA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AC DE DC CE CB AB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) +

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+ + (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MC MB MD

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB BC và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA CB .

+

+

=

(cid:2) 0

- Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý. Cm: Bài 8: D ABC có G là trọng tâm, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GM GN GP AB, BC, CA. Chứng minh Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. CMR: Hình Học 10 - 5 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 6 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

+

(cid:2) 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa

(cid:2) a (

(cid:2) b cùng phương

(cid:2) b =k

(cid:2) a „

060

(cid:3) = B

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB BC và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

. Tính:

(cid:2) • a . • Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho • Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm:

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB =k (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AB AC ;

+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

2 =

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

3

+

- Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a và (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = (cid:3) I trung điểm đoạn thẳng AB, với mọi điểm M bất kỳ: MA MB MI . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:3) G là trọng tâm D ABC , với mọi điểm M bất kỳ: + MA MB MC MG . • Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương: (cid:2) a là hai vecto không cùng phương, với mọi

(cid:2) x tùy ý, khi đó:

- Bài 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH. Tính: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB BH ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB  ; 

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB -

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC  theo a

(cid:2) b , (cid:2) a + n

(cid:2) b ( m, n duy nhất ).

060

(cid:4) = BAD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AB AD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA BC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB DC

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính  (cid:3) Cho (cid:2) x = m và cạnh là a. Gọi O là giao điểm hai Bài 6: Cho hình thoi ABCD có đường chéo. Tính: - - a. b. c.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD DA

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA CB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AB DC

+

+

=

+

(cid:2) 0

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

= +

+

3

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + MA MC MB MD a. Với M tùy ý, Hãy chứng minh (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AD AD AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

+

=

2

(cid:2) a và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo. Tính - - c. a. b. b). a). Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Bài 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. CMR: B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: (cid:1) Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + 3 2 AC AD AB Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Cmr: Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Cm: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + 4 2 OD ( với O tùy ý) OA OB OC DA DB DC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MB MC MG , với M bất kỳ. - Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và b. Chứng minh rằng:

(cid:2) a

(cid:2) (cid:2) 0 . Khi nào thì: b cùng khác (cid:2) (cid:2) (cid:2) = b ; C) a b

(cid:2) b ; b) +

(cid:2) a

(cid:2) b

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AC BD AD BC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB CD MI (cid:1)(cid:1)(cid:2) IJ

D A'B'C' thì

(cid:2) (cid:2) - = a b (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA -

(cid:2) a (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CA +

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CB  = 

=

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ' CC

- - Bài 9: Cho 2 véc tơ (cid:2) (cid:2) a) + = a b BD. CMR: Bài 5: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. = Chứng minh rằng: 2

Bài 10: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 

Bài 6: CMR nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của D ABC và (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ' ' ' 3 GG AA BB Bài 7: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm EF.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

+

=

(cid:2) 0

CMR: a).

§ 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + OA OB OC OD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) + AC BD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

( 1 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

+

+

b). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EF (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = 4 MA MB MC MD MO (M là điểm bất kỳ) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

=

=

+

„ 0

(cid:2) 0 . Tích của một số thực k và vecto

(cid:2) a „

(cid:2) a là 1 vectơ, kí hiệu:

=

+

+

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Bài 8: Gọi M,N là trung điểm AB và CD của tứ giác ABCD. Cmr: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) c). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , * Cho số thực (cid:2) Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 2MN AC BD BC AD (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM BN CP

(cid:2) a ; k < 0 thì k

(cid:2) a ngược hướng với

(cid:2) a .

(cid:2)

CMR:

(cid:2) 0 . Bài 10: CMR: nếu G và G’ là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’

k ka và được xác định: (cid:2) (cid:3) Nếu k > 0 thì k a cùng hướng với (cid:3) Độ dài:

.k a = k .

(cid:2) a 

+

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ' ' ' AA BB CC

(cid:2) a + m

(cid:2) a

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

thì

3

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ' 3 GG . Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. Bài 11: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + + G là trọng tâm tam giác ABC (cid:219) GA GB GC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + + (cid:219) MA MB MC MG .

(cid:2) 0

(cid:2) b ) = k

(cid:2) b

(cid:2) a = k b). (k + m) (cid:2) (cid:2) 0 (cid:219) a =

(cid:2) a =

c). k( d). k k = 0 hoặc (cid:1)Tính chất : (cid:2) (cid:2) a ) = (km) a a). k(m (cid:2) (cid:2) a + k a + Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

Hình Học 10 - 7 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 8 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

=

+

3

(cid:2) 0

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) KA

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) KB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

+

=

=

+

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HO ,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OA OB OC OH . =

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HO , (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OH

+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 OG .

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

. (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài Tập: Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. tìm điểm K sao cho: Bài 2: Cho tam giác ABC. a). Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b). Chứng minh: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + 2 HA HB HC HA HD a). Tìm điểm I sao cho c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR: Từ đó có kết luận gì về 3 điểm O,H,G. b). Tìm điểm O sao cho Bài 13: Cho tứ giác ABCD. c). Tìm điểm K sao cho

(

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MN

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) AB DC

2

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) = + 0 2 IB IA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = + OA OB OC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = 2 KA KB CB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + + MA MB MC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

1 2

+

=

(cid:2) 0

(cid:2) = 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + OA OB OC OD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) +

2

2

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = OA OB OC OD

(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GB GB GC

(cid:2) 0

3

(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MB MB MC MG . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AO a BO b

+ ;=

2

2

a). Gọi M,N là trung điểm AD, BC, chứng minh: d). Tìm điểm M sao cho + b). Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM = 2ON. - - CMR: a). Tìm điểm I sao cho - - b). Tìm điểm J sao cho Bài 14: Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. CMR: = + b). a). c). Tìm điểm K sao cho

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AB AD ;

;

;

(cid:2) (cid:2) a b . ;

+

=

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

3

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) KA KB KC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

+

4

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AD BD AC BC MN .

- e). Tìm điểm L sao cho Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho Bài 4: Cho tam giác ABC. (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) = + 0 2 3 IB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) = 2 0 JC JA JB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + + KA KB KC BC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = + + KA KB KC BC d). Tìm điểm K sao cho (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) = + 0 3 LC LA LB Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I. (cid:1)(cid:1)(cid:2) = a). Chứng minh rằng: AI (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC BD AB BC CD DA theo ; ; b). Tính

) 2(

2

)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) KG (cid:1)(cid:1)(cid:2) + LA LC . Sau đó áp dụng quy tắc 3 điểm và

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = LC

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + 3 ( LA LB hệ thức trung điểm.

+

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HO b)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GO .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HG

2=

2

- - e). (cid:1) HD: c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó với mọi K ta có: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) + LA LB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MB 3

(cid:2) 0

-

+

=

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MO .

+

12

2

3 2

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AK (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = KD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:2) 0 (cid:2) 0

12

4

(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

là hình chiếu của nó lượt lần Bài 5: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2 Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA. Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng: Bài 17: Gọi O; H; G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) giác ABC. Chứng minh rằng: a) HA HB HC Bài 18: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: F (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MD ME MF - a). Xác định điểm K sao cho: 3 - Bài 19: Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lượt là trung điểm của BC, CD. CM: b). Xác định điểm D sao cho: 3

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB Bài 7: Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho:

+

+

=

)

(

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AB AI FA DA

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) DB .

3

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

).

(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+ (cid:1)(cid:1)(cid:2)

).

=

= -

Bài 20: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM:

+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AH

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CH

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AB AC

+

+

=

2 3

1 3

(cid:2) 0

3(

)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + a OA OB OC 2 3 (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) + + b IA IB IC ID (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + ). c KA KB KC

=

- a). ; .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

- b). M là trung điểm của BC. CM: .

( 1 3 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MH

) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

=

1 6

5 6

(cid:2) 0 (cid:2) = 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + KD KE Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho: b).

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = NB CB .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MA MB 2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) NA

2+

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

=

a).

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AM AB AC AD . 3

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:2)

+

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + OA OB OC OD

(cid:2) 0

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM u , trong đó A là điểm cố định,

(cid:2) u cố định.

(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AM u .

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: (cid:1)Dạng 2: Tìm một điểm thỏa một đẳng thức vecto cho trước. * Phương pháp tìm điểm M thỏa một đẳng thức vecto cho trước: • B1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng:

• B2: Dựng điểm M thỏa Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả mãn:

Hình Học 10 - 9 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 10 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AK theo

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

a. Phân tích vecto

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) KD

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC .

+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

1 3

1 4

=

,

,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,BN CP

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AE theo hai

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AD AB .

=

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) + = IA IB (cid:219)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

= -

=

b. Gọi D là trung điểm BC. Cm: - * Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm BC,CA,AB. Tính các vecto (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB BC CA theo các vecto (cid:1) Dạng 3: Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương. * Phương pháp: Áp dụng các kiến thức: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB AO OB (phép cộng) * Quy tắc 3 điểm: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB OB OA (phép trừ) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AB AD Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD. Hãy phân tích

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AH

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BH

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:2) 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + 2 MA MB MI (M bất kỳ) (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = + 0 GA GB GC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

2 3

1 3

+

3

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MB MC MG (M bất kỳ)

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) + AB AC . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB .

5 6 (cid:2)

=

=

- a). Chứng minh: vecto Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB , * Tính chất trung điểm: I là trung điểm AB (cid:219) * Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm D ABC (cid:219) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + (cid:219) - b). Gọi M là trung điểm BC, chứng minh:

( 1 3 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 1 AC 6 (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MH (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB a AD b . Hãy tính các vecto

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. đặt

(cid:2) (cid:2) ,a b .

,

,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AE AF .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 3MB MC . Hãy phân tích

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM theo hai vecto

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC .

+

=

= -

sau đây theo (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài Tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các vecto (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AI AG DE DC theo hai vecto a). Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho b).

(cid:1)(cid:1)(cid:2) AI (I là trung điểm BO). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BG (G là trọng tâm tam giác OCD). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BG

(cid:1)(cid:1)(cid:2) AI

(cid:2) a

(cid:2) b

(cid:2) + a

(cid:2) b

3 4

1 4

1 2

5 6

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM theo hai vecto

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC .

,

,

,

,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM ,

1

1

1

,

,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AK BM .

* ĐS: vecto Bài 3: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích

,

AB . Hãy phân tích

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , , AI AK CI CK theo

AK

= 1 5

vecto Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vecto (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB BC CA theo hai vecto Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG, K là

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC theo

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AI AJ .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC . Từ đó biểu diễn (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG theo

(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AI AJ .

a). Tính Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG BC CB AB MB qua hai véc tơ điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC . Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AI AJ theo hai véc tơ

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = . AB k AC

+

=

a. Phân tích vecto điểm trên cạnh AB sao cho (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,CA CB . Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AF .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC theo a.

(cid:2) u

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD theo hai vecto 1 2

1 2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM theo hai vecto

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC .

b. Tính độ dài

+ Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ. + Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian. Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AK theo

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC .

NA = 2NC. Gọi K là trung điểm MN. Phân tích vecto b). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính (cid:1) Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng: * Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng (cid:219) Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp:

Hình Học 10 - 11 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 12 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = OA OB OC

(cid:2) 0

2

(cid:2) 0

=

3=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) NC ,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + PA PB

(cid:2) 0

- - - . CMR: A, B, C thẳng ,

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC .Chứng minh B,M,C

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

2

3

1 3 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ,BK BI theo hai vecto

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,BA BC

=

+

(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài Tập: Bài 1 : Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho 3 hàng. Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một - . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM điểm trên cạnh AC sao cho AK = AC. Chứng minh : I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MB MC 3 Bài 10: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AN Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa thẳng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC .Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB, AC sao cho

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) PB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) PC

(cid:2) 0

9

1 2 trung điểm MN.

. Gọi K là AM= MB , AN= 3NC và điểm P xác định bởi hệ thức 4 a). Phân tích vecto b). Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

CI

AC , J là điểm mà

=

+

= 1 4

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AK

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC .

1 6

3 8

=

Bài 3: Cho D ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho a). Chứng minh:

(cid:1)(cid:1)(cid:2) BJ

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

1 2

2 3

=

- b). Chứng minh : Ba điểm A, K, P thẳng hàng.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:2) BI

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

+

=

3 4

;

3

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AC O . Chứng minh MN // AC

=

=

- a). Chứng minh rằng - - b). Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB AC AD AE . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

(cid:1)(cid:1)(cid:2) AI .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + AS AB AD AC AE theo

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MM (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM OM với O là điểm tuỳ ý.

(cid:2) ' 0= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = '

+ b). Tính véctơ: c). Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.

(cid:2)

Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BD DE EC a). Chứng minh: Bài 13 : Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC MA O AB NA (cid:1) Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau: * Phương pháp : Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng: + Cách 1: Chứng minh

(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ;= AB u

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AC v

(cid:2) u

;

=

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AP theo (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC AR ;

(cid:2) v ? (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB . Tính

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AQ

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) RP RQ ;

1 3

1 2

(cid:2) u

;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

+

Bài 5: Cho tam giác ABC. Đặt + Cách 2: Chứng minh Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Bài 2: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, a). Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính BC, CD, DE, EF, FA. Cmr hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA. Cmr b). Qọi Q và R là hai điểm định bởi: hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

(cid:2) v . theo c). Suy ra P, Q, R thẳng hàng.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:2) 2 IJ . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) +

+

=

+

=

(cid:2) 0

a). CMR: Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AC BD AD BC

(cid:1)(cid:1)(cid:2) IA

(cid:1)(cid:1)(cid:2) IC

3

(cid:2) 0

= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + GA GB GC GD b). Gọi G là trung điểm IJ. Cm: c). Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng AC và BD, M và N là trung điểm AD và BC.

+

=

(cid:1)(cid:1)(cid:2) JB

(cid:1)(cid:1)(cid:2) JA

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) JC 3

. ,

(cid:2) 0

5

+ a). CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC. b). CMR: J là trung điểm của BI.

(cid:1)(cid:1)(cid:2) IA

2=

(cid:1)(cid:1)(cid:2) IB ;

Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho: 2 2 CMR: Ba đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

2

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) JC

=

(cid:1) Dạng 5: Quỹ tích điểm *Phương pháp: Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MA MB

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

.=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = PB

(cid:2) 0;

2

2

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) PC . Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. (cid:1)(cid:1)(cid:2) JA

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) JC

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = JD

2

(cid:2) 0

(cid:1)(cid:1)(cid:2) JA

(cid:1)(cid:1)(cid:2) + JB

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = JC

2

(cid:2) 0

=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MC k AB với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) . k AB . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA k BC thì

- Nếu . Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. = - - Nếu Bài 7: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả mãn: (cid:1)(cid:1)(cid:2) JA 3 Bài 8: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AN 3 - Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I, J thoả mãn: 3 bằng - .

Hình Học 10 - 13 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái - Nếu Hình Học 10 - 14 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

˛k R

+

+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC nếu

˛k R ˛k R

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC nếu

=

+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng -

(

)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) : AB AB

x

y

; x y A

B

B

A

+

= - MN b a

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

- - B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: (cid:1) Dạng1: Xác định tọa độ của véctơ và của một điểm trên mp tọa độ Oxy: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: Căn cứ vào định nghĩa tọa độ của vectơ và tọa độ của một điểm trêm mp tọa độ Oxy. * Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính được tọa độ của . + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng * Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) a).

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 = + MA MB MC 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MB MC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MB MC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA MB MC

3

2

2

(cid:2) i ) cho hai điểm M và N có tọa độ lần lượt là -5; 3. tìm tọa độ

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

- - - b). * Nếu M và N có tọa độ lần lượt là a, b thì (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Trên trục (O,

(cid:2) 2 v MA MB MC không đổi.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 3

5

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

= 1 2

PM PN

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA MB MC MB MC

2

2

- Bài 2: Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + a). CMR: véctơ điểm P trên trục sao cho - - b). Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3

(cid:2) i và

j ) sao cho

(cid:2) (cid:2) , i

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD=3, góc (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BAD=600, chọn hệ trục (A; AD cùng hướng. Tìm tọa độ các

§ 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

,

,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AB BC CD AC .

AB .

vectơ Bài 3: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là - 2 và 5. fi

=

)

(

(cid:2) a

MA + 5

(cid:2) MB = 0

(cid:2) . y j

a). Tìm tọa độ của b). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. fi fi .

+ (

)

)

(

(

;

x

y

B

; x y A

B

B

A

MA +

MB -

(cid:2) MC = 0

(

(

), k R

NA -

NB =

NC .

(cid:2) ), b +

=

(

(

;

) ka ka

(cid:2) ka

1

2

; b b 2 1 + ) b ; 2

a 1

; b a 1 2

k$

c). Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 d). Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = - 1. Bài 4: Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. - - và A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 1. Định nghĩa tọa độ của một vectơ, độ dài đại số của một vectơ trên một trục (cid:2) (cid:2) (cid:2) + (cid:219) = . . a a i a j 1 2 (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = . OM x i (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇒ = AB a). Tìm tọa độ trung điểm I của AB. fi fi fi - b). Tìm tọa độ điểm M sao cho . fi fi fi ˛ c). Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 3 - - (cid:2) (cid:2) - = a b Bài 5: Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là - 3 và 1.

˛ (cid:5) :

; b a 2 1 (cid:2) (cid:2) a „ 0 ) cùng phương (cid:219)

ka 1 ka 2

) b ; 2 = b 1  = b  2

+

x

x

A

B

=

* Hai vectơ • ; a a 1 2 • M có tọa độ là (x; y) (cid:219) • ) ; B x y A x y B A A (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) 2. Tọa độ của + , k , a a b a b (cid:2) * Cho = = ; a a a 2 1 (cid:2) (cid:2) Ta có: + = ( a b a 1 (cid:2) (cid:2) b ( a và a). Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA - 2 MB = 1. b). Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB .

1

1

x

I

AC

AD

AB

2 +

y

y

A

B

=

Bài 6: Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (- 2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) 2 a). CMR : + = 3.+ I là trung điểm của đoạn thẳng AB ta có:

.

y

I

2 = IC ID IA = AC AD AB AJ

.

.

c). Gọi J là trung điểm CD. CMR:

2 +

+

x

A

x C

=

x

G

b). Gọi I là trung điểm AB. CMR:

+

+

y

B

A

y C

=

y G

         

x B 3 y 3

+ G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:

Hình Học 10 - 15 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D. Bài 8: Cho D ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Bài 9: Cho D ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Hình Học 10 - 16 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

=

2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC .

3 a). Tìm tọa độ điểm D sao cho b). Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. Tìm tọa độ

(cid:2) 0)

(cid:2) (cid:2) , a b

(cid:1) Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần và đủ sau: - Bài 10: Cho D ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3). Tìm tọa độ trung điểm I của AC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 11: Cho 3 điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3). (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD „ * Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi có số k để =

(cid:2) (cid:2) a kb (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = AB k AC

* Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k để

(cid:2)

(cid:2) (cid:2) ;

;

(cid:2) ; (cid:2) (cid:2) u v u v ku

4 7 ; 3 3

=

=

(2;1);

- (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Cho 3 điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0). Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng. - Bài 2: Cho 3 điểm M( ); N(2;1) và P(1;3). Chứng minh rằng 3 điểm M; N; P

(cid:2) a

tâm hình bình hành đó. Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên Ox. Tìm tọa độ C. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1) Dạng 2: Tìm tọa độ của các vectơ + ; u v u v ku (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ + (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Cho =

(cid:2) c .

(cid:2)

3 (cid:2) c . (cid:2) + ka lb .

- . (cid:2) + b thẳng hàng. Bài 3: Cho 3 điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5). Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB. Bài 4: Cho 3 điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5).

(1;2);

(cid:2) a

+

+

a). Chứng minh rằng 3 điểm A; B; C thẳng hàng. b). Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. c). Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A; B; E thẳng hàng. Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm toạ độ: - Bài 2: Cho =

4

2

2

3

(cid:2) (cid:2) (3;4); (7;2) c b (cid:2) (cid:2) a).Tìm tọa độ của vectơ = 2 u a (cid:2) (cid:2) (cid:2) b).Tìm tọa độ vectơ + = - x a b (cid:2) c).Tìm hai số j; k sao cho = c (cid:2) (cid:2) = - c b (cid:2) + b

= - ( 3;1); (cid:2) (cid:2) a u

( 4; 2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) c ; = - + a v

(cid:2) b

(cid:2) a

(cid:2) (cid:2) c ; = u

(cid:2) b

1 3

=PA

2 5

1 2 (cid:2) i và cùng phương với

(cid:2) 4 c . (cid:2) j .

+

(cid:2) nc .

- - a). Tìm tọa độ các vectơ = a). Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng. b). Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng. c). Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và . Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm toạ độ:

=PA

3 5

=

=

(2;3) µ

=

x (4; ) x ( ;7)

(0;5) µ

a). Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng. b). Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng. c). Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và . a). . Bài 7: Tìm điểm P trên đường thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết: và xem vectơ nào trong các vectơ cùng phương với véctơ (cid:2) (cid:2) b). Tìm các số m, n sao cho = a mb Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương (cid:2) v b (cid:2) v b b). .

(cid:2) a (cid:2) u (cid:1)(cid:2) = m x

( ; 3) µ

x ( 2;2 )

- c). .

(2; 1);

(cid:2) a

= (cid:2) = - v n (cid:2) c theo các véc tơ (cid:2) c

( 4;7)

( 3; 4);

(cid:2) (cid:2) a b biết: ; (cid:2) a

(1;1);

(cid:2) b

(2; 3);

( 1;3)

(cid:2) c

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AE

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC

2=

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD theo

a). A(1;1) và B(-2;-4) b). A(1;1) và B(3;-2) (cid:1) Dạng 4: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ, độ dài: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) - - - - - a). b). . Bài 4: Biểu diễn véc tơ (cid:2) b

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC .

a). Xác định toạ độ điểm E sao cho b). Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5 Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ độ: Bài 5: Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). Hãy biểu diễn véc tơ các véc tơ

( 4;3);

(cid:2) a

(cid:2) c theo các véc tơ (cid:2) c

(0;5)

( 2; 1);

(cid:2) (cid:2) a b biết: ; (cid:2) a

(cid:2) b

(4; 2);

(5;3);

(2;0)

(cid:2) c

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AD theo

- - - a). b). . Bài 6: Biểu diễn véc tơ (cid:2) b

x

2 M

2+ y nhỏ nhất. M

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB ;

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

a). Trọng tâm G b). Véc tơ trung tuyến AA1 c). Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác. d). Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t). Hãy tìm điểm M sao cho

3 2

Bài 4: Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7; ) Bài 7: Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). Hãy biểu diễn véc tơ các véc tơ

Hình Học 10 - 17 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 18 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái

c). Tìm toạ độ điểm C sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC.

=

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC . 3 (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = CN 4 0

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CM (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AN

2

- - - . - a). CM: D ABC vuông b). Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC. Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ độ của: a). Trọng tâm G của tam giác . b). Vectơ trung tuyến ứng với cạnh BC. c). Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. d). Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = e). Điểm M biết: 2 AB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BN

= ( 1; 3), (cid:2) a

(3;1) (cid:2) c 4 .

(cid:2) c (cid:2) + 3 b

(cid:2) u

2

- a). Tìm toạ độ của các véctơ f). Điểm N biết: . Bài 6: Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

(cid:2) b). Biểu diễn véctơ c

(cid:1) Bài Tập Tổng Hợp: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC

2

3

+

(cid:2) = - b (2; 1), (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2) (cid:2) = - + = a b c w , (cid:2) và b (cid:1)(cid:2) d

(cid:1)(cid:2) c). Tìm toạ độ của véctơ d

(cid:2) = - b

(cid:2) 3 c

2

. Bài 1: Trong hệ trục Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6) - . sao cho . Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4), C(0; -2) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh hai tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm. Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB. (cid:2) a Bài 8: Trong hệ trục Oxy cho các véctơ (cid:2) (cid:2) (cid:2) = + a b v , (cid:2) theo hai véctơ a (cid:2) a

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ,AB AC

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:6) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:6) = + AC AM

(cid:6) 0

2

+ a). Tìm tọa độ b). Tìm tọa độ trung điểm M của BC. c). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) d). Biểu diễn AG e). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I của hình

theo . - a). Xác định toạ độ điểm M sao cho Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; 5 ) . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG theo hai

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD . ,

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

=

+

+

bình hành này. b). Xác định toạ độ điểm P trên trục tung sao cho P thẳng hàng với A và B . f). Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox sao cho ABCE là hình thang. Tìm tọa độ giao điểm Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . hai đường chéo của hình thang này.

(cid:1)(cid:1)(cid:2) CI 2

(cid:1)(cid:1)(cid:2) AI

(cid:1)(cid:1)(cid:2) BI

3

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC .

5

2

Bài 2: Trong hệ trục toạ độ oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) a). Tính chu vi tam giác ABC. b). Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC. (cid:2) c). Tìm toạ độ điểm I biết 0 a). Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. b). Tìm D để BCGD là hình bình hành. Biểu diễn (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + = - AM AG MB CM

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG theo hai

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AD . ,

c). Tìm tọa độ M thỏa

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)

+

+

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC .

5

2

..........Hết.......... “Trên bước đường thành công, không có dấu chân của những kẻ lười biếng” Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) . a). Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. b). Tìm D để BCGD là hình bình hành. Biểu diễn (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = - + AM AG MB CM c). Tìm tọa độ M thỏa d). Tìm N thuộc cạnh BC sao cho diện tích tam giác ANB gấp 7 lần diện tích

tam giác ANC. Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-1;2); B(2;3) và C(1; -4).

S

D= S 7

AMB

ABC

a). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. b). Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, N thẳng hàng. c). Tìm tọa độ M thuộc BC thỏa D

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AP

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC theo hai vectơ

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CM .

d). Gọi M, P lần lượt là trung điểm cuả AB và BC. Phân tích

và Bài 5: : Cho hai điểm A(3 , 4) ; B(2 ; 5 ) .

a). Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua B . b). Tìm toạ độ điểm D trên Ox sao cho 3 điểm A , B , D thẳng hàng .

Hình Học 10 - 19 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái Hình Học 10 - 20 - (cid:1) Gv : Trần Duy Thái