intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON

Chia sẻ: Trần Văn Luân | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
876
lượt xem 52
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán về “Nhị thức Newton” gần đây rất hay gặp trong các đề thi khối A (ĐH-CĐ) ; Đề ra không khó, chỉ cần nắm vững công thức/định lí là giải được. Vì HS thường it tiếp cận với dạng đề này nên lúng túng giải mất nhiều thời gian. Tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại phần kiến thức liên quan và sưu tầm một loạt đề toán thi ĐH có giải bằng ứng dụng “Nhị thức Newton” để các bạn tham khảo....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON

  1. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON  Giới thiệu: Các bài toán về “Nhị thức Newton” gần đây rất hay gặp trong các đề thi khối A (ĐH-CĐ) ; Đề ra không khó, chỉ cần nắm vững công thức/định lí là giải được. Vì HS thường it tiếp cận với dạng đề này nên lúng túng giải mất nhiều thời gian. Tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại phần kiến thức liên quan và sưu tầm một loạt đề toán thi ĐH có giải bằng ứng dụng “Nhị thức Newton” để các bạn tham khảo. Nội dung chính trong tài liệu là của bạn Nguyễn Trung Hiếu, NBS chỉ sắp xếp lai, các công thức, các ký hiệu toán học đều biên soạn bằng “latex”- Từng phần, từng bài toán có đặt trong “khung” rất tiện cho người sử dụng khi cần sao trích, biên soạn bài giảng cho HS. A.- Phần LÍ THUYẾT cần nắm vững: 1/.Các hằng đẳng thức liên quan ( a + b) = 1 0 ( a + b) = a + b 1 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 3 ( a + b ) = a 4 + 4a3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 4 ... 2.-Nhị thức Newton( Niu-tơn) a/.Định lí: n ( a + b) n n −1 n −1 n −1 = C a + C a b + ... + C ab 0 n n 1 n n +C b = n n n Cn a n − k b k k k =0 Hệ quả: n k n * ( a − b ) = � + ( −b ) � = ( −b ) = � −1) Cn a n −k b k ( n � a n k n −k kk a � � C n k =0 k =0 n ( 1+ x) n * = Cn .x k = Cn + Cn .x + ... + Cn .x n k 0 1 n k =0 1
  2. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b/.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn ( a + b ) : n -Số các số hạng của công thức ( a + b ) là n+1 n -Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n -Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk +1 = Cn a n −k b k k (Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( a + b ) ) n -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. 2n = Cn + Cn −1 + ... + Cn n n 0 0 = Cn − Cn + ... + ( −1) Cn 0 1 n n -Tam giác pascal: Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng n k 0 1 2 3 4 5 .... 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi k −1 n k C =C n −1 k n −1 +C (Với 1 < k < n) 3/.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: 2
  3. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- n 2 = ( 1 + 1) = n • n Cnk =Cnn + Cn −1 + ... + Cn n 0 k =0 n 0 = ( 1 − 1) = ( −1) Cn =Cn − Cn + ... + ( −1) Cn n k k 0 1 n n • k =0 n ( 1+ x) n • = Cn x n − k =Cn x n + Cn x n −1 + ... + Cn x 0 k 0 1 n k =0 n ( 1− x) ( −1) Cn x k =Cn x 0 − Cn x1 + ... + ( −1) Cn x n n n n • = k 0 1 n k =0 n ( x − 1) ( −1) Cn x n −k =Cn x n − Cn x n −1 + ... + ( −1) Cn x 0 n k n • = k 0 1 n k =0 4/.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton. n i a/.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có Cn với i là số tự i =1 nhiên liên tiếp. n b. Trong biểu thức có i ( i − 1) Cn thì ta dùng đạo hàm ( i i  ) i =1 n • Trong biểu thức có ( i + k ) Cni thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm i =1 n • Trong biểu thức có a k Cn thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp. i i =1 n 1 i • Trong biểu thức có Cn thì ta lấy tích phân xác định trên [ a; b ] i =1 i −1 thích hợp. • Nếu bài toán cho khai triển n i n (x a +x ) =� (x ) (x ) =� x ( b n C C i n a n −i b i n a n −i ) +ib thì hệ số của xm là Cin i =1 i =1 sap cho phương trình a ( n − i ) + bi = m có nghiệm i  n −1 n +1 n hay i = với n lẽ, i = với n chẵn. i • Cn đạt MAX khi i = 2 2 2 3
  4. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- B.- CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON. I.-Các bài toán về hệ số nhị thức. 1/.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. Bài toán 1: (Đề thi ĐH Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: Q ( x ) = ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x ) 9 10 14 Ta được đa thức: Q ( x ) = a0 + a1 x + ... + a14 x14 Xác định hệ số a9. Giải: Hệ số x9 trong các đa thức ( 1 + x ) , ( 1 + x ) ,..., ( 1 + x ) lần lượt là: C9 , C10 ,..., C14 9 10 14 9 5 9 Do đó: 1 1 1 1 a9 = C99 + C10 + ... + C14 = 1 + 10 + .10.11 + .10.11.12 + .10.11.12.13 + .10.11.12.13.14 5 9 2 6 24 20 a9 =11+55+220+715+2002=3003 Bài toán 2:(ĐHBKHN-2000) 1 2 6 3 Giải bất phương trình: A2 x − Ax2 Cx + 10 2 x Giải: Điều kiện: x là số nguyên dương và x 3 Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: ( 2 x − 1) 2 x − 6 ( x − 2 ) ( x − 1) ( x − 1) x + 10 2 3! x � 2 x ( 2 x − 1) − x ( x − 2 ) � x − 2 ) ( x − 1) + 10 ( 3x 12 x 4 Vì x là nghiệm nguyên dương và x 3 nên x { 3; 4} Bài toán 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: �+ x ( 1 − x ) � 8 1 2 � � 4
  5. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải: k k 8 � k � 8 Cách 1: Ta có: f ( x ) = � � ( 1 − x ) � = � x � ( −1) Ck x i � � k i i 2 k 2k C � x � C 8 . 8 k =0 k =0 �0 i= � �i = 0 0 i k 8 � �=4 k Vậy ta có hệ số của x8 là: ( −1) C8 Ck thỏa mãn 2k + i = 8 i k i i=2 i, k  k =3 ( −1) C84C4 + ( −1) C8 C32 =238 0 0 3 2 Hệ số trong khai triển của x8 là: Cách 2: Ta có: f ( x ) = C80 + ... + C83 �2 ( 1 − x ) �+ C84 �2 ( 1 − x ) �+ ... + C8 �2 ( 1 − x ) � 3 8 4 8 x � � x � � x � � Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng: Số hạng thứ 4: C83 �2 ( 1 − x ) � 3 • x � � Số hạng thứ 5: C84 �2 ( 1 − x ) � 4 • x � � Với hệ số tương đương với: A8= C8 C3 + C8 C4 =238 3 2 4 0 Bài toán 4:(ĐH HCQG, 2000) 12 � 1� a) Tìm hệ số x trong khai triển �+ � 8 1 � x� b) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức ( x + 1) bằng 2 n 1024. Hãy tìm hệ số a ( a  *) của số hạng ax12 trong khai triển đó. ( ĐHSPHN, khối D,2000)  Giải: a) Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là: k 1 ak = C x k 12 − x 12 �� k 12 − 2 k � �= C12 x (0 k 12 ) x �� Ta chọn 12 − 2k = 8 � k = 2 Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: C12 = 66 2 n b) Ta có: (1+ x ) = 2 Cn x 2 n = Cn + Cn x 2 + ... + Cn x12 −2 k k k 1 k k =0 Với x=1 thì: 2 = C + Cn + ... + Cnn = 1024 � 2n = 210 � n = 10 1 n 0 n 5
  6. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Do đó hệ số a (của x12) là: C10 6 = 210 Bài toán 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: P ( x ) = (1 + 2 x)12 = a0 + a1 x + ... + a12 x12 Tìm max ( a0 , a1 , a2 ,..., a12 ) Giải: Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ak > ak −1 Từ đây ta có hệ phương trình: 2 1 k k k −1 k −1 � C12 2 C12 2 � 12 − k + 1 k �k k k +1 k +1 � 2 C12 2 C12 1 2 12 − k k + 1 � max ( a0 , a1 , a2 ,..., a12 ) = a8 = C12 218 = 126720 8 2/.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton. Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: ( 2 − 3x ) 25  Giải: Số hạng thứ 21 trong khai triển là: C25 25 ( −3 x ) 20 20 = C25 25320 x 20 20 Bài toán 7: a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ( x + xy ) 3 21 20 � � 1 b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau � 4 x + x � � � ( xy ) 3 2 � �  Giải: a. Khai triển ( x + xy ) 20 3 có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12. • Số hạng thứ 11 là: C21 ( x ) ( xy ) = C21 x y 10 3 11 10 10 43 10 Số hạng thứ 12 là: C21 ( x3 ) ( xy ) = C21 x 41 y11 11 10 10 11 • 6
  7. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 20 � � 1 b. Khai triển � 4 x + x � có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số � � ( xy ) 3 2 � � 10 10 10 � 4 � � 7 65 20 21 � � − � 2 − là số hạng thứ � � 1 = 16 : C20 � � �xy ) � = C20 x y 3 + x ( 3 10 6 2 � � � � � � ( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x). Bài toán 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. 7 � 1 � f ( x ) = � x + 4 �với x > 0 3 � x�  Giải: k 7 7 ( x) �1 � 7−k − k Số hạng tổng quát trong khai triển: Tk +1 = C k 7 3 � � 4 = C7k x 3 12 ( k Σ  , k 7) �x� 7 7 Ứng với số hạng không chứa x ta có: − k =0�k =4 3 12 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển f ( x ) là: C74 = 35 Bài toán 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức: 10 � 2 � 1 � + x � = a0 + a1 x + ... + a9 x + a10 x . 9 10 �3 3 � Hãy tìm số hạng ak lớn nhất.  Giải: 10 � 2 � 1 1 1 n k 1 k Ta có: � + x � = 10 ( 1 + 2 x ) = 10 C10 ( 2 x ) � ak = 10 C10 2k 10 k � 3 � 3 3 3 k =0 3 ak ak +1 C10 2k C10+1 2k +1 k k �� ��k k ak ak −1 C10 2 C10−1 2k −1 k 2k10! 2k10! 1 2 Ta có ak đạt được max � !( 10 − k ) ! k ( k + 1) !( 9 − k ) ! � − k k +1 10 19 22 ��� k � � k � 2 10! k 2 10! �2 2 3 3 k !( 10 − k ) ! ( k − 1) !( 11 − k ) ! k 11 − k � k = 7 ( k � , k � 0,10] ) [ 27 7 Vậy max ak = a7 = 10 C10 3 7
  8. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau: ( x + 1) ( x + 2 ) = x11 + a1 x10 + ... + a11 Hãy tìm hệ số a5 Bài 2: ( Khối D-2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển x ( 1 − 2 x ) + x 2 ( 1 + 3x ) 5 10 Bài 3: ( Đề 4 “TH&TT” -2003) Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức ( x + y + z + t ) 20 Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong khai triển đa thức: ( x 2 + 2 ) ( 3x3 + 1) biết: n n C2 n − 3C2 nn −1 + ... + ( −1) 3k C22n − k + ... + 32 n C2 n = 1024 2n 2 k n 0 n � 1 � Bài 5: (LAISAC) Khai triển P ( x ) = �3 + 2 � ta được x � 2x � P ( x ) = a0 x3n + a1 x 3n −5 + a2 x 3n −10 + ... Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số cộng. Tính số hạng thứ x4 II. Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. 1/.Thuần nhị thức Newton k n−k Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng Cn a b k thì ta sẽ n dùng trực tiếp nhị thức Newton: ( a + b ) = n Cn a n − k b k . k k =0 Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b. Bài toán 10: Tính tổng 316 C16 − 315 C16 + 314 C16 − ... + C16 0 1 2 16 HD Giải: Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16 = 216 8
  9. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: C2 n + 32 C2 n + 34 C2 n + ... + 32 n C2 n = 22 n −1 ( 22 n + 1) 0 2 4 2n  Giải: ( 1 + x ) = C20n + C2 n x + C22n x 2 + ... + C22nn−1 x 2 n−1 + C22nn x 2 n ( 1) 2n 1 ( 1 − x ) = C20n − C2n x + C22n x 2 + ... − C22nn−1 x 2 n−1 + C22nn x 2 n ( 2 ) 2n 1 Lấy (1) + (2) ta được: ( 1+ x) + ( 1− x) 2n 2n = 2 � 2 n + C2 n x 2 + ... + C2 n x 2 n � C0 � 2 2n � ( 4) + ( −2 ) 2n 2n = 2 � 2 n + C2 n 32 + ... + C2 nn 32 n � C0 � 2 2 � 24 n + 22 n Chọn x=3 suy ra: � = C2 n + C2 n 32 + ... + C2 n 32 n 0 2 2n 2 22 n ( 2 2 n + 1) � = C2 n + C2 n 32 + ... + C2 n 32 n 0 2 2n 2 2 n −1 � 2 (22 n + 1) = C2 n + C2 n 32 + ... + C2 nn 32 n 0 2 2 ĐPCM 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. a/. Dùng Đạo hàm cấp 1. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3, …,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng kCn hoặc kCn a n − k b k −1 thì ta k k có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể: ( a + x ) = Cn0 a n + 2Cn a n−1 x + ... + nCnn ax n n 1 Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: n( a + x) = Cn a n −1 + 2Cn a n − 2 + ... + nCn ax n −1 ( 1) n −1 1 2 n Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Bài toán 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng Cn − 2Cn + 3Cn − 4Cn + ... + ( −1) 1 2 3 4 n −1 nCnn 9
  10. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Giải: Ta thấy tổng cần tính có dạng như công thức (1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0. k− Cách khác: Sử dụng đẳng thức kCn = nCn −11 ta tính được tổng bằng: k nCn −1 − nCn −1 + nCn −1 + ... + ( −1) nCn −11 = n ( 1 − 1) n −1 n− n −1 0 1 2 =0 Bài toán 13:Tính tổng: 2008C2007 + 2007C2007 + ... + C2007 0 1 2007  HD Giải: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: ( x + 1) 2007 = C2007 x 2007 + C2007 x 2006 + ... + C2007 0 1 2007 0 2006 Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007C2007 x trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: x ( x + 1) 2007 = C2007 x 2008 + C2007 x 2007 + ... + C2007 x 0 1 2007 � ( x + 1) ( 2008 x + 1) = 2008C2007 x 2007 + 2007C2007 x 2006 + ... + C2007 2006 0 1 2007 Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006 b/. Dùng Đạo hàm cấp 2. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức có dạng k (k − 1)Cnk a n − k hay tổng quát hơn k ( k − 1) Cn a n − k b k thì ta có thể dùng đạo hàm k đến cấp 2 để tính. Xét đa thức ( a + bx ) n = Cn + Cn a n −1bx + ... + Cn b n x n 0 1 n Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: bn ( a + bx ) n −1 = Cn a n −1b + 2Cn a n − 2b 2 x... + nCn b n x n −1 1 2 n Đạo hàm lần nữa: b 2 n ( n − 1) ( a + bx n − 2 ) = 2.1Cn a n− 2b 2 + ... + n ( n − 1) Cn b n x n −1 ( 2 ) 2 n Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các 10
  11. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- hằng số thích hợp nữa thôi. Bài toán 14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho f ( x ) = ( 1 + x ) , ( 2 ) n n  a.Tính f ( 1) b.Chứng minh răng: 2.1Cn2 + 3.2Cn + ... + ( n − 1) nCnn = n ( n − 1) 2n − 2 3  Giải: ( x) = n ( 1+ x) ( x ) = n ( n − 1) ( 1 + x ) n −1 n −2 a. f �f � f (1) = n (1 + x ) n − 2 b. Ta có n n f ( x) = ( 1+ x) = � x = C + C x + � n xk n k k 0 1 C Ck n n n k =1 k =2 n f ( x ) = Cn + 1 kCn x k −1 k k =2 n f ( x) = k ( k − 1) Cn x k − 2 k k =2 n � f ( 1) = k ( k − 1) Cn = 2n − 2 k k =1 � 2.1C + 3.2Cn + ... + ( p + 1) Cnp + ... + ( n + 1) nCn = n ( nĐ 1) 2 2 n−1 ( 2 1 n n + PCM ) Từ câu b thay (n-1)=(n+1) thì ta có một bài toán khác: b’. Chứng minh rằng: 2.1Cn + 3.2Cn + ... + ( n + 1) pCnp + ... + ( n + 1) nCnn = n ( n + 1) 2 n − 2 1 2 Với bài toán này ta giải như sau: Xét nhị thức: ( 1 + x ) n = Cn + Cn x + ... + Cnn x n 0 1 Nhân 2 vế của đẳng thức với x 0 đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được : 2n ( 1 + x ) + n ( n − 1) x ( 1 + x ) = 2Cn x + 3.2Cn x + ... + ( n + 1) nCn x n −1 n −1 n −2 1 2 n Cho x=2 ta được ĐPCM 11
  12. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài tập áp dụng Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: C20 + C20 + ... + C20 = 219 1 1 19 Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 32004 + 1 C 0 2004 +2 C 2 1 2004 + ... + 2 2004 C 2004 2004 = 2 Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh: ( 2 + x) = 1.2n −1.Cn + 2.2n −2.Cn + 3.2 n −2.Cn + ... + nCn = n.3n −1 ( ∀1 n  ) n 1 2 2 n Bài 4: Rút gọn tổng: 12 C2009 22008 + 22 C2009 22007 + ... + 2009 2 C2009 1 2 2009 III.Một số phương pháp khác: 0 �Σ k n m Bài toán 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho k , m, n Z Chứng minh: Cn .Cm + Cn −1Cm + ... + Cn − mCm = Cn + m k 0 k 1 k m k  Giải: ( 1 + x ) = Cm + Cm x + ... + Cm x m m 0 1 m ( 1 + x ) = Cn0 x n + Cn x n−1 + ... + Cnn n 1 Ta có : ( 1 + x ) = Cm+ n + Cm+ n x + ... + Cm++nn x m+ n m+n 0 1 m k −1 m k −m Suy ra hệ số xk trong (1+x)n .(1+x)m là CmCn + CmCn + ... + Cm Cn 0 k 1 k Và hệ số xk trong khai (1+x)m+n là Cm + n 12
  13. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đồng nhất thức: (1+x)n .(1+x)m = (1+x)n+m k −1 1 k −m m Ta được: Cn .Cm + Cn Cm + ... + Cn Cm = Cn + m k 0 k ĐPCM Bài toán 16: (Đề2-TH&TT-2008) S2= (C ) 1 2 n + 2( C ) 2 2 n + ... + n ( C ) n 2 n với n là số tự nhiên lẽ  Giải: Ta có: 2 2 S = (C( 1 2 n ) + ( n − 1) ( C )n −1 2 n ) � n − 1 � n2 1 � � n + 1 � n2 1 � � + ... + � � 2 � � � � � � − � � �n � +� C � � � � � � � � 2 � � � � + � � n � + n ( Cn ) C � � � � � n 2 ( n ( Cn ) + ( Cn ) + ... + ( Cn −1 ) 1 2 2 n 2 ) +n 2 ( = n ( Cn +1 ) + ( Cn ) + ... + ( C ) ) + n n 2 2 2 n −1 2 n � 2 S n = n � n ) + ( Cn2 ) + ... + ( Cnn ) � n ( C1 2 2 2 �+ � Mặt khác ta có: ( 1 + x ) 2n n = C2 n + C2 n x + ... + C22n x 2 n 0 1 n hệ số của xn là: C2 n (*) Trong khi đó: ( 1 + x ) = Cn + Cn x + ... + Cn x n 0 n 1 n ( ) + ( Cn ) + ... + ( Cn ) (**) 1 2 2 2 n 2 Nên hệ số của xn là Cn Từ (*) và (**) � C2 n − 1 = n � n ) + ( Cn ) + ... + ( Cn ) � ( C1 n 2 2 2 n 2 � � n n � Sn = CĐ � PCM 2n 2 Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng: a) Cn 3n −1 + 2Cn 3n−1 + ... + nCn = n.4n −1 (ĐH Luật-2001) 1 2 n b) 1 Cn + 2 Cn + ... + n Cn = n ( n + 1) 2 ( Đề 1-TH&TT-2008) 2 1 2 2 2 n n−2 Bài 2: Tính các tổng sau: a) C30 + 3.2 C30 + 5.2 C30 + ... + 29.2 C30 1 2 3 4 5 28 29 1 2 n Cn C n n Cn b) C −0 n + − ... + ( −1) 2 3 n +1 13
  14. TL rèn luyện thi ĐH-CĐ - NBS Phạm Huy Hoạt 11 - 2012 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3n Bài 3: Đặt Tk = ( −1) k +1 3k C62nk +1 . Chứng minh Tk = 0 k =1 14
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
16=>1