TL rèn luy n thi ĐH-CĐ - NBS Ph m Huy Ho t 11 - 2012ệ ạ ạ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
H NG D N GI I CÁC BÀI TOÁN V NH TH C NEWTON ƯỚ Ẫ Ả Ề Ị Ứ
Gi i thi u: ớ ệ Các bài toán v “Nh th c Newton” g n đây r t hay g p trong các đề ị ứ ầ ấ ặ ề
thi kh i A (ĐH-CĐ) ; Đ ra không khó, ch c n n m v ng công th c/đ nh lí là gi iố ề ỉ ầ ắ ữ ứ ị ả
đ c. Vì HS th ng it ti p c n v i d ng đ này nên lúng túng gi i m t nhi u th iượ ườ ế ậ ớ ạ ề ả ấ ề ờ
gian. Tài li u này giúp các b n h th ng l i ph n ki n th c liên quan và s u t mệ ạ ệ ố ạ ầ ế ứ ư ầ
m t lo t đ toán thi ĐH có gi i b ng ng d ng “Nh th c Newton” đ các b nộ ạ ề ả ằ ứ ụ ị ứ ể ạ
tham kh o.ả
N i dung chính trong tài li u là c a b n Nguy n Trung Hi u, NBS ch s p x p lai,ộ ệ ủ ạ ễ ế ỉ ắ ế
các công th c, các ký hi u toán h c đ u biên so n b ng “latex”- T ng ph n, t ngứ ệ ọ ề ạ ằ ừ ầ ừ
bài toán có đ t trong “khung” r t ti n cho ng i s d ng khi c n sao trích, biênặ ấ ệ ườ ử ụ ầ
so n bài gi ng cho HS.ạ ả
A.- Ph n LÍ THUY T c n n m v ng:ầ Ế ầ ắ ữ
1/.Các h ng đ ng th c liên quanằ ẳ ứ
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
22 2
33 2 2 3
44 3 2 2 3 4
1
2
3 3
4 6 4
...
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
+ =
+ = +
+ = + +
+ = + + +
+ = + + + +
2.-Nh th c Newton( Niu-t n)ị ứ ơ
a/.Đ nh lí:ị
( )
0 1 1 1 1
0
...
n
nn n n n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C ab C b C a b
− − − −
=
+ = + + + + =
H qu :ệ ả
*
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1
k
n n
n
n k
k n k k n k k
n n
k k
a b a b C a b C a b
− −
= =
− = + − = − = −� �
� � � �
*
( )
0 1
0
1 . . ... .
n
nk k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
=
+ = = + + +
1
TL rèn luy n thi ĐH-CĐ - NBS Ph m Huy Ho t 11 - 2012ệ ạ ạ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b/.Tính ch t c a công th c nh th c Niu-t nấ ủ ứ ị ứ ơ
( )
n
a b+
:
-S các s h ng c a công th c ố ố ạ ủ ứ
( )
n
a b+
là n+1
-T ng s mũ c a a và b trong m i s h ng luôn luôn b ng s mũ c a nh th c: ổ ố ủ ỗ ố ạ ằ ố ủ ị ứ
(n-k)+k=n
-S h ng t ng quát c a nh th c là: ố ạ ổ ủ ị ứ
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
(Đó là s h ng th k+1 trong khai tri n ố ạ ứ ể
( )
n
a b+
)
-Các h s nh th c cách đ u hai s h ng đ u, cu i thì b ng nhau.ệ ố ị ứ ề ố ạ ầ ố ằ
1 0
2 ...
n n n
n n n
C C C
−
= + + +
-Tam giác pascal:
Khi vi t các h s l n l t v i ế ệ ố ầ ượ ớ n = 0,1,2,... ta đ c b ngượ ả
n k
012345....
01
11 1
2121
31 3 1
414641
51 5 10 10 5 1
Trong tam giác s này, b t đ u t hàng th hai, m i s hàng th n t c tố ắ ầ ừ ứ ỗ ố ở ứ ừ ộ
th hai đ n c t n-1 b ng t ng hai s đ ng hàng trên cùng c t và c t tr c nó. ứ ế ộ ằ ổ ố ứ ở ộ ộ ướ
S dĩ có quan h này là do có công th c truy h iơ ệ ứ ồ
1
1 1
k k k
n n n
C C C
−
− −
= +
(V i ớ1 < k < n)
3/.M t sô công th c khai tri n hay s d ng:ộ ứ ể ử ụ
2
TL rèn luy n thi ĐH-CĐ - NBS Ph m Huy Ho t 11 - 2012ệ ạ ạ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
•
( )
1 0
0
2 1 1 ...
n
n
n k n n
n n n n
k
C C C C
−
=
= + = = + + +
•
( ) ( ) ( )
0 1
0
0 1 1 1 ... 1
n
n k n
k n
n n n n
k
C C C C
=
= − = − = − + + −
•
( )
0 1 1 0
0
1 ...
n
nk n k n n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
− −
=
+ = = + + +
•
( ) ( ) ( )
0 0 1 1
0
1 1 ... 1
n
n n n
k k n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
=
− = − = − + + −
•
( ) ( ) ( )
0 1 1 0
0
1 1 ... 1
n
n k n
k n k n n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
− −
=
− = − = − + + −
4/.D u hi u nh n bi t s d ng nh th c newton.ấ ệ ậ ế ử ụ ị ứ
a/.Khi c n ch ng minh đ ng th c hay b t đ ng th c mà có ầ ứ ẳ ứ ấ ẳ ứ
1
n
i
n
i
C
=
v i i là s tớ ố ự
nhiên liên ti p.ế
b. Trong bi u th c có ể ứ
( )
1
1
n
i
n
i
i i C
=
−
thì ta dùng đ o hàm ạ
( )
i
•Trong bi u th c có ể ứ
( )
1
n
i
n
i
i k C
=
+
thì ta nhân 2 v v i xế ớ k r i l y đ o hàmồ ấ ạ
•Trong bi u th c có ể ứ
1
n
k i
n
i
a C
=
thì ta ch n giá tr c a x=a thích h p.ọ ị ủ ợ
•Trong bi u th c có ể ứ
1
1
1
n
i
n
i
C
i
=
−
thì ta l y tích phân xác đ nh trên ấ ị
[ ]
;a b
thích h p.ợ
•N u bài toán cho khai tri nế ể
( ) ( ) ( )
( )
1 1
i
n n
n n i a n i ib
a b i a b i
n n
i i
x x C x x C x
−− +
= =
+ = =
� �
thì h s c a xệ ố ủ m là Cin
sap cho ph ng trình ươ
( )
a n i bi m
− + =
có nghi m ệ
i
•
i
n
C
đ t MAX khi ạ
1
2
n
i
−
=
hay
1
2
n
i
+
=
v i n l , ớ ẽ
2
n
i
=
v i n ch nớ ẵ .
3
TL rèn luy n thi ĐH-CĐ - NBS Ph m Huy Ho t 11 - 2012ệ ạ ạ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B.- CÁC BÀI TOÁN NG D NG NH TH C NEWTON.Ứ Ụ Ị Ứ
I.-Các bài toán v h s nh th c.ề ệ ố ị ứ
1/.Bài toán tìm h s trong khai tri n newton.ệ ố ể
Bài toán 1: (Đ thi ĐH Thu l i c s II, 2000)ề ỷ ợ ơ ở
Khai tri n và rút g n đa th c:ể ọ ứ
( ) ( ) ( ) ( )
9 10 14
1 1 ... 1Q x x x x
= + + + + + +
Ta đ c đa th c:ượ ứ
( )
14
0 1 14
...Q x a a x a x
= + + +
Xác đ nh h s aị ệ ố 9.
Gi i:ả
H s xệ ố 9 trong các đa th c ứ
( ) ( ) ( )
9 10 14
1 , 1 ,..., 1x x x
+ + +
l n l t là:ầ ượ
9 5 9
9 10 14
, ,...,C C C
Do đó:
9 5 9
9 9 10 14
1 1 1 1
... 1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.12.13.14
2 6 24 20
a C C C
= + + + = + + + + +
a9 =11+55+220+715+2002=3003
Bài toán 2:(ĐHBKHN-2000)
Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
2 2 3
2
1 6 10
2
x x x
A A C
x
− +
Gi i:ả
Đi u ki n:ề ệ x là s nguyên d ng và ố ươ
3x
Ta có: d t ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:ấ ươ ươ ươ ớ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 6 2 1
1 10
2 3!
2 2 1 2 2 1 10
3 12 4
x x x x
x x x
x x x x x x
x x
− − −
− − +
− − − − − +� �
Vì x là nghi m nguyên d ng và ệ ươ
3x
nên
{ }
3;4x
Bài toán 3: (ĐH KA 2004)
Tìm h s c a xệ ố ủ 8 trong khai tri n đa th c c a: ể ứ ủ
( )
8
2
1 1x x
� �
+ −
� �
4
TL rèn luy n thi ĐH-CĐ - NBS Ph m Huy Ho t 11 - 2012ệ ạ ạ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi i:ả
Cách 1: Ta có:
( ) ( ) ( )
8 8
2 2
8 8
0 0 0
1 1 .
k
kki
k k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
= = =
� �
� �
= − = −
� �
� � � �
� � �
V y ta có h s c a xậ ệ ố ủ 8 là:
( )
8
1
ik i
k
C C
−
th a mãn ỏ
0
0 8 4
2 8 2
,3
i
i k k
k i i
i k k
=�
=
� �
+ =
=
=
H s trong khai tri n c a xệ ố ể ủ 8 là:
( ) ( )
0 2
4 0 3 2
8 4 8 3
1 1C C C C
− + −
=238
Cách 2: Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3 4 8
0 3 2 4 2 8 2
8 8 8 8
... 1 1 ... 1f x C C x x C x x C x x
� � � � � �
= + + − + − + + −
� � � � � �
Nh n th y: xậ ấ 8 ch có trong các s h ng:ỉ ố ạ
•S h ng th 4:ố ạ ứ
( )
3
3 2
8
1C x x
� �
−
� �
•S h ng th 5:ố ạ ứ
( )
4
4 2
8
1C x x
� �
−
� �
V i h s t ng đ ng v i: Aớ ệ ố ươ ươ ớ 8=
3 2 4 0
8 3 8 4
C C C C
+
=238
Bài toán 4:(ĐH HCQG, 2000)
a) Tìm h s xệ ố 8 trong khai tri n ể
12
1
1x
� �
+
� �
� �
b) Cho bi t t ng t t c các h sô c a khai tri n nh th c ế ổ ấ ả ệ ủ ể ị ứ
( )
2
1
n
x+
b ngằ
1024. Hãy tìm h s a ệ ố
( )
*a
c a s h ng axủ ố ạ 12 trong khai tri n đó.ể
( ĐHSPHN, kh i D,2000)ố
Gi i:ả
a) S h ng th (k+1) trong khai tri n là:ố ạ ứ ể
12 12 2
12 12
1
k
k x k k
k
a C x C x
x
− −
� �
= =
� �
� �
( )
0 12k
Ta ch n ọ
12 2 8 2k k
− = =�
V y s h ng th 3 trong khai tri n ch a xậ ố ạ ứ ể ứ 8 và có h s là:ệ ố
2
12
66C
=
b) Ta có:
( )
2 2 1 2 12 2
0
1 ...
n
k n k k k
n n n n
k
x C x C C x C x
−
=
+ = = + + +
V i x=1 thì:ớ
0 1
2 ... 1024
n n
n n n
C C C
= + + + =
10
2 2 10
n
n
= =� �
5