Ấ Ầ Ề Ặ PH N I: Đ T V N Đ
ổ ạ ạ
ả
ạ ộ ộ ả ng ph thông là m t ph
ể ệ ấ ữ ọ
ự ọ
ể ự ệ ố ụ ọ t các m c đích d y h c toán
ả ườ ả ả ậ ổ ệ ậ ọ
ọ ọ ạ ộ ố ớ ọ Ở ườ ng Ph thông, d y toán là d y ho t đ ng Toán h c. Đ i v i h c tr ệ ọ ạ ộ ủ ế ủ ể i toán là ho t đ ng ch y u c a ho t đ ng toán h c. sinh, có th coi vi c gi ở ườ ệ ươ ổ ng ti n r t hi u qu và không tr Các bài toán ể ư ứ ắ ế ượ c trong vi c giúp h c sinh n m v ng tri th c, phát tri n t th thay th đ ạ ộ ụ ỹ ễ duy, hình thành k năng, k s o ng d ng toán h c vào th c ti n. Ho t đ ng ở ề ạ i bài t p toán là đi u ki n đ th c hi n t gi ậ ng ph thông. Vì v y, t tr i bài t p toán h c có vai trò ấ ượ ố ớ ế ị quy t đ nh đ i v i ch t l ệ ỹ ả ứ ệ ổ ứ ch c có hi u qu gi ạ ng d y h c toán .
ươ ề ệ H ph
ộ ạ ấ ổ ế ề ọ
ố ớ ậ ấ ể ng trình là m t d ng toán khá ph bi n trong các đ thi tuy n ả ệ ề i h c coi là bài toán khó, th m chí là câu khó nh t trong c u trúc ng trình đ
ố sinh ĐH, CĐ và đ thi HSG các c p. Đ i v i nhi u h c sinh, bài toán gi ấ ượ ươ ph ề đ thi ĐH, CĐ, thi THPT Qu c gia.
ồ ưỡ
ạ ẫ ả ọ ọ ng d n h c sinh gi i các h ph
Qua quá trình gi ng d y h c sinh ôn thi ĐH, CĐ và b i d ả ự ả ạ i h ph
ộ ố ườ ng và chú ý t
ọ ọ ng h c sinh ấ ng trình này, tôi th y ươ ng trình thông ẫ ệ ả h không m u i “ ươ ệ ng trình mà
ả ế ướ i ph i tr c ti p h ọ i m t s kĩ năng th ế ượ ỏ gi ầ c n ph i rèn cho h c sinh thành th o các kĩ năng gi ớ ườ th m cự ”. Trong bài vi ả ậ thu t gi i không đ ệ ươ ả ệ ụ ng áp d ng khi gi ố ớ ư ậ t này tôi xin g i nh v y đ i v i các h ph c trình bày trong sách giáo khoa.
ắ ụ ệ t các h ph
ườ ở ầ ế ươ ụ i thi u khá chi ti
ẫ
ệ ươ ề ầ ớ ệ ồ
ư ầ ả ư ế
ệ ể ạ ự ề ạ ệ ố ậ ộ ố ọ
ế ượ ng trình t đ Bài vi c chia làm ba m c: M đ u là tóm t ứ ượ ặ ớ t trong sách giác khoa. M c th hai ng g p, đã đ th c gi ư ự ả ệ ộ ố ng trình không m u m c. Các bài toán đ a ra là m t s kĩ năng gi i h ph ừ nhi u ngu n tài li u khác nhau, trong các kì thi KS, ph n l n là tôi s u t m t ẫ ờ thi HSG,…L i gi i các bài toán này tôi chú ý đ n cách đ a h không m u m c v d ng quen thu c. Cu i cùng là h th ng các bài t p đ b n đ c tham kh o.ả
ề ờ ả ả ạ ạ ố ọ ố ề
ọ Chuyên đ dùng gi ng d y ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho h c sinh kh i 12. Th i gian gi ng d y chuyên đ này cho h c sinh kh i 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 3 bu i.ổ
ế ớ ư ề ả
ạ ế ờ ố ấ ỏ
ủ ạ ồ ọ
ế t khó tránh kh i nh ng thi u sót. T i r t mong nh n đ ệ ầ ệ ậ ể ạ ệ ả ơ ở
ấ ặ M c dù r t tâm huy t v i chuyên đ , nh ng do th i gian và kh năng ượ ữ có h n nên bài vi c ự s góp ý c a quí th y cô, b n bè đ ng nghi p và các em h c sinh đ chuyên ọ ề ượ đ đ c hoàn thi n h n và tr thành tài li u có ích trong gi ng d y và h c t p.ậ
1
M T S PH
Ộ Ố ƯƠ Ả Ệ ƯƠ NG TRÌNH
Ự Ầ PH N II: NG PHÁP GI I H PH Ẫ KHÔNG M U M C
Ộ Ố Ệ ƯƠ ƯỜ Ặ I. M T S H PH NG TRÌNH TH NG G P.
ượ ươ c h c trong ch
ươ ng trình đ ọ ươ ậ ả ộ ố ệ M t s h ph ả ng pháp gi i rõ ràng, h c sinh ch c n nh thu t gi
ọ ỉ ầ ượ ể ệ ấ c. Th c ch t các h ph
ộ
ắ ạ ươ ữ ệ ổ ng trình ph thông có ệ i, rèn luy n các kĩ ươ ng trình ả ư ạ i các d ng h ph
ớ ph ế ổ ự năng bi n đ i, tính toán là có th làm đ ề ở ả ặ ấ này ta g p r t nhi u c THCS và THPT, không riêng b môn toán mà c ộ ầ môn lí, môn hóa,… M t l n n a ta nh c l ng trình nh v y.ậ
ệ ươ ậ ấ ẩ 1. H hai ph ng trình b c nh t hai n. = (cid:0) (cid:0) ệ ươ ị ạ a) Đ nh nghĩa: Là h ph ng trình có d ng , trong đó x, y là c = (cid:0) + ax by + a x b y c ' ' '
n.ẩ
i: V i h này ta có th gi
ươ ề ồ ị ử ụ ể ả ằ ử ụ ộ ư i b ng nhi u cách khác nhau nh : ầ ng pháp c ng, s d ng đ th , s d ng máy tính c m
ớ ệ ươ ặ ẩ ụ ị ả b) Cách gi ế Ph ng pháp th , ph ứ tay, tính đ nh th c, đ t n ph ,…
1
2
3
3
ươ ậ ấ ẩ ệ 2. H ba ph ng trình b c nh t ba n. + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) d 1 = d ệ ị ươ ạ a) Đ nh nghĩa: Là h ph ng trình có d ng , trong (cid:0) + = d (cid:0) + a x b y 1 + a x b y 2 2 + a x b y 3 c z 1 + c z 2 c z 3
đó x, y, z là n.ẩ
ả ớ ệ ể ả ằ ề b) Cách gi i: V i h này ta có th gi ư i b ng nhi u cách khác nhau nh :
ươ ế ươ ử ụ ầ ộ ị Ph ng pháp th , ph ng pháp c ng, s d ng máy tính c m tay, tính đ nh
ứ ươ th c, ph ử ng pháp kh Gauss,…
ệ ồ ộ ươ ấ ậ 3. H g m m t ph
(cid:0) ng trình khác. 0 (cid:0) ệ ị ươ ạ ng trình có d ng , trong đó x, a) Đ nh nghĩa: Là h ph (cid:0) ộ ng trình b c nh t và m t ph + ax by f x y ( , ươ + = c = ) 0
ẩ ứ ể ế x, y. y là n còn f(x,y) là bi u th c hai bi n
ả ươ b) Cách gi ử ụ i: S d ng ph ế ng pháp th .
ệ ố ứ ạ 4. H đ i x ng lo i 1.
2
ị ẩ
ươ ươ ừ ph ỗ a) Đ nh nghĩa: Là h mà khi ta đ i vai trò c a hai n cho nhau trong m i ng trình, t ng ph ủ ổ ệ ổ ng trình đó không thay đ i.
2
ổ ươ ươ b) Cách gi
(cid:0) ả ồ ặ ổ ế i: Bi n đ i t ằ ng đ ằ ệ ườ ng làm xu t hi n t ng và tích c a các ướ c ệ ổ ). Thông th ủ ng sau b ấ P S 4
ộ ệ ơ ượ ả nghi m r i đ t t ng b ng S, tích b ng P ( này ta đ c m t h đ n gi n.
ệ ố ứ ạ 5. H đ i x ng lo i 2.
ệ ẩ ổ
ươ ươ ế ươ ph ỗ ị a) Đ nh nghĩa: Là h mà khi ta đ i vai trò c a hai n cho nhau trong m i ng trình, ph ủ ng trình kia. ng trình này bi n thành ph
ừ ế ệ ấ ử b) Cách gi i: Tr v cho v làm xu t hi n nhân t chung xy r i đ a h ồ ư ệ
ệ ớ ơ ế ơ ề ả ả đã cho v hai h m i đ n gi n h n.
ệ ẳ ấ 6. H đ ng c p.
= (cid:0) f x y ( ; ) (cid:0) ị ệ ạ ở a) Đ nh nghĩa: Là h có d ng , đó = (cid:0) f x y ( ; ) 1 g x y ( ; ) 1
2 g x y ( ; ) 2 g x y là các đa th c đ ng c p hai bi n và cùng b c. ậ i
( ; ) & ( ; ) ứ ẳ ế ấ f x y i
ả ậ ồ b) Cách gi i: Xét riêng x=0. N u ế x khác 0 thì ta đ t ặ y=kx r i nh n xét và
ế ề ượ ươ chia v cho v ta đ c ph ng trình m t n ộ ẩ k. Tìm đ c ượ k ta tìm đ c ượ x và y.
Ộ Ố ƯƠ Ả Ệ ƯƠ II. M T S PH NG PHÁP GI I H PH NG TRÌNH
Ự Ẫ KHÔNG M U M C.
ươ ế ổ ươ ươ 1. Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng
ộ ố ườ ư ụ M t s kĩ năng th ng áp d ng nh phân tích thành tích, bình ph ươ ng
2
2
ươ ệ ế ấ ớ ử ặ ậ ho c l p ph ng hai v , thêm b t làm xu t hi n nhân t chung,…
(cid:0) + + = + (cid:0) x y x 2 (1) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 1. Gi (cid:0) y x (cid:0)
2
= 2 y
2
0
2
2
D =
y ươ ấ ậ ng trình b c Gi i:ả Cách 1: Nh n th y, n u coi ph (cid:0) - - ươ y y xy 2 2 - + + = x 1 2. (2) ng trình (1) là ph + + 2) 2 ẩ ậ ố
(
x y ( ) 2
y
y
y
x 2y -
3
- - - ng trình (1) ) ( = ( 2 4 2
x
(1)
y = -
x
(3) y 2 2 (4)
ế ươ hai n x còn y là tham s , ta có ph ) 2 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ừ
ừ
T (3) & (2) ta có
x=y=1. T (4) & (2) ta có
= = (cid:0) x y 0; 2 = - (cid:0) x 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - - (cid:0) y = x ; . y = y y y 3 3 2 (cid:0) (cid:0) 1 3 8 3
3
(
;
)
8 3
1 3
- ệ ệ ế ậ K t lu n: H có 3 nghi m (1; 1); (2; 0);
y- + (cid:0) x 1 0. ế ổ ươ ấ Ta bi n đ i ph ệ ng trình (1) làm xu t hi n
Cách 2: ĐK: ử chung nhân t
2
(cid:0) + 2 - - - - - � � x y xy + 2 y y x x (1) 2 = 2 0 ( + y x )( = y 2 2) 0 � (cid:0) = y = - (cid:0) x x
ừ
ừ
T (3) & (2) ta có
x=y=1. T (4) & (2) ta có
(3) y 2 2 (4) = = (cid:0) x y 2 0; = - (cid:0) x 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - - (cid:0) = x y ; . y = y y y 3 3 2 (cid:0) (cid:0) 1 3 8 3
(
;
)
8 3
1 3
- ế ệ ệ ậ K t lu n: H có 3 nghi m (1; 1); (2; 0);
2
2
2
(cid:0) + + = x y 1 (1) (cid:0) xy 2 + y x (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 2. (Báo TH&TT) Gi (cid:0) - + = y x x y (2) (cid:0)
x Gi i:ả ĐK:
2
2
2
x 1 + + - - - � � x xy y + x y (1) 2 2 1 ( ) xy 1 2 . 0 y+ > Ta có 0. xy 2 = + xy + y x + - y = + y x
2
2
(cid:0) (cid:0) � x + - y ( 1) 0 = - x 1 � + x y (3) + + x y (cid:0) = xy 2 = + y x 0 (4) � + + - x y 1 � � � � � (cid:0) + (cid:0) y
2
y x = = (cid:0) y x 0; - y = (cid:0) y 0 3 ừ (cid:0) . T (3) và (2) ta có 1 = - (cid:0) y
3
x 0 ỏ = y+ > nên (4) không th a mãn. Vì
3 19 (1) 2 6 (2)
= (cid:0) ệ x 2 ệ (cid:0) + 1 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: ề Bài 3. (Đ thi TS cũ) Gi x 3; ậ V y h có hai nghi m. 3 x y 2 + = - (cid:0) (cid:0) y xy x
3
ở Gi
2
3
(cid:0) = (cid:0) + 6 6 (cid:0) ớ ế ủ ượ ớ (1) v i 6, hai v c a (2) v i 19 x ta đ c: (cid:0) (cid:0) xy x 114 19 19
2 2 x y
3 3 x y
+ + ươ ả ế ớ ế ộ ậ ng trình b c i ph c: C ng v v i v ta đ xy ế ủ ậ x khác 0. Nhân hai v c a i:ả N u ế x=0, (1) tr thành 1=0, vô lí. V y 3 3 x y x 114 + = - 2 x y + = , gi 6 0 19 19 6
3
= - xy = - xy = - xy ; ; 1. ba này ta đ c ượ 3 2 ượ 2 3
3
- � � � xy = - x = x = - y (1) 1 19 2. N u ế thì 8 = 27 1 3
= - - � � = � xy x = - x y 19 3 ,(1) N u ế 1 2 = - xy 1 =� x 2 3 3 2 1,(1) N u ế 27 = 8 0, vô lí.
4
(cid:0) + = x 3 (1 ) 2 (1) (cid:0) 1 + (cid:0) x y (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 4. (HSG QG 1996) Gi (cid:0) - y 7 (1 = ) 4 2 (2) (cid:0) 1 + (cid:0) x y
Gi
(cid:0) (cid:0) i: ả x y 0 & 0. ĐK
ỏ D th y ệ ễ ấ x=0 ho c ặ y=0 không th a mãn h .
ớ
(cid:0) (cid:0) = + = + (cid:0) (cid:0) V i x>0, y>0 ta có 1 + y x x 2 3 x 1 3 2 2 y 7 = - � � ế ớ ế (nhân v v i v ) 1 + x y 1 x 3 8 y 7 - = - 1 + 1 � � � 1 � 1 + x = y 4 2 y 7 (cid:0) y x 1 3 2 2 y 7 (cid:0)
= + 2 - - xy x = 2 y (7 38 0
1 � � � � x + x x 24 )( y vào = � y (1) x 6 (vì x, y d ta ươ ng). ượ đ c
- . 1 0 7 ừ T đó suy ra x và y. � 21 Thay 1 x 7 1 + = x � y ) ươ ph 1 =� x 2 3 2 21 24 ng � 1 �� 3 � xy 7 trình � . � �
ươ ặ ẩ 2. Ph ụ ng pháp đ t n ph .
ươ ế ặ ộ ộ ố M t s ph
ộ ố ộ
ứ ạ ể ư ụ ệ ng mà nh cách đ t n ph ta có th đ a h ph c t p v
ờ ộ ể ng trình sau khi nhân ho c chia hai v cho cùng m t bi u ấ ặ ằ ứ th c khác không ho c b ng m t s đ ng tác tách và ghép khéo léo ta làm xu t ề ặ ẩ ạ ượ ệ hi n các đ i l ả ộ ệ ơ m t h đ n gi n, quen thu c.
ọ ợ ủ Bài 5. (Thi KSCL môn thi THPT QG c a THPT Lê L i năm h c 20142015)
+ 3
y
y
x
- + = 1 8
2
4
4
4
+ 2
= 2
y
x
+ x
y
y
x
(
)
(
1)
2(
1)
(
3) 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: - - - - - (cid:0) (cid:0)
y
1
(
)
*
x
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ Gi ề i:ả Đi u ki n: (cid:0) (cid:0)
4 x ta có pt
= -
ừ ặ T pt (1), đ t t =
y
2
y
(1
t y )
+ = (cid:0) t t 2 (
1) 0
t 2 = + t
y
1
= -
y
t 2
(cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)
4
4
=
+
=
ế ợ ệ ớ (cid:0) V i ớ k t h p v i đk (*) suy ra vô nghi m.
�
�
= + t
y
y
x
x
y
1
1
(
1)
- (cid:0) V i ớ
Thay vào (1) ta có
5
2
2
3
+ 3
�
y
y
y
y
y
- + = 1 8
(
1)
1 1
1)
(
8) 0
� y ( �
= � 1 �
- - - - - - - -
2
+
�
y
y
= y
y y (
2)
(
+ 2)(
2
4) 0
y 2 - + y 1 1
=
- - - - -
(
)
y
tm
2
(*)
2
�
y
y
y
(
2)(
= 3 4) 0
� (cid:0)
2
=
(
)
y
y
3 4 0 3
y
1 - + 1 1
y
1 - + 1 1
2
=
(cid:0) (cid:0) - - - - - (cid:0) (cid:0)
y
y f( )
y 3 4
y
2
- - Xét
y
y
f y
1;
y 3 4
8
( ) 0
- - V i ớ suy ra pt (3) vô nghi mệ Thay y=2 vào (2) suy ra x=1 1 - + 1 1 1 (cid:0)� � � > - 1 - + y 1 1
2
2
ệ ậ ấ ệ V y h đã cho có nghi m duy nh t (x;y)=(1;2)
+
+
+ =
x
y
2
y +
xy =
+
y
1 4 (1) + 2 x
y
y x (
)
2 (2)
7
2
(cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 6. Gi (cid:0)
2
ệ ớ y khác không, chia c haiả Gi ậ i:ả Nh n th y
2
2
(cid:0) ấ y=0 không th a mãn h . V i ỏ + x 1 + + = (cid:0) x y 4 (cid:0) y (cid:0) ượ . ế ủ v c a (1) và (2) cho y ta đ c: + (cid:0) x 1 + = + x y ( ) 2 7 (cid:0) (cid:0) y
(cid:0) = + x a (cid:0) (cid:0) Đ t ặ x = b (cid:0) (cid:0)
2
2
= - (cid:0) a a a 9 � � � (cid:0) ta đ c ượ . = = b = y + 2 1 y + = a b = 4 + = - 4 = + 2 - (cid:0) 5, b a 3, 1 a b 2 2(4 + ) 7 2a15=0 b � � � a � � = - b 4 � � � a � �
2
2
4
2
+
=
+
)
(
(
y
x
x
x
2
4
3
3
ừ � � � a � � T đây ta tìm đ 7 ượ x và y. c (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ả ệ ươ i h ph
ng trình:
x
y (
y
2015
) ) = 1
2
+ - + x x 5
2
4030
Bài 7. Gi - (cid:0) (cid:0)
ề ệ Gi i:ả Đi u ki n: 2y – 2x + 5 ≥ 0
3
3
=
+
x
x
(cid:0) ế ừ ậ ỏ N u x = 0, t (1) suy ra y = 0. Khi đó không th a mãn (2). V y x 0
3.
3
3, ta đ
y 2 � �+ � � x � �
=
ả ế ủ ượ c: (3)
)
f
t
t
y 2 x ﾡ . D th y f(t) là hàm s đ ng bi n trên R
2
=
x
x
=� y 2
(cid:0) Chia c hai v c a (1) cho x ( ễ ấ ố ồ ế Xét hàm s : ố
+ 3 3 , t t y 2 x
ừ ượ Do đó t (3) ta đ c: .
6
x
(
(
x
x
2015
) 1
2 + - 4
) = 1
2
- � 1 � �
� � �
2
=
- - ế Th vào (2) ta có:
)
(
u
u
2
u 2015
+ - 4
2
2
ặ ượ Đ t u = x – 1 , ta đ c PT: (4) Xét hàm s :ố
=
=
)
)
(cid:0)
)
)
(
(
( g u
u
( g u
u
u
u
u 2015
+ - 4
u 2015
+ - 4
1 + 2
u
4
� -� ln 2015 �
� � �
< <
trên R có
2
)
1 ln 2015
( g u
> " ��ﾡ u
0,
u
+ - > u 4
0
1 + 2
u
4
(cid:0) Vì và nên Hàm g(u) đ ng ồ
=
�
x
y= 1;
1 2
=
)
x y ;
ấ ủ ệ ế ặ bi n trên R. M t khác g(0) = 2 nên u = 0 là nghi m duy nh t c a (4)
1 � � 1; � � 2 � �
2
ệ ươ ậ V y h ph ấ ( ệ ng trình có nghi m duy nh t :
2
(cid:0) + = (cid:0) x (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 8. Gi = y + (cid:0) (cid:0) xy 2 x y
2
ế ủ ả Gi ậ i:ả Nh n th y
2
2 6 (1) 2 x 1 5 (2) ỏ ệ ấ x=0 không th a mãn h . Chia c hai v c a (1) và (2) (cid:0) � � y 1 = + � � x x � � �(cid:0) � 2 � � � + � � � � �
(cid:0) y 6 (cid:0) + = (cid:0) 6 y x . ượ ệ c h cho 2x ta đ + = - y 5 y 2 5 (cid:0) (cid:0) y 2 � x � 1 � � 2 x y = x 1 x
(cid:0) y (cid:0) = (cid:0)
ế ặ Đ n đây ta đ t . (cid:0) (cid:0) (cid:0) P S . �(cid:0) � - 2 S 6 = P 2 5 = S � � P (cid:0) (cid:0) 1 = + x y x
x
y
(
1)
5
1 xy
2
2
x
y
(
1)
49
2
1 2 yx
ả ệ ừ Gi i h này ta tìm đ ượ S và P, t c đó ta tìm đ ượ x và y. c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 9. Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ệ ố ứ ạ ộ Gi
i:ả Tr ướ ế ế ấ ụ ườ ổ
ng ta s ặ ộ ệ ứ ạ ư ẹ ư ệ
ượ ể ạ ệ c h t ta th y h này có d ng quen thu c là h đ i x ng lo i ẽ ặ ẩ 1, tuy nhiên n u đ t n ph theo t ng và tích nh cách thông th ặ ề g p m t h khó, ph c t p và không có nghi m đ p. Nh ng sau khi đ t đi u ệ ki n và khai tri n ra ta đ c:
7
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) + + + = x y 5 x a (cid:0) (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 1 y (cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ ế , và n u đ t thì ta đ c ượ a b + 5 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b 53. + = + + + = y b x y 49 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 + = x 1 y (cid:0) 1 2 x
ộ ệ ế ộ 1 2 y Đ n đây ta có m t h quen thu c.
2
2
3 x y
4
2
(cid:0) + + = - x + + y xy xy (cid:0) (cid:0) 5 4 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 10. (KA 2008) Gi (cid:0) + + = - x y xy + x (1 2 ) (cid:0) (cid:0) 5 4
2
2
2
2
2x = xy b
2
(cid:0) + + = - x + + y y xy xy x ( ) (cid:0) (cid:0) 5 4 (cid:0) ệ ươ ươ ớ . ng đ ng v i Gi i:ả H đã cho t (cid:0) + + = - x y xy ( ) (cid:0) (cid:0) 5 4 (cid:0) (cid:0) + = y a (cid:0) ượ ệ ta đ c h ớ m i ặ Đ t (cid:0) (cid:0)
2
3
2
+ + = - - a ab b a 5 4 5 4
- - - - + = - b a a a � � � � � a � � � = - b � �(cid:0) � � a � � 5 4 5 4 5 4
3
2
2
(cid:0) (cid:0) + + = = = - a a a b 0 0, (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 4 5 = - 4 5 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - = - - a b a = - b ; (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 4 1 2 3 2
ừ T đó ta tìm đ ượ x, y. c
ươ 3. Ph ế ng pháp th .
ươ ộ ẩ ứ ế ặ ộ ề Nhi u ph ng trình sau khi rút m t n (ho c m t bi u th c) t ừ ươ ng ph
ế ươ ượ ươ ả ơ trình này th vào ph ng trình kia ta đ ộ c m t ph ặ ng trình đ n gi n ho c
ổ ề ộ ệ ơ ế ờ ườ nh đó mà ta có cách bi n đ i v m t h đ n gi n. ả Ta th ụ ng áp d ng cách
ệ ấ ớ ộ ươ ủ ệ này v i các h mà ta quan sát th y m t ph ộ ng trình nào đó c a h mà m t
ẩ ặ ở ả ấ ỉ ươ ủ ệ ể ộ n ch có nh t ho c c hai ph ứ ng trình c a h có cùng m t bi u th c
chung nào đó.
ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 11. (HSG QG – 2001) Gi
8
(cid:0) (cid:0) x + + y x + = y 7 2 5 (1) (cid:0) (cid:0) x + + - = y x y 2 2 (2) (cid:0)
(cid:0) x 7 0 (cid:0) ừ ế , t (2) ta suy ra , th vào (1) x y x 2 + = + - y 2 Gi i:ả ĐK: (cid:0) x + (cid:0) y + (cid:0) y 2 0
x y y ta đ c ượ 7 + = + - x 3 . Do đó ta có h ệ
2
2
2
2
2
- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) x y 2 3 x y 3 2 (cid:0) = = y + = + + + - - - � � x y x y x xy y 9 6 2 6 (cid:0) = = (cid:0) x � x 1 y 19; 10. + = + + + - - - (cid:0) (cid:0) x y � = x � � y y x y x xy 7 � � 2 4 y 2 + 11 1 = 10 0 4 4 2
x 1 ễ ấ ệ ệ ệ ỏ D th y nghi m y y= = th a mãn h còn nghi m kia thì không.
ng trình: Bài 12. (KSTHPT Chuyên VP) Gi
2
2
2
(cid:0) + + = x y xy 4( + ) 4 7 (cid:0) ả ệ ươ i h ph 3 + (cid:0) y x ) ( (cid:0) (cid:0) + = x 2 3 (cid:0) 1 + (cid:0)
2
y+ (cid:0) x x 0. ươ ứ ấ ươ y Ph ng trình th nh t t ớ ng v i Gi iả : ĐK
2
+ + = 2 - - x y x y x 3( ) + + 6 ( ) 13 ( = 2 y ) 13 (*) 3 + x x y ( ) ươ ng đ 2 � 1 + �+ y � � + + � � x y 3 �
= - 3 2x ươ ứ ế ươ ừ T ph ng trình th hai ta suy ra , th vào ph ng trình (*) ta 1 + x y
đ cượ :
2
(cid:0) + 2 - - - - � x + + - y x x y 3( x 3 2 ) ( = 2 y ) 13 4( ) + x 18( = y ) 14 0 � (cid:0) (cid:0) - = y - = y x x 1 7
3
ừ ươ ủ ệ ứ ượ T đây và ph ng trình th hai c a h ta tìm đ c các nghi m ệ x và y.
2
(cid:0) + (cid:0) x Bài 13. (HSG QG – 2004) Gi 3 (cid:0) ng trình: 49 (1) = 2 - - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph = - 2 xy + xy x
ề ả ớ ệ Gi
8 ẩ ế ượ ế x 17 (2) ể ươ ng trình đ u khó có th rút ộ c m t (2) và th vào (1) thì ta đ y y 8 ở hai ph 2y t ừ
3
2
2
ậ
i:ả V i h này, c hai n và n này theo n kia. Tuy nhiên, n u rút ươ + + 2 - - - � + = xy x x x ẩ ph 3 x y x 24 ( + 1) 2 + x 2 49 49 (3) ỉ ẩ y ch có b c 1: = - + xy x 17 ) 49 8
ệ ở y ẩ ng trình mà n x 3 ( 8 N u ế x = 0 thì (1) vô lí. N u ế x = 1 thì h tr thành = 2 16 =� � . y 4
9
22 x
+ - 49 (cid:0) - (cid:0) = ừ x x N u ế 1& 0 thì t (3) suy ra . Th tr ế ở ạ i l y x 49 x 24
2
ươ ượ ph ng trình (2) ta đ c
2
2 � = � � �
2
2
+ + 2 - - - x x + 2 x x 2 2 49 49 49 + - - x x x 8 . 17 x 49 x 24 x 49 x 24 49 x 3 � 2 � � �
4
2
2 � � � � 2
3
3
+ - - x 49 + + = - 2 + = - � � x x x x 192 (2 49 49) 49.192 x 49 x 24 x 3 49 x 3
3
� 2 � � � + 4 + + + = + = + � � x x x x 196 196 2401 0
2401 0 2 x 2205 + 4606 = - � x x
x + 196 2205 ố � 196 ệ ứ 2205 = 2401 0 ỉ ệ x ươ + 196 2205 0 ng trình cu i cùng vô nghi m, ch ng t 196 + x ỏ ệ h ch có hai nghi m (
196 Ph 1;4) và (1;4).
ắ ụ Không phái lúc nào ta cũng may m n khi áp d ng ph ng pháp ‘‘ th
ậ ươ ư ặ ẳ ế ươ ẩ ng trình b c 4 mà không nh m
2
ệ ế đ n cùng’’ nh v y, ch ng h n nh g p ph ượ đ ạ ư ậ ư : c nghi m nh bài toán sau
2
(cid:0) - (cid:0) b + = c (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài 14. Gi + bc 2 2 - - (cid:0) (cid:0) b c 2 + b 2 4 0 (1) - = c 2 3 0 (2)
ầ ươ ề Gi
ph
2
ộ ẩ ừ ọ ế ậ ươ ượ ng trình b c 4 mà nghi m l ấ ố ớ b và c, đi u đó ng trình kia. Tuy ẻ Ở ệ đây ta .
+ 2 - � � , rõ ràng b=1 b b ậ i:ả Rõ ràng ph ng trình đ u có b c nh t đ i v i ươ ươ ợ ng trình này và th vào ph g i ý cho ta rút m t n t ộ c m t ph nhiên sau khi rút g n ta đ ơ : ộ ầ c n m t kĩ năng tách khéo léo h n Ta có c b 2 ( (1) - + b 1 2 - = 1) - = 1) c b 2 ( 4 2 5
2
2
2
+ + b 2 5 c b ỏ ớ ế ượ = - + + 1 2 2 không th a mãn, v i 1b (cid:0) suy ra , th vào (2) ta đ c -
4
2
b + - - - - � c c b 4 + = b 8 4 4 + c 8 16 b 4( = 1) (2 12 1 2 2)
2 5 � + �- 1 �
= 2 - - - - - � � b b 12 3( 1) 22( = 1) 25 0 b 4( 1) b � - + b ( 1) � �
(cid:0) + + 5 3 4 3 = = (cid:0) b c ; 3 3 (cid:0) Suy ra (cid:0) - - = = (cid:0) b c ; . (cid:0) (cid:0) 3 5 3 3 4 3
ươ ả ẳ
ấ ng trình này xu t hi n khi ta gi ộ ườ ể ọ i bài toán hình h c ph ng: D : y=3. Tìm đi m Bể
ể ộ ệ Trong h t a đ Oxy cho đi m A(1 ;2), đ thu c ộ D ệ H ph ẳ ệ ọ ng th ng ề và đi m C thu c Ox sao cho tam giác ABC đ u.
10
ươ ệ ủ ử ụ ơ 4. Ph ố ng pháp s d ng tính đ n đi u c a hàm s .
ế ầ
Đ v n d ng ph ế ươ ơ ươ ệ
) ệ ấ ọ ộ ấ ng pháp này ta c n đ n m t tính ch t quan tr ng sau a b ( ; ) ố f(x) đ n đi u và liên t c trên kho ng ả ng trình thì ph ỉ ơ ữ f(a)=f(b) khi và ch khi ả , h n n a
ể ậ ụ ụ đây: N u hàm s a b ( ; f(x)=0 có nghi m duy nh t trên kho ng a=b.
5
6
2
ồ ng trình: Bài 15. (HSG K12 Đ ng Nai) Gi 4 (cid:0) + x xy ả ệ ươ i h ph + = 10 y y (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 4 + + 5 + = 8 6 (2) (cid:0)
5
6
5
5
5
- ừ ươ N u ế y=0 thì t ph ng trình (1) ta suy ra x=0, thế x (cid:0) . Gi iả : ĐK: 5 4 ấ ỏ ươ ng trình (2) ta th y không th a mãn, v y ậ y khác 0. Đ t ặ x=ky ta đ cượ
10 y 4
+ + = � (3). Xét hàm s ố vào ph ở (1) tr thành = + 5 5 k y k + = k y y f t t t ( )
2
(cid:0) ố ồ ế có Do đó f(t) là hàm s đ ng bi n trên f + trên R , ta R , v yậ y + > " 1 0
2
ky = t t '( ) 5 = t R = = ế � � � Th vào (2) ta đ ượ : c k y x y f k ( ) f y ( ) (3) .
2
+ + + = � x x x x x 4 + + 5 + = 8 6 5 + 13 2 4 37 40 36
2
2
+ + = - � x x 2 4 37 40 - (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 0 x 23 x 1 � � � (cid:0) = x 23 5 + 2 + = - - (cid:0) x 41 x x + x x 230 529 + x 378 369 0 23 5 x 5 � � � 9 � �
= x 160 25 y = (cid:0) 1 � � � 16 148 � � Suy ra x=1 và do đó .
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) x y y 2 + = 5 2 - + 1 (1) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 16. Gi (cid:0) y - + 1 2 2 (cid:0)
(cid:0) (cid:0) x y (2) ạ ấ + = x x 5 ộ ệ ố ứ . Ta th y đây là m t h đ i x ng lo i 2, nên tr ừ Gi
2
2
0, ổ
0 ượ c: = 2 + + 2 (3) x x x y y iả : ĐK ế ế ế v cho v và bi n đ i ta đ - + + + 1 5 2 2 2 5 2 - + y 1
2
2
f
t
+ + 5
(cid:0) ễ ố
= t ( ) 2 ồ nên f(t) đ ng bi n trên
2
- + t 1 2 [1;+ ) và do đó (3) t ả ằ 2
(cid:0) trên [1;+ ) ươ , d th y ươ ng đ
t ế + = 5
Xét hàm s )+(cid:0) (1; vào (1) ta đ c ượ . Gi ấ f’(t)>0 trên ớ x=y. Thế ng v i ượ x=2. c i b ng MTCT ta đ x x 2
2
x 2 - + 1 + - = - - 2 ổ ế Do đó ta bi n đ i nh sau x x x 2 - + 1 2 4 ư 2 - - = + - � x + x 2 ( 2)( 2) 2 x 2 4 + + 5 6 2 x 2 - + x 1 1 5 3 x = (cid:0) x (cid:0) + (cid:0) (cid:0) = + + x 2 (4) 2( 2 (cid:0) 2 x 2) + + x 2 - + 1 1 (cid:0) x 5 3
11
ệ ệ ậ ệ ng trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghi m. V y h có nghi m
2
+
+
x
x
y
(4
1)
(
= y 3) 5 2
0
2
2
+
+
x
y
= x
4
2 3 4
7
=
ươ Ph x=y=2. (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 17. (KA2010) Gi - (cid:0) (cid:0)
x (cid:0)
5 2
3 4
- . Đăt ̣ u = 2x; Gi i:ả ĐK :
v y u(u2 + 1) = v(v2 +1) (cid:0)
x
0
=
x
y
2
5 2
2
x
=
y
3 4 5 4 2
+ 2
+ 4
̀ ở ng trình (1) tr thanh Ph (u v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0 (cid:0) ươ u = v (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ̀ ̃ Nghia la : - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
6
4
= x 2 3 4
7 (*)
25 4
4
=
+ 2
- - ế ượ Th vào (2) ta đ c:
x
x
x
f x ( )
4
6
2 3 4
25 + 4
3 � � 0; � �� � 4
2
=
- - ́ ́ ̀ Xet ham sô trên
f
x
x '( )
x 4 (4
3)
4
f
7
- - < 0 -
1 2
4 x 3 1 � �= � � 2 � �
́ ́ ̀ ̣ ̣ Măt khac : ́ nên (*) co nghiêm duy nhât x = va y = 2.
1 2
́ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ Vây hê co nghiêm duy nhât x = va y = 2.
ệ ươ ề là các h ph
ấ ự ế Th c t ậ ổ
ế ệ ớ
ả ng trình d ng này có nhi u cách gi ề ạ i thi u các h ả ư ọ ệ ạ b n kĩ năng thông d ng nh trên. Ti p theo tôi xin gi ng trình t ng t
ươ ế ụ ổ ề ề ậ ầ
3
3
ạ i phong phú, ỉ ừ các kĩ thu t tách cũng r t đa d ng. Trong khuôn kh chuyên đ tôi ch d ng ụ ệ ạ ở ố i l ấ ồ ự ể ạ ươ đ b n đ c có thêm ngu n tài li u gi ng d y, r t ph ượ ả mong đ c ti p t c th o lu n trao đ i v chuyên đ này cùng các th y cô và ọ các em h c sinh.
(
)
x
y
+ 2 y
x
y
6
3
= 5
14 (1)
2
+ 3
- + x
x
y
3
+ = y 4
5 (2)
(cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 18. Gi - (cid:0) (cid:0)
x
y
3;
4
3
2
+
=
+
+
+
x
y
y
y
3
6
15
14
(cid:0) (cid:0) - ệ Gi ề i:ả Đi u ki n:
3
=
+
+
+
(
)
(
)
�
x
x
y
y
+ 3 3
2
3
2
ươ ươ ươ ớ 3 x Ph ng trình (1) t ng đ ng v i
2
=
)
(
)
�
t
= + 3 t
f
t
t
t 3
'
t 3
+ > " 3 0;
(3)
ế ậ ồ Xét hàm s ố ( f , v y f(t) là hàm đ ng bi n trên R.
12
=
+
)
�
�
( f x
( f y
x
= + y
y
= - x
)2
2
2
2
+ 3
ươ ạ Ph ng trình (3) có d ng , thay vào (2) ta
(
) 2
+ 3
- + x
x
x
3
+ = x 2
2
5
�
- + x
x
x
x
3
+ = x 2
4
1
- - - - đ c ượ
2= là nghi m c a ph ệ
ẩ ủ ươ ư ổ ấ x Nh m th y, ế ng trình ta bi n đ i nh sau
3
2
+
=
+ 2
+
(
) (
)
- - - - - -
(
(
)
�
x
x
+ x
2
3
2
+ - x
x
x
x
3
) - + x 1
= 2 2
4
4
x 2 - + x 3
1
x 2 + + x 2 2
=
x
2
2
+
=
+
+
0 (tm) (
x
x
3
) 2 (4)
1 - + x
=� y 1 + + x 2 2
3
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1= -
+
+ 2
ươ ư ế ổ ệ x Ph ế ụ ng trình (4) ti p t c có nghi m nên ta bi n đ i nh sau:
(
)
(
)
x
+ x
4
3
2
1 3
1 3
1 - + x
1 + + x 2 2
1
-� � � 3 �
� � + � � � �
� = � �
-
x
1
2
+
=
+
+
(
)
�
x
x
3
2
3 - + x
+ x + + x
- + 2 3
1
2 2 2
- -
x
+
=
+
+
(
)
�
x
x
) ( 1
2
- - - -
-
(
(
)
)
- + x
x
+ + x
+ x
3
x 1 ) ( + 1 2
1 ) ( + 2 2 1
3
2
= -
x
= -� y
1
3 (tm)
+
=
+
(
x
) 2 (5)
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) -
(
(
)
)
- + x
x
+ + x
+ x
3
1 ) ( + 1 2
1 ) ( + 2 2 1
3
2
(cid:0)
x
VP
VT
+� 2 0
(5) 0
(5) 0
< , do đó (5) vô
(cid:0) ễ ấ D th y, (5) có nghĩa khi , còn
nghi mệ
)
( ) x y = - ;
( ) 1; 3 ; 2;0
- ệ ế ậ ậ ệ ( K t lu n: V y h đã cho có đúng hai nghi m .
3
2
2
ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 19. Gi
+
(
y
y
x
+ x
+ x
x
3
4
22
= 21
2
) 1
2
1 (1)
2
x
y
2
+ + y + = x 11
9 2 (2)
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
13
x (cid:0)
1 2
ệ Gi ề i:ả Đi u ki n:
3
2
2
ế ủ ươ ớ ươ Nhân hai v c a ph ng trình (2) v i 2 ta đ ượ ệ ươ c h t ng đ ng
+
(
y
y
+ + y
x
+ x
+ x
x
3
4
22
= 21
2
) 1
2
1 (1)
2
x
+ x
4
22
= y 18 4
0 (3)
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)
3
2
+
ừ ế ớ ế ủ ượ ươ ệ ả Tr v v i v c a (1) cho (3) ta đ c ph ng trình h qu
(
y
y
y
x
3
5
+ = 3
) 1
2
3
2
+
+
+
=
-
+ (
x )
1 (
+ (
�
y
y
y
y
x
- + x
x
3
3
2 ) + + 1
2
2
2
) 1
2
1 2 2
1
3
+
+
+
=
- -
(
(
- -
(
) 3 +
�
y
y
x
x
) 1
2
) 1
1
2
2 2
1
2
=
)
(
)
(
)
�
t
= + 3 t
f
t
t
f
t
t 2
'
t 3
+ > " 2 0;
(4)
ế Xét hàm s ố ( f . V y ậ ồ là hàm đ ng bi n.
- - - -
(
)
�
�
( f y
f
x
x
= y
x
) + = 1
1
2
+ = y 1
2
1
2
1 1
ươ ạ Ph ng trình (4) có d ng ,
- - -
(
x
22 x
+ = x 11
9 2
2
) 1 1
2
2
- =
+
thay vào (2) ta đ c ượ
�
�
x
x
x
- = x
x
x
2 2
1 2
+ x 11
11
2 2
1
1 2
12
10
2
2
- - - -
(
)
x
5
x
( 4 2
) 1
2
2
=
(
)
(
)
�
�
x
+ x
x
2
6
5
2
+ x 6
5
x
2 2
( ) + x 1 - + + x 1
1
+ x 6 - + + x x 1
= 1
2 2
=
- - - - - -
x
1
0
� 2 x
+ = (cid:0) x 5 0
6
(tm)
=
= � y =� y
x
5
2
=
2 (6)
x
1 - + + x 1
1
2 2
<
(
)
(
)
x (cid:0)
, VT 6
0; VP 6
0
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
> , do đó ph
1 2
=
(
)
(
)
) ( 1;0 ; 5; 2
x, y
ễ ấ ươ ệ ớ D th y v i ng trình (6) vô nghi m.
ệ ệ ế ậ K t lu n: H đã cho có hai nghi m là
14
ờ ả ẩ ượ ủ L i bình: i trên ta nh m đ ệ c hai nghi m c a ph ươ ng Trong bài gi
5x = , vì v y cũng có th phân tích ph
2
ể ậ ươ ng trình trên thành
)
x
x
x
x
) ( 1
= 5
+ 6
5
x = và 1; trình (5) là các nhóm có ch a ứ (
- - - ế ẩ ượ ệ ộ ỉ . N u ch nh m đ c m t nghi m thì
ợ ượ ệ ộ ươ ẫ sau khi nhân liên h p đ c nghi m đó và m t ph ữ ng trình n a v n có
ươ ứ ạ ư ể ấ ẫ ệ nghi m, ph ng trình y tuy ph c t p nh ng v n có th dùng cách nhóm và
ượ ứ ệ ặ ẩ ợ nhân l ng liên h p sau khi nh m ra nghi m th hai, ho c dùng ph ươ ng
ố ư ụ ở pháp hàm s nh ví d 2 trên.
ề ủ ng HN Amsterdam)
2
2
+
+
+
+
=
(cid:0) ườ ) ầ Bài 20. (Đ thi l n 1 năm 2014 c a tr (
) (
x
x
y
y
4
1
2 (1)
2
3
+ 3
y
+ = y
x
12
10
2 2
1 (2)
(cid:0) (cid:0) Gi ả ệ ươ i h ph ng trình (cid:0) - (cid:0)
2
2
2
+
Gi i:ả
(
(
)
�
�
-
)
(
x
x
y
+ x
x
y
y
(1)
+ = 4
2
+ - 1
+ = 2 4
) + + - y 4
2
2
(3)
2
=
)
t
t
t
4
+ + ; TXĐ: R
2
t
t
2
=
Xét hàm s ố ( f
(
)
(
) >
f
t
�
'
+ = 1
t
t
� � t
t
f
t
+ > 4
+ + > 2 t 4
0
'
0
t 2
2
+
+ + 4 +
t
t
4
4
=
- Có , mà ,
)
(
)
�
�
( f x
f
y
= - x
y
(3)
2
2
3
3
3
3
2
3
3
+
+
+
=
+ +
+
(
(
+
+ =
+
�
x
x
x
x
) 1
2
) 1
1 2
1 (4)
x
x
5
2 2
1
2
=
- ế ậ ế ồ ậ v y f(t) là hàm đ ng bi n, do v y , th vào (2) ta
)
)
= + t
t
3 2 t
( g t '
t 3
+ > " 2 0;
(cid:0) c ượ đ x 3 Xét hàm s ố ( g t ; TXĐ: R. Có g(t) là hàm đ ngồ
=
ế bi n trên R.
x
0
3
3
3
3
2
+
=
+
+
+
=
�
�
�
(cid:0)
)
(
( g x
g
x
x
x
x
x
(4)
) 1
1
+ = 1
1
3
3
0
� (cid:0)
0 = -
x
=� y =� y 1
2
(cid:0)
(
(
)
) x y = ;
) 0;0 ;
1; 2
- ế ệ ậ ệ ( K t lu n: H đã cho có hai nghi m .
ủ ở ề ầ ớ Bài 21. (Đ thi KS l p 12 l n 1 năm 2013 c a S GD – ĐT Vĩnh Phúc)
2
3
+ -
+ + 2
=
(cid:0) (cid:0)
)
) (
(
x
+ 2 x y
y
2 x y
1 3
4
1 1
8
(1)
2
2 x y
- + = x
2 0 (2)
(cid:0) Gi ả ệ ươ i h ph ng trình (cid:0) (cid:0)
Gi i:ả
15
=
y
=� x
0
2
2
3
+ -
= 2
+ - 2
�
ườ ủ ệ ệ ả Tr ợ ng h p 1: không ph i là nghi m c a h
)
)
(
(
y (cid:0)
x
+ 2 x y
y
2 x y
y
0
(1)
1 3
2 4
8
4
1 1
2
+ -
+ =
+ - 2
(
)
�
ườ Tr ợ ng h p 2: ,
)
(
x
2 x y
2 x y
y
1 3
2 2
4
1 1 3
2
+ -
)
(
x
2 x y
+ - x
= 2 x y
2 x y
+ - 2 y
1 3
2
4
1 1
= - x
2 x y
2
2
2
+ + =
+ +
�
ừ ượ Thay t c
)
x
x
2 x y
y
1
2
1 1
4
=
+ >
(2) vào (3) ta đ ( (4)
�
x
2 x y
�
�
(2)
2 0
x
x
� � x
VT
VP
> y
+ > 2 1
> (4) 0
> (4) 0
0
2
x
x
2
=
+ +
- ậ Nh n xét: , và
�
x y > , ph 0
ươ V i ớ , ng trình (4)
)
(
y
y 2
4
1 1
+ + 1 2
x
4
2
+
+
+
(
)
(
)
(
)
�
y
y
y
2
2
2
(5)
1 2 x
1 4 x
1 + = x
3
+
4
2
=
(
)
=
+
+
)
(
t
f
'
+ > " > t 1 0;
0
t
t
t
t t ;
0;
) +� � , có
t 2 4
t 2
+
t
t
=
(
)
(
)
�
�
f
f
y
y
5
2
2
x- + =
2 0
Xét hàm s ố ( f , f(t) là hàm
1 x
x 2
1 � �= � � x � �
=
=
�
�
x
y
4
ế ượ ế ồ đ ng bi n, do đó , th vào (2) ta đ c
1 8
=
)
x y ;
4;
ệ ề ỏ (th a mãn đi u ki n)
1 � � � � 8 � �
ệ ệ ế ậ ấ ( K t lu n: H đã cho có nghi m duy nh t
2
2
Ệ Ậ Ự III. BÀI T P T LUY N
2
2
2
2
(cid:0) + - (cid:0) x y + x 3 4 1 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 1. Gi - - - (cid:0) (cid:0) x y x y 3 2 9 3 = y = 8
2
(cid:0) = + - (cid:0) x y (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 2. Gi xy 2 = 2 - - (cid:0) (cid:0) x 18( + xy y xy ) 38 + y x 7( ) 14
+
= 2
y
x y x
xy x 2 = y
5 2 xy
5 2
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 3. Gi - - (cid:0) (cid:0)
16
2
2
(cid:0) + = + (cid:0) x x y (1 ) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 4. Gi ) 2 y (1 + 2 = (cid:0) (cid:0) x y 3 1
2
2
+ + - = (cid:0) y x x ( 1) 3 0 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 5. Gi + - x y ( ) 1 0 (cid:0) (cid:0) 5 + = 2 x
+ + =
xy
y
x
22 y
x - =
x
y
y x
x
y
2
1 2
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 6. Gi - - (cid:0) (cid:0)
2
2
4
2
+ + = (cid:0) 1 7 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 7. Gi x + y + = (cid:0) xy 2 x y xy y 1 13
2
3 x y =
2 x y +
(cid:0) + + = + (cid:0) x x 2 2 9 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 8. Gi + (cid:0) (cid:0) x xy x 2 6 6
x
4(
)
32
y
y
4(
4
)
y
x
1 x 2 1 2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 9. Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+ 2
xy
= 2 y
81
29
4
2 x y 3
33 3
3 x y + 3
y
81 2 x y
xy
= 2 y
25
9
6
4
24.
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 10. Gi - - (cid:0) (cid:0)
5
5
ấ ả ệ ươ ị ủ ố t c các giá tr c a tham s a sao cho h ph ng trình sau Bài 11. Tìm t
x
a ( bx
y 4
2
e
).1 a
by
1 a
(
)1
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ ệ ọ ớ ố có nghi m v i m i giá tr c a tham s b: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
xy
4
y
3)
1
4
x
y
x 4
( x
y
(8
6)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình (cid:0) Bài 12. Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
1 y
3
1 - = - y x =
+
x
y
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 13. Gi (cid:0) (cid:0)
3
(cid:0) - (cid:0) x + = - y x y 2 2 3 2 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 14. Gi (cid:0) x - = y + + 6 1 4 (cid:0)
2
- (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 15. Gi bc 2 - - (cid:0) b - + = b c 4 = b c 2 2 0 + c 8 18
17
2
(cid:0) - + - (cid:0) x 2 3 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 16. Gi 2 2 y x + 2 - = y 3 - + = (cid:0) (cid:0) xy y x y 2 9 13
2
(cid:0) + + - (cid:0) y y = + x - + x 3( 2) 2 2 1 (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 17. Gi + )(1 + (cid:0) (cid:0) y y x 2 2 x - = 2 2
2 3
(cid:0) - - - x x y 1 2 + = y 4 2 0 (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 18. Gi - - (cid:0) x + = y x 1 2 2. (cid:0)
2
ả ệ ươ i h ph ng trình Bài 19. Gi
+ 2
x
y
xy
y
x
2
+ + = y x 5 2
+ - x 2
1
3 3
2
+
x
y
x
y
- = y 1
+ + - x 4
5
2
2
(cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0)
Ế Ị Ầ PH N III: Ế Ậ K T LU N VÀ KI N NGH
Ế Ậ
ượ ả c trong quá trình gi ng
ọ ạ d y và b i d
ệ
ữ ng h c sinh gi ủ Đ tài c a tôi đã đ ồ ể ả
ậ i. c ki m nghi m trong năm h c này, đ ả ươ ướ ọ ả ệ i h ph ỹ ữ
ả ỹ
ứ ứ ọ ụ
ạ ả ỹ ọ ượ c h c ng trình. c k t qu , nâng cao kh năng gi ọ ẫ ớ ơ ở ng d n k các em h c sinh nh ng l p có h ọ ậ ở i các bài t p. H c sinh ế ụ ụ ể ở ớ l p 12A1 sau khi áp d ng sáng ki n này t áp d ng tăng rõ r t. C th ạ ả ượ ơ ả ể c c b n các d ng i đ
ệ ố ọ ả ử ư ế 1. K T LU N. Trên đây là nh ng bài t p mà tôi đúc rút đ ỏ ồ ưỡ ượ ề ạ ượ ế sinh đ ng tình và đ t đ ọ ậ Các em h ng thú h c t p h n, ớ v i m c h c trung bình cũng tr lên đã có k năng gi ế bi vào gi ng d y thì s h c sinh hi u và có k năng gi ả toán nói trên. K t qu kh o sát qua các bài thi th nh sau:
ớ ố ứ L p đ i ch ng (1 2A2) T ngổ số ự ớ ệ T ngổ số L p th c nghi m (1 2A1)
18
Gi iỏ Khá TB Gi iỏ Khá TB
39 h cọ sinh 39 h cọ sinh 35 4 0 20 13 6
89,7% 10,3% 0% 51,3% 33,3% 15,4%
ứ ả ố ố ớ
ữ ớ ẳ ề ệ ệ ả ị
ự ề ự ấ Nhìn vào b ng th ng kê, ta th y gi a l p đ i ch ng và l p th c ệ ệ nghi m có s chênh l ch rõ r t, đi u đó đã kh ng đ nh tính kh thi trong vi c ậ ụ v n d ng đ tài này.
Ế Ị 2. KI N NGH .
ạ ạ ỡ ọ ệ ề
ể ớ
ư ệ ứ ấ ệ ể ứ ế
ị ề Đ ngh các c p lãnh đ o t o đi u ki n giúp đ h c sinh và giáo viên ả ơ ữ ổ ề có nhi u h n n a tài li u sách tham kh o đ i m i vào phòng th vi n đ giáo ọ ậ ọ viên và h c sinh có th nghiên c u h c t p nâng cao ki n th c chuyên môn ệ ụ nghi p v .
ổ ả
T chuyên môn c n t ả ư ạ ươ ng pháp gi ng d y ể ọ chuyên môn đ h c
ủ ổ ổ ầ ổ ứ ch c các bu i trao đ i ph ổ ọ ổ ề cũng nh các m ng chuyên đ hay trong các bu i h p t ệ ỏ h i kinh nghi m c a nhau.
ườ ự ọ ậ ạ ng tính t giác h c t p, ôn bài t ể i nhà đ nâng
ọ H c sinh c n tăng c ấ ượ cao ch t l ầ ọ ậ ng h c t p.
ặ ắ
ủ ấ ả ế ạ ấ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2016
ệ ổ ả ơ ố ắ ứ ề ắ M c dù c g ng tìm tòi, nghiên c u song ch c ch n còn có nhi u ồ ượ ự ế t c các đ ng c s quan tâm c a t thi u sót và h n ch . Tôi r t mong đ nghi p b sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành c m n!
Ủ Ậ XÁC NH N C A TH TR Ủ ƯỞ NG ủ Tôi cam đoan đây là SKKN c a mình vi ế t, Đ N VƠ Ị ủ ộ ườ không sao chép n i dung c a ng i khác
Ng ườ ế i vi t
ị ồ ỗ ạ Đ Th H ng H nh
19
Ả
Ệ
TÀI LI U THAM KH O
ạ ố ả ạ ầ [1] Sách giáo khoa Đ i s và Gi i tích 12 ấ Tác gi : ả Tr n Văn H o, Vũ Tu n
ấ ả ụ Nhà xu t b n Giáo d c;
20
ạ ố ậ ả ầ ạ ấ Nhà [2] Bài t p Đ i s và Gi i tích 12 Tác gi : ả Vũ Tu n, Tr n Văn H o
ấ ả ụ xu t b n Giáo d c;
ạ ố ả [3] Sách giáo khoa Đ i s và Gi i tích 12 nâng cao Tác gi : ả Đoàn Qu nh,ỳ
ễ ấ ả ụ Nhà xu t b n Giáo d c; Nguy n Huy Đoan
ạ ố ậ ả [4] Bài t p Đ i s và Gi i tích 12 nâng cao Tác gi :ả Nguy n Huy Đoan, ễ
ễ ấ ả ụ Nhà xu t b n Giáo d c; Nguy n Xuân Liêm
ệ ả ứ [5] Các bài gi ng luy n thi môn toán ươ Tác gi :ả Phan Đ c Chính, Vũ D ng
ụ ố Th y, ụ Đào Tam, Lê Th ng Nh t ấ ả ấ Nhà xu t b n Giáo d c;
ạ ố ả ấ [6] Toán nâng cao Đ i s và Gi i tích 12 ễ Tác giả: Nguy n Tu n Khôi,
ễ ậ ạ ọ ư ạ ấ ả Nhà xu t b n Đ i h c S ph m; Nguy n Vĩnh C n
ấ ả ụ ọ ổ ẻ Nhà xu t b n Giáo d c; [7] Báo Toán h c tu i tr
ề ể ứ [8] Đ thi tuy n sinh môn Toán Tác gi : ả Phan Đ c Chính, Đăng Kh i ả
ấ ả ụ Nhà xu t b n Giáo d c;
ạ ọ ề ướ [9] Các đ thi đ i h c các năm tr c;
ử ạ ọ ề ướ [10] Các đ thi th đ i h c các năm tr c;
ề ọ ỏ ữ ủ ớ ỉ [11] Đ thi h c sinh gi i môn Toán l p 10, 11, 12 c a các t nh nh ng năm
tr c.ướ
ﾡﾡﾡﾡ
21
Ụ Ụ M C L C
Ầ Ấ Ề ……………………………………….….……...…………….....1 Ặ PH N I: Đ T V N Đ
Ầ Ộ ƯƠ ƯƠ Ệ NG PHÁP GI I H PH
M T S PH Ẫ Ả NG TRÌNH Ự ………...……….…………………….……………………………..
Ố PH N II: KHÔNG M U M C …………...2
Ộ Ố Ệ ƯƠ ƯỜ Ặ ………………….…… I. M T S H PH NG TRÌNH TH NG G P
2
ệ ươ ấ ậ ẩ …….………………………………. ng trình b c nh t hai n
1. H hai ph ……. 2
……………………………………….........2
ệ ươ 2. H ba ph ng ậ trình b c ấ nh t ba ẩ n
…...…...
…2
ệ ồ ộ ươ ấ ậ ộ ươ 3. H g m m t ph ng trình b c nh t và m t ph ng trình khác
ệ 4. H ố đ i ứ x ng ạ lo i
1…………………………………………………………………2
ệ 5. H ố đ i ứ x ng ạ lo i
2…………………………………………………………………3
ệ ẳ ấ ……………………………………………………………………..… 6. H đ ng c p
3
Ộ Ố ƯƠ Ả Ệ ƯƠ II. M T S PH NG PHÁP GI I H PH
Ẫ NG TRÌNH KHÔNG Ự …………………………………………………………………………………..3 M U M C
1. pháp Ph ng ế bi n ổ đ i ươ t ng ươ đ ng
ươ …………………………………………...3
ươ ẩ 2. pháp Ph ặ đ t n ph ụ
ng …………………………………………………………5
ươ 3. ng pháp th ế
Ph …………………………………………………………………..8
ươ ử ụ ủ ệ ơ ố ………………. ng pháp s d ng tính đ n đi u c a hàm s
4. Ph …………..10
Ự Ậ Ệ ……………………………………………………… III. BÀI T P T LUY N
16
Ầ Ế Ế Ị ………………………………………….18 Ậ PH N III: K T LU N VÀ KI N NGH
22
Ệ Ả ………………………………………………………………
TÀI LI U THAM KH O 20
Ở Ạ S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ
Ụ ƯỜ TR Ợ NG THPT LÊ L I
Ệ
Ế
SÁNG KI N KINH NGHI M
ƯỚ
Ả Ệ ƯƠ
Ọ
Ẫ
H
NG D N H C SINH GI I H PH
NG TRÌNH
Ự
Ề
KHÔNG M U M C TRONG CÁC Đ THI Đ I H C, THPT
Ọ
Ố
Ẫ QU C GIA VÀ THI H C SINH GI
Ạ Ọ Ỏ I
ườ ỗ ạ ự i th c hi n: Ng ị ồ ệ Đ Th H ng H nh
23
ệ
ưở
Ch c v :
ứ ụ Phó Hi u tr
ng
ự
ộ
SKKN thu c lĩnh v c (môn):
Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
24
