Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao phục vụ cho các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức môn Toán trung học phổ thông, luyện thi tốt nghiệp trung học phổ thông và giúp các thầy cô giáo trau dồi kinh nghiệm ôn tập cho kỳ thi này. Hy vọng đề thi phục vụ hữu ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z2  z  1 . Tính giá trị của M.n A. 13 3 4 B. 39 4 C. 3 3 D. 13 4  Cách 1: Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z  1  z.z  1  Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2     t 2  1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  2Re( z)  Re( z)  t2  2 2  z2  z  1  z2  z  z.z  z z  1  z  t 2  3  Xét hàm số: f  t   t  t 2  3 , t  0; 2  . Xét 2 TH:  Maxf  t   13 3 13 ; Minf  t   3  M .n  4 4  Cách 2:  z  r  cos x  i sin x   a  bi 2   z.z  z  1  Do z  1   r  a 2  b 2  1   P  2  2cos x  2cos x  1 , đặt t  cos x  1;1  f  t   2  2t  2t  1  1  TH1: t   1;   2 maxf  t   f 1  3 1  f 't   20 1 2  2t minf  t   f    3 2  1   TH1: t   ;1 2  f 't   1 7  2  0  t    maxf  t   8 2  2t  Maxf  t    7  13 f     8 4 13 3 13 ; Minf  t   3  M .n  4 4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính module số phức w  M  mi . 2 A. w  2 314 2 B. w  1258 C. w  3 137 D. w  2 309  Cách 1:  P  4x  2 y  3  y  P  4x  3 2  z  3  4i  5   x  3   y  4  2  P  4x  3   5   x  3    4  5  f  x 2   2 2 2  f '  x   8  x  3  8  P  4 x  11  0  x  0,2P  1,6  y  0,1P  1,7  P  33  P  13  Thay vào f  x  ta được:  0, 2 P  1,6  3   0,1P  1,7  4   5  0   2 2  Cách 2:  z  3  4i  5   x  3   y  4   5:  C  2 2  () : 4 x  2 y  3  P  0  Tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn  C  có điểm chung  d  I ;    R  23  P  10  13  P  33  Vậy MaxP  33 ; MinP  13  w  33  13i  w  1258 Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2 z  1 . A. Pmax  2 5 B. Pmax  2 10  Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:  P  z 1  2 z 1  1 2  22  z  1 C. Pmax  3 5 2  z 1 2   10  z  1  2 2 D. Pmax  3 2 5 Bài 4: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính module số phức w  m   x  y  i . A. w  2 3 B. w  3 2 C. w  5 D. w  2 6 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Cách 1:  z  2  4i  z  2i  x  y  4  z  x y  2 2  x  y 2 2 42 2 2 2  x  y  4 x  2   w  2 2  4i  w  2 6 x  y y  2  min z  2 2 , Dấu “=” xảy ra khi  Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2  y 2   x  y 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x  y  Cách 2:  z  2  4i  z  2i  y  4  x  z  x2  y 2  x2   4  x   2  x  2  8  2 2 2 2 x  y  4 x  2   w  2 2  4i  w  2 6 x  2 y  2  min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi  Bài 5: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  i  1  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z. A. min z  2 B. min z  1 C. min z  0 D. min z  1 2  Cách 1:  z  i  1  z  2i  x  y  1  x y 2 2  x  y  2  z  x2  y 2  2  1 2 1 1  2 2 Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x  y 2 2  x  y  2 2  Cách 2: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  z  i  1  z  2i  y  x  1  z  x  y  x   x  1 2 2 2 2 2 1 1 1 1   2 x      2 2 2 2  1 2  Vậy min z  Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  z 3  3z  z  z  z . Tính M  m A. 7 4 B. 13 4 C. 3 4 D. 15 4 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn  Cách 1:  Ta có z  1  z.z  1 2     Đặt t  z  z 0;2  t 2  z  z z  z  z 2  2 z.z  z  2  z 2  z 2 2 2  z 3  3z  z  z z 2  3  z  t 2  1  t 2  1  1 2 3 3  P  t2  t 1 t      2 4 4  Vậy minP   M n 3 ; maxP  3 khi t  2 4 15 4  Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại  P  z  3z  z  z  z  3 z 3  3z  z z 2   z  z  z2  3  z  z  z  z  z  2 1  z  z 3 4 2  P  z  z  1  z  z  . Đến đây các bạn tự tìm max nhé Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thỏa az 2  bz  c  0  a  0  . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2  z1  z2  2  z1  z1  2 2 2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c a A. P  2 B. P  C. P  4 c a c a 1 c 2 a D. P  .  Giải:  Ta có : z1  z2  z1  z2   z1  z2   z1  z2    z1  z2   z1  z2   2 z1  2 z2 2 2 2 2  Khi đó P  4 z1 z2 c a c a  Ta lại có: z1 z2   P  4 z1 z2  4 Bài 8: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thuần ảo 2 2 2 B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số nguyên tố 2 2 2 C. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thực âm 2 2 2 D. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số 1 2 2 2  Chứng minh công thức:  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2 2 2 2 2 2 2 2  Ta có: z  z.z và z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái:        z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1   z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z2 z1  z2 z3  z3 z2  z3 z1  z1 z3 2 2 2       z1  z2  z3  z1 z1  z2  z3  z2 z1  z2  z3  z3 z1  z2  z3   z1  z2  z3   z1  z2  z3  z1  z2  z3 2 2 2 2 2 2  z1  z2  z3  z1  z2  z3   2  Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1  z2  z2  z3  z3  z1  3 là số 2 2 2 nguyến số -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------