Hướng dẫn học - nghiên cứu môn Đại số sơ cấp (Phần 2)

Chia sẻ: đinh Công Chánh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1, phần 2 Tài liệu Hướng dẫn học - nghiên cứu môn Đại số sơ cấp sau đây trình bày các nội dung của phương trình và bất phương trình một ẩn số có giá trị tuyệt đối; phương trình vô tỉ một ẩn số,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn học - nghiên cứu môn Đại số sơ cấp (Phần 2)

§3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ CÓ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Vì các phương trình và bất phương trình chứa ẩn số dưới dấu giá trị tuyệt đối chỉ được xét trên tập hợp R các số thực, nên từ “trên R” sẽ được bỏ đi. Thí dụ 26. Giải phương trình : 3x 1 2x 3 0 Giải. 3x 1 2x 3 0 2 2 ~ 3x 1 2 x 3 ~ 3x 1 2 x 3 ~ (3x 1) 2 (2 x 3) 2 ~ 5 x 2 18 x 8 0 2 ~ x x 4 5 2 Trả lời : ;4 5 Thí dụ 27. Giải phương trình : x 3 2x x 1 Giải. x 3 2x x 1 3 3 x 0 0 x x 2 2 x (3 2 x ) x 1 x (3 2 x) x 1 x (2 x 3) x 1 3 0 x 3 x 0 2 x 1 ~ 2 ~x x 1 1 2 x 0 4 2 1 Trả lời . 2 Thí dụ 28. Giải phương trình 7 2 x 5 3x x 2 73
Vì 7 2 x (5 3x ) ( x 2) và a b a b ab 0 , nên 7 2x 5 3x x 2 ~ (5 3x )( x 2) 0 5 ~ 2 x 3 2 Trả lời : 2;1 3 Thí dụ 29. Giải phương trình 2a x a a2 (1) x x x x 0 Giải (1) ~ x2 2a x a a2 0 x 0 x 0 ~ x a 0 x a 0 x2 2ax a 2 0 x2 2ax 3a 2 0 x 0 x 0 x 0 ~ x a x a x a ( x a) 2 0 x a x 3a x 0 x 0 3a 0 ~ x a x a 3a a x a x a x 3a a 0 a 0 ~ x a x 3a Trả lời. Nếu a 0 thì {a} nếu a = 0 thì ø Thí dụ 30. Giải bất phương trình 2 x 5 7 4x 74
2 2 Giải. 2 x 5 7 4 x ~ 2 x 5 7 4x ~ (2 x 5) 2 (7 4 x) 2 ~ 3 x 2 19 x 6 0 1 ~ x 6 3 1 Trả lời. ;6 3 Thí dụ 31. Giải bất phương trình: x 2x 4 x 2 Giải. x 2x 4 x 2 x 0 0 x 4 x 4 ~ x 2( x 4) x 2 x 2( x 4) x 2 x 2( x 4) x 2 x 0 0 x 5 x 4 ~ 0 6 x 3 x 5 ~x 0 0 x 3 x 5~ x 3 x 5 Trả lời . ;3  5; Thí dụ 32. Giải bất phương trình : 7 2 x 5 3x x 2 Giải. Vì 7 2x (5 3x ) ( x 2) và a b a b ab 0, nên 2 7 2x 5 3x x 2 ~ (5 3 x)( x 2) 0~ x 2 x 1 3 2 Trả lời. ; 2  1 , 3 Thí dụ 33. Giải bất phương trình : (1) x 3a x a 2a Giải. Nếu a > 0 thì –a 0, thì 3a
a 0 a 0 a 0 (1) ~ x a a x 3a 0 0 ( x 3a) ( x a ) 2a ( x 3a) ( x a ) 2a a 0 a 0 x 3a x a ( x 3a ) ( x a ) 2a ( x 3a ) ( x a) 2a a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 ~ x a a x 3a x 3a x 3a x a 0 0 x a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 3a x a x a x 0 x 3a x 2a a 0 a>0 a0 a>0 a x 3a x>0 x < 2a Trả lời: Nếu a 0 thì ] 0 , [; Nếu a = 0 thì . Giải phương trình (các § 420—428). 420. | 2 – 3x | | 5 2x | = 0. 421. | 9 – 2x | = | 4 – 3x | + | x + 5 |. 422. |x| = | 2x + 3 | + x – 1. 423. | x + 1 | = 2 | x – 1 | + x. 424. | x + 1 | + |2 – x | | x + 3 | = 4. 425. | x2 – 3x + 2 | = |x| x2 + 4. 426. x2 = | 1 – 2x2 |. 76
| x 2 − 1| =x 427. x − 2 . x 2 − 1+ | x + 1| 428. = 2. | x | ( x − 2) Giải phương trình có chứa tham số (các bài 429—434). 429. 2 | x + a | |x2a|=3a 2a 2 430. a − = 0. | |x+a| 431. |x2 – a2|=(x+3a)2. 432. x=2|xa| 2|x2a|. 433. |x+3a||xa|=2a. 2| x+a| a 434. x + = . x x Giải phương trình bằng tính toán và bằng đồ thị (các § 435—444). 435. |x|=x+1. 436. |3x 1|=3x. 437. |x|+|x1|=1. 438. X2 |x|6=0. 439. |4+3xx2|=x23x4. 1 = x −1 440. | x − 1| 441. |x+1|=x+3. 442. |3x+1|=5+6x. 443. |1|x||=1. 444. |x2+2x3|=32xx2. 77
Giải bất phương trình (các § 445—463) | | 13 −2x | | 4x − 9|. | x +1| + 4 2| x |. | 2x + 3 |> | x | −4x − 1. | x −2| + |3− x |> 2+ x. | x −1 |>| x + 2| − 3. |5− x |< | x − 2| + | 7− 2x | . | x −6| | x2 −5x +9|. | x3 − 1 |> |1− x |. 2x − 5 > − 1. | x − 3| | 4− x| < 3. x + 6 | x − 2| 3. x − 2 5x + 6 x2 − 5x + 4 1. x − 2 4 x2 −3x +2 1. x + 2 3x +2 x2 −| x | − 6 2x x − 2 4x − 1 | x + 1| . | x −1| 2x | x |. | x −3| 2 x2 1 −2 x x 2 − 4x +3 1 x 2 +x −5 x 2 + 2x +4 x 2 +x +2 78
Giải các phương trình có chứa tham số: (các § từ 464 469) 3 464. x 2 + a > a+ x−a 2 465. x − 3a < x − a − 2a 466. x + 2a + x − 2a < 3x 467. x − a > 2a 2 2 2 8a 2 468. x + 2a < x − 2a 4a 2 469. a + 0 x − 2a Giải bất phương trình bằng tính toán và bằng đồ thị ( bài 470 475) 470. x + 1 > x − 1 471. x + 3 > x + 3 472. x + 1 x +1 3 2 473. x +1 x 3 x −2 474. < −1 x +1 3x + 2 475. 2 x +1 79
§ 9 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ MỘT ẨN SỐ Vì chúng ta chỉ xét phương trình vô tỉ trên tập R các số thực, nên từ “ trên R” sẽ bỏ đi. Ví dụ:giải phương trình: (1) x 2 + 5 x + 1 = 2 x − 1 Giải: * Phương pháp thứ nhất: 1 2x −1 0 x (1) � �2 �� 2 x + 5 x + 1 = (2 x − 1) 2 3 x( x − 3) = 0 � 1 � 1 �x �x � � 2 �� 2 � x = 3 � �x = 0 � �x = 3 Trả lời: {3} * Phương pháp thứ 2: (1) � x 2 + 5 x + 1 = (2 x − 1) 2 � 3 x( x − 3) = 0 � x = 0 �x = 3 Kiểm tra(bằng cách thay các giá trị tìm được vào phương pháp đã cho) 1/ x=0. 1 −1 vì vậy 0 không thỏa. 2/ x=3. Thỏa. Trả lời {3}. 80
Ví dụ 35: Giải phương trình: (1) 1 + x + 6 x − 3 + 1 + x − 6 x − 3 = 6 Giải: 1 1 x x 2 2 � � 1 + x � 6 x − 3 � �(1 + x) 2 �6 x − 3 6x − 3 0 � 2 � � x − 4 x + 4 = 2 − x � ( x − 2) = 2 − x 2 1+ x + 6x − 3 0 (1) 1+ x − 6x − 3 0 1 x 2 + 2 x + 2 (1 + x) − (6 x − 3) = 6 2 2 1 x � �( x − 2) �0 � � 2 2 �x − 2 = 2 − x �x 2 Trả lời: [1/2;2] Phương pháp thứ 2 nêu trong thí dụ 34, ở đây không áp dụng được, vì không thể kiểm tra bằng cách thay thế vào phương trình đã cho mỗi số của ] , 2] 2 5 Thí dụ 36: Giải phương trình: x 1 x (1) 2 x2 1 Giải: 81
(1) � 2( x 2 + 1) − 2 x x 2 + 1 = 5 � 2x x2 + 1 = 2 x2 − 3 x(2 x 2 − 3) 0 4 x 2 ( x 2 + 1) = (2 x 2 − 3) 2 �x(2 x 2 − 3) 0 �x(2 x 2 − 3) 0 x(2 x 2 − 3) 0 � � �� 3 �� 3 16 x = 9 2 � x= � x=− � 4 � 4 2 2 �3 3 �3 3 � (2. − 3) 0 � (2. − 3) 0 � � � �4 4 ��4 4 � 3 � x=−3 x= � 4 � 4 3 � x=− 4 Trả lời: {3/4} Ví dụ 37: Giải phương trình: (1) 3 1 − x + 3 −1 − x = 3 −5 x Giải: 1 (1) � ( 3 1 − x + 3 −1 − x )3 = −5 x � −2 x + 3 3 x 2 − 1( 3 1 − x + 3 −1 − x ) = −5 x � 3 x 2 − 1( 3 1 − x + 3 −1 − x ) = − x (1) 3 x 2 − 1 3 −5 x = − x (1) ( x − 1)(−5 x) = − x 5 2 � (1) � (1) (1) (1) � � �� 2 �� 5 �� 5 x(4 x − 5) = 0 x = 0 �x = �x = − � 2 � 2 1 Vì tác giả có sơ sót nên người dịch đã giải lại và cách giải trên đây là của người dịch 82
Để thấy rõ, chẳng hạn x=5/2 là nghiệm, ta hãy xét xem đẳng thức : 5 3 5 5 đúng hay bất đẳng thức (1) 3 1 + + − 1 = 3 5. 2 2 2 (1) 3 2 + 5 + 3 5 − 2 = 5 đúng. Giả sử a= 3 2 + 5 + 3 5 − 2 khi đó, a 2 = 2 5 + 3a . Phương trình (3) t 3 − 3t − 2 5 = 0 � (t − 5)(t 2 + 5t + 2) = 0 Có nghiệm duy nhất là 5 . Nghĩa là, đẳng thức (2) đúng. Trả lời: {5/2, 0, 5/2} 45a 2 Ví dụ 38: Giải phương trình: 4 x + 16 x + 9a = 2 2 16 x 2 + 9a 2 Giải: 83
16 x 2 + 9a 2 0 (1) 4 x 16 x 2 + 9a 2 + 16 x 2 + 9a 2 = 45a 2 16 x 2 + 9a 2 0 x 16 x 2 + 9a 2 = 9a 2 − 4 x 2 16 x 2 + 9a 2 0 x(9a 2 − 4 x 2 ) 0 (*) x (16 x + 9a ) = (9a − 4 x ) 2 2 2 2 2 2 �a=0 � a 0 �a 0 (*) � � � � 2 2 � �(*) ��(*) �� (*) 81a ( x − a ) = 0 2 �0 = 0 �x = a �x = − a � � � �a 0 �a 0 a=0 � 2 � � �25a 0 � 25a 2 0 ۹ � x 0 �� 3 �� 5a 0 �−5a3 0 −4.x 0 8 � �x=a � �x = − a �a=0 �a > 0 �a < 0 �� x < 0 �x = a �x = −a �a=0 � a 0 �� x < 0 �x = a Trả lời: + Nếu a=0, thì ] , 0[ + Nếu a 0, thì { a } ví dụ: Giải phương trình: (1) a x x b,b 0 giải: a x 0 (1) x 0 a x x 2 bx b 84
x a x 0 x 0 x a a b 0 2 bx a b 4bx ( a b) 2 b 0 b 0 x a x a x 0 x 0 a b a b 0 a2 ( a b) 2 x 4b b 0 ( a b) 2 b 0 a 4b b 0 b 0 ( a b) 2 0 ( a b) 2 a 0 0 a 0 a b 4b x 0 x 0 ( a b) 2 a b x ( a b) 2 4b x 4b a 0 a b 0 b 0 (a b) 2 x x 0 4b trả lời: + Nếu a=b=0 thì ] , 0] ( a b) 2 + Nếu a b>0, thì { } 4b + Các trường hợp còn lại: Đề thi khối A – 2007. Xác định tham số m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x 1 m x 1 24 x 2 1 85
Giải x 1 x 1 ĐK: x 1. Ta có PT tương đương 3 m 24 x 1 x 1 x 1 3t22t+m=0 , với t 24 , 0 t
486. x 4 2 x 1 x 20 36 487. x 5 x 4 x 5 10 488. x 15 x 1 x 1 40 489. x x 2 16 2 x 16 490. 3 x 1 3 x 1 3 5x 491. 3 x 2 3 x 3 3 2x 1 492. 3 (3 x ) 2 3 (6 x) 2 3 (3 x )(6 x) 3 493. 3 x 1 3 x 1 6 x2 1 493. 3 x 1 3 x 1 6 x2 1 Hãyđánh giá hai cách giải sau đây: Cách 1: ĐK: x 2 −�۳ 1 0 | x | 1 . * x = 1 : 3 2 = 0 không thỏa mãn x +1 6 x −1 * x 1 : Chia hai vế cho 6 x 2 − 1 , ta có phương trình tương đương: 6 − =1 x −1 x +1 1 x +1 1+ 5 x +1 1+ 5 � t − = 1 � t 2 − t − 1 = 0 , với t = 6 > 0 . � t = � 6 = t x −1 2 x −1 2 x +1 5 (thỏa mãn ĐK | x | 1 ) � =9+4 5 � x = x −1 2 Cách 2: ĐK: x −�۳ 2 1 0 | x | 1. u = 3 x +1 u − v = uv u − v = uv Đặt , ta có hệ v = 3 x −1 u 3 − v3 = 2 ( u − v ) ( u 2 + uv + v 2 ) = 2 u − v = uv ( 1) . ( u − v) � ( u − v) ( 2) 2 + 3uv �= 2 � � 1 1 1 Thay (1) vào (2) có uv = 3 � x − 1 = 3 � x 2 − 1 = 6 2 2 2 4 5 5 � x 2 = � x = � (thỏa mãn ĐK | x | 1 ) 4 2 87
494. 3 x 1 1 x 2 495. 3 ( x 2) 2 3 1 3 x 2 (3 x 2 1) 1 1 1 496. 5 x5 x 1 2 2 497. 6x 2 1 2x 1 x 498. x x x 1 1 1 1 499. 2( x 3 1) x x2 1 x x2 1 Giải phương trình bằng đồ thị ( các bài 500 503) 500. x 1 x 1 501. x x 2 4 502. x 2x 2 1 503. 2 x x Giải các phương trình có chứa tham số: (các bài 504 524) 504. a x b x a b , a b 0 505. a x b x a b 2x 506. a x a x 507. x 4a x 2 b , b 0 508. x 2 3a 2 x2 3a 2 x 2 2 5a 2 509. x a2 x x2 a2 1 1 1 510. x a x a x 2 a2 a2 511. x a x 2a x a 88
512. a 2 x x2 a2 a x 2a x a x 2a x a x 513. 2a x x 3a 2a x x 3a 514. 2x+2ax+ x =0 x a x a x 515. , a 0 x a x a a 1 a.x 1 2ax 516. 1 1 a.x 1 2ax 517. ( x x2 a )4 (x x2 a) a 518. 4 a x 4 a x 28 a 2 x2 519. x a x a 4 x2 a2 520. a 2 x b2 x a b 521. 3 (a x) 2 43 ( a x) 2 53 a 2 x2 522. 5 a x 5 a x 5 2a , a 0 3 523. x a a x 2 524. 2 x 1 x 2 a Bài 10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ MỘT ẨN SỐ Vì bất phương trình chỉ xét trên tập R các số thực nên từ “trên R” bỏ đi. Ví dụ 40: Giải bất phương trình: (1) x 2 3 x 10 8 x 89
Giải x2 3 x 10 0 x 2 x 5 (1) 8 x 0 x 8 x2 3 x 10 (8 x) 2 9 x 5 13 x 2 x 5 x 8 x 8 9 9 x 5 x 5 13 13 9 x 2 5 x 5 13 9 trả lời: ] , 2] [5, 5 [ 13 ví dụ 41: giải bất phương trình: (1) x 2 x Giải: x 0 x 0 (1) x 2 0 x 2 x2 x 0 x 0 2 x 2 x x 2 0 90
x 0 2 x 0 2 x 0 0 x 2 2 x 2 1 x 2 Trả lời: [2,2]. Ví dụ 42. giải bất phương trình : (1) x 3 7 x 2x 8 Giải: (1) x 3 7x 2x 8 x 3 0 x 3 7 x 0 x 7 2x 8 0 x 4 x 3 x 1 2 2x 2 22 x 56 2 2x 2 22 x 56 �4 x 7 �4 x 7 4 x 7 � : �2 : � : �4 > − 2 x 2 + 22 x − 56 �x − 11x + 30 > 0 x < 5 �x > 6 �4 x 7 � 4 x 7 � �� >� > : 4 x 5 6 x 7 �x < 5 �6> x Trả lời: [4,5] U [6,7]. Thí dụ 43:Giải bất phương trình : 3 x 2 + 6 x > x Giải:2 2 Cách giải trên đây là của người dịch. Trong cách giải của tác giả có chỗ sơ sót (N. D.). 91
3 x 2 + 6 x > x : x 2 + 6 x > x3 : x( x 2 − x − 6) < 0 : x ( x + 2)( x − 3) < 0 : x < −2 �0 < x < 3. (*) xem hinh 9. _ 2 0 _ 3 x + Hình 9 Trả lời: (− , −2] [0,3]. Thí dụ 44. Giải bất phương trình : (1) x + 2a < a − x Giải, dễ dàng thấy rằng với a 0 bất phương trình đã cho không có nghiệm . Khi đó �a > 0 �a>0 � � a>0 a>0 �x + 2a 0 �x −2a � � �x 0 �0 x < a2 (1) ~ �x 0 ~ �x 0 ~� ~� ~ �x < a 2 � � �a − 2 > 0 �a − x > 0 �x 2 a>2 ~� 0 x khi a > 2, vi \ a 2 − = 4 4 2 3(a + 2)(a − ) 3a + 4a − 4 3 3 > 0 (khi a > 2). = = 4 4 1 [0, ( a − 2) 2 ]; 4 a 2 Trả lời: Nếu a > 2, thì Nếu , thì . 92