Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
a
a
a
O
A
B
D
C
S
O
A
B
D
C
S
H
K
I
Các bài đc tô màu đ là các bài tp mc đ nâng cao
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cnh a, SA = SB = SC = a. Chng minh rng:
SB vuông góc SD.
Gii:
+ Gi O là giao đim ca AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung đim ca AC và BD
0
1
2
90
ABC ASC SO BO BD
BSD SB SD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mt phng (ABCD). Gi H, K
ln lt là hình chiu vuông góc ca A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mt phng (AHK).
b. Gi I là giao đim ca SC vi mt phng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Gii:
a. Ta có:
( ) (1)
AH SB AH SBC AH SC
AH BC
( ) (2)
AK SD AK SDC AK SC
AK DC
T (1) và (2) ta suy ra
()SC AHK
b. Ta có:
SAB SAD SH SK
//
SH SK HK BD
SB SD
( Ěnh lý Ta lét đo)
()
BD AC BD SAC
BD SA

QUAN H VUÔNG GÓC (PHN 03)
BÀI TP T LUYN
Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG
Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Quan h vuông góc (Phn 03) thuc khóa hc Luyn
thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng) ti website Hocmai.vn. Ě s dng hiu qu, Bn cn
hc trc Bài ging sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này.
(Tài liu dùng chung bài 01+02+ 03)
Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
N
K
I
O
D
A
C
B
S
M
// ()
()
HK BD HK SAC HK AI
BD SAC
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chng minh rng:
()SO ABCD
b. I, K ln lt là trung đim ca BA và BC. Chng minh rng IK vuông góc SD.
c. Gi (P) là mt phng song song vi SO cha IK. Chng minh BD vuông góc vi mt phng (P).
Gii:
a. Ta có:
()
SO AC SO ABCD
SO BD

b.
()
()
IK BD do AC BD IK SBD IK SD
IK SO

c. + Gi M là giao đim ca SB vi mt phng (P),
N là giao đim ca DB vi mt phng (P).
/ /( ), ( ) //
( ) ( )
//
()
SO P SO SBD SO MN
SBD P MN
SO BD MN BD
MN SO
BD IK BD P
BD MN


Bài 4: Cho lĕng tr đng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cnh a và góc
0
60BAD
,
3
AA ' 2
a
. M, N ln lt là trung đim A’D’ và A’B’. Chng minh rng:
' ( ).AC BDMN
Gii:
+ Gi
S BN DM
M là trung đim SD, N là trung đim SB
A’ là trung đim SA.
+ Gi O = AC
BD
+
BAD đu
32 3 , '
2
a
AO AC AO a SA CC AO
+ Hai
vuông SOA và ACC’ bng nhau
AS 'O CAC
.
Mà
00
AS 90 ' 90 'O SOA CAC SOA AC SO
+
'' ( )
'
AC BD AC BDMN
AC SO

Bài 5: T din S.ABC có
.SA mp ABC
Gi H, K ln lt là trc tâm ca các tam giác ABC và SBC.
a. Chng minh SC vuông góc vi mp(BHK) và
SAC BHK
b. Chng minh
HK SBC
và
.SBC BHK
Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Gii:
a. Vì H là trc tâm tam giác
ABC BH AC
, theo gi thit
SA mp ABC BH SA
.
Nên
BH mp SAC SC BH
Do K là trc tâm
SBC BK SC
.
T đó suy ra
SC mp BHK mp BHK mp SAC
(đpcm)
b. Tng t nhtrên ta cǜng chng minh đc:
SB mp CHK SB HK
Mà
SC mp BHK SC HK
.
Do đó:
HK mp SBC mp SBC mp BHK
Bài 6: Cho lĕng tr đng ABC.A’B’C’ có tt c các cnh đu bng a. Gi M là trung đim ca AA’. Chng
minh rng BM vuông góc vi B’C.
Gii:
Gi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung đim ca B’C.
M là trung đim AA’ nên tam giác
'B'MAC MA
=>MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân ti M
' ; ' ' ' .B C MI B C BC B C MB
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cnh a.
()SA ABCD
. Gi H, I, K ln lt là
hình chiu vuông góc ca A trên SB, SC, SD và J là hình chiu ca B trên SC. Gi M, N, P, Q ln lt là
trung đim ca AB, AD, BC, SC. CMR:
1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD
5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;BC SB CD SD AH SC AK SC
13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD
17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC
Gii:
A
A
B
B
C
C
M
I
Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
1. BC
AB (gi thit ABCD là hình vuông)
BC
SA (do gi thit SA
(ABCD))
BC
(SAB).
2. CD
AD (gi thit ABCD là hình vuông),
CD
SA (do gi thit SA
(ABCD))
CD
(SAD).
3. AH
SB (gi thit),
AH
BC (do theo câu 1 ta đã có BC
(SAB)
mà AH
(SBC) )
AH
(SBC)
4. AK
SD (gi thit)
AK
CD (do theo câu 2 ta đã có CD
(SAD)
mà AK
(SAD) )
AK
(SCD)
5. AH
(SBC) (do theo câu 3)
AH
SC
AK
(SCD) (do theo câu 4)
AK
SC
Vy SC
(AHK)
6. OM là đng trung bình ca tam giác ABC nên OM//BC, mà BC
(SAB) (do theo câu 1) nên
OM
(SAB)
7. ON là đng trung bình ca tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD
(SAD) (do theo câu 2)
nên ON
(SAD).
8. OP là đng trung bình ca tam giác BDC nên OP//CD mà BC
CD (gi thit) nên BC
OP
(*).
OQ là đng trung bình ca tam giác SAC nên OQ//SA mà SA
(ABCD) nên OQ
(ABCD),
BC
OQ (**).
Vy t (*) và (**) ta có BC
(OPQ)
9. Theo câu 1: BC
(SAB)
BC
SB.
10. Theo câu 2: CD
(SAD)
CD
SD.
11. Theo câu 3: AH
(SBC)
AH
SC.
12. Theo câu 4: AK
(SCD)
AK
SC.
13. Theo câu 1: BC
(SAB) mà BC
(SBC)
(SBC)
(SAB).
14. Theo câu 2: CD
(SAD) mà CD
(SCD)
(SCD)
(SAD).
15. Theo câu 3: AH
(SBC) mà AH
(AHK)
(AHK)
(SBC).
16. Theo câu 4: AK
(SCD) mà AK
(AHK)
(AHK)
(SCD).
Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s
Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -
17. Theo câu 5: SC
(AHK) mà SC
(SAC)
(SAC)
(AHK).
18. Theo câu 6: OM
(SAB) mà OM
(OMQ)
(OMQ)
(SAB).
19. Theo câu 7: ON
(SAD) mà ON
(ONQ)
(ONQ)
(SAD).
20. Theo câu 8: BC
(OPQ) mà BC
(SBC)
(SBC)
(OPQ).
Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun : Hocmai.vn