Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phương pháp toạ độ hoá trong hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Phương pháp toạ độ hoá trong hình học" được nghiên cứu với mục tiêu: Sử dụng phương pháp toạ độ hoá để giải quyết nhanh chóng các lớp bài toán trong hình học phẳng như: Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng… Và các bài toán định tính, định lượng trong hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phương pháp toạ độ hoá trong hình học

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN -------- NGUYỄN HỒNG HẢI PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 04 năm 2017 1
UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN -------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC Sinh viên thực hiện NGUYỄN HỒNG HẢI MSSV: 2113010112 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2013 – 2017 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƯƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34 - 15111 - 26647 Quảng Nam, tháng 04 năm 2017 2
LỜI CẢM ƠN Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn Th.S Dương Thị Thu Thúy tôi đã thực hiện đề tài: “Phương pháp tọa độ hóa trong hình học”. Để hoàn thành được khóa luận này, ngoài sự cố gắng và nổ lực của bản thân, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè – những người luôn ủng hộ, động viên tôi suốt quá trình thực hiện. Qua đây tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến lãnh đạo nhà trường, các thầy cô giáo trong khoa Toán, những người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho sinh viên có thêm một khoảng thời gian dài hơn để hoàn thành khóa luận. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô Dương Thị Thu Thúy - người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên và luôn nhắc nhở để tôi có thể thực hiện tốt bài khóa luận này. Mặc dù đã cố gắng trong quá trình nghiên cứu để bài khóa luận được hoàn chỉnh, nhưng do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu và còn hạn chế về mặt kiến thức cũng như kinh nghiệm nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự quan tâm và đóng góp quý báu từ quý thầy cô và các bạn để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Quảng Nam, ngày 25 tháng 04 năm 2017. Sinh viên Nguyễn Hồng Hải 3
MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Trong toán học nói chung và hình học nói riêng, sự đa dạng trong hệ thống lí thuyết và bài tập của nó đã kéo theo sự ra đời của nhiều phương pháp giải toán khác nhau, mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng. Trong đó, sự ra đời của phương pháp toạ độ đã đơn giản hoá được phần lớn các bài toán trong hình học phẳng cũng như trong hình học không gian. Trong hình học phẳng, phương pháp to ̣a độ giúp ta giải quyế t đươ ̣c một số bài toán quỹ tích, hoặc một số ít lớp bài toán mà ta có thể gặp khá nhiều khó khăn chứng minh thuần túy. Trong hình học không gian cũng vậy, có rất nhiều lớp bài toán ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết rất nhanh và ngắn gọn, chẳng hạn như: chứng minh các yếu tố song song, các yếu tố vuông góc trong không gian, tính thể tích khối hình… Với tất cả những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Phương pháp toạ độ hoá trong hình học” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp nhằm giúp bản thân nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa giải quyết một số dạng toán trong hình học phẳng và không gian. 1.2. Mục tiêu nghiên cứu Sử dụng phương pháp toạ độ hoá để giải quyết nhanh chóng các lớp bài toán trong hình học phẳng như : Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng… Và các bài toán định tính, định lượng trong hình học không gian. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Phương pháp toạ độ hoá. - Phạm vi: + Hình học không gian lớp 11, 12. + Một số bài toán trong hình học phẳng. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp các phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp phân tích - tổng hợp. - Phương pháp trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn. 1.5. Đóng góp của đề tài Làm tài liệu nghiên cứu cho học sinh, sinh viên sau này. 4
1.6. Cấu trúc đề tài Ngoài các phầ n mở đầ u, kế t luận, tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Phương pháp toạ độ trong hình học. 5
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 1.1.1. Hệ trục toạ độ trên mặt phẳng 1.1.1.1. Hệ toạ độ Descartes trong mặt phẳng Dựng hệ trục bao gồm hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau.  Véc tơ đơn vị trên trục Ox là i , véc tơ  đơn vị trên trục Oy là j . Điểm O gọi là gốc tọa độ. Trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Hệ trục tọa độ vuông góc như trên được gọi đơn giản là hệ trục tọa độ và được kí hiệu  là Oxy hay (O; i; j ) . Hình 1 1.1.1.2. Toạ độ của véc tơ và toạ độ của điểm    Định nghĩa 1.1. Đối với hệ trục tọa độ (O; i; j ) , nếu a  xi  y j thì cặp số ( x; y )    được gọi là tọa độ của véc tơ a , ký hiệu là a  ( x; y ) hay a ( x; y ) . Số thứ nhất x gọi  là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của véc tơ a .   Định nghĩa 1.2. Trong mặt phẳng Oxy tọa độ của véc tơ OM được gọi là tọa độ của điểm M.   Như vậy, cặp số ( x; y ) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = ( x; y ) . Khi đó ta viết M ( x; y ) hoặc M = ( x; y ) 1.1.2. Đường thẳng 1.1.2.1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) và véc tơ pháp tuyến (VTPT)     - a là VTCP của đường thẳng (  ) nếu a  0 và a có giá song song hoặc trùng với (  ).     - n là VTPT của đường thẳng (  ) nếu n  0 và n có giá vuông góc với (  ). Nhận xét: + Một đường thẳng có vô số véc tơ chỉ phương và vô số véc tơ pháp tuyến. + Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết được một điểm và một véc tơ chỉ phương hoặc một véc tơ pháp tuyến. 1.1.2.2. Phương trình đường thẳng Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng (Oxy), đường thẳng (  ) đi qua M 0 ( x0 , y0 ) và  nhận a  (a1 , a2 ) làm VTCP sẽ có phương trình tham số là: 6
 x  x0  a1t ( ) :  (t là tham số)  y  y0  a 2 t x  x0 y  y0 Chú ý: Nếu a1  0, a2  0 thì (  )  gọi là phương trình chính tắc. a1 a2  Định nghĩa 1.4. Đường thẳng (  ) đi qua M 0 ( x0 , y0 ) và có VTPT n  ( A, B ) có phương trình là: () : A( x  x0 )  B( y  y0 )  0 , với ( A2  B 2  0) Khi đó, phương trình tổng quát của đường thẳng (  ) là: Ax  By  C  0 , với ( A2  B 2  0) 1.1.2.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường thẳng (  ): Ax  By  C  0 và điểm M 0 ( x0 , y0 ) . Khi đó, khoảng cách từ điểm M 0 đến đường thẳng (  ) là: Ax0  By0  C d ( M 0 ; )  A2  B 2 Nhận xét: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song chính là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia 1.1.2.4. Góc giữa hai đường thẳng Định nghĩa 1.5. Hai đường thẳng 1 ,  2 cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất trong các số đo của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng 1 ,  2 . Khi 1 ,  2 song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc giữa chúng bằng 00 . Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng 1 ,  2 được kí hiệu là (1 ,  2 ) . Góc này không vượt quá 900 nên ta có:     ( 1 ,  2 )  (u , v ) nếu (u, v)  90 0     ( 1 ,  2 )  180 0  (u , v ) nếu (u , v)  90 0  Công thức tính góc giữa hai đường thẳng   Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a, b. VTCP của a, b lần lượt là u , v . Khi đó:  u.v Cos    u.v 1.1.3. Đường tròn 1.1.3.1. Phương trình đường tròn Định nghĩa 1.6. Trong mặt phẳng (Oxy), phương trình của đường tròn (C) tâm I(a,b), bán kính R là: (C ) : ( x  a)2  ( y  b) 2  R 2 7
Chú ý: Phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với a 2  b 2  c  0 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I (a; b) , bán kính R  a 2  b2  c . 1.1.3.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn - Trong mặt phẳng (Oxy), phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : ( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2 tại điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) là: () : ( x0  a)( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  0 - Điều kiện để đường thẳng (  ) tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I và bán kính R là: d ( I , ( ))  R 1.1.4. Ba đường conic 1.1.4.1. Đường Elip Định nghĩa 1.7. Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2  2c (c  0) . Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a , trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của Elip. Trong mặt phẳng (Oxy), Elip (E) có các tiêu điểm F1 (c;0) , F2 (c;0) và điểm M ( x; y )  ( E ) . Khi đó phương trình chính tắc của (E) là: x2 y 2   1 ,với b2  a 2  c 2 a 2 b2 1.1.4.2. Đường Hypepol Định nghĩa 1.8. Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2  2c (c  0) . Đường Hypepol là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a , trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c. Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của Hypepol. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của Hypepol. Trong mặt phẳng (Oxy), Hypebol (H) có các tiêu điểm F1 (c;0) , F2 (c;0) và điểm M ( x; y )  ( H ) . Khi đó phương trình chính tắc của (H) là: x2 y2   1 ,với b2  a 2  c 2 và a  0, b  0 a 2 b2 1.1.4.3. Đường Parabol Định nghĩa 1.9. Cho một điểm F cố định và một đường thẳng (  ) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và (  ) được gọi là đường parabol. Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng (  ) được gọi là đường chuẩn của parabol. Khoảng cách từ F đến (  ) được gọi là tham số tiêu của parabol. 8
p  Trong mặt phẳng (Oxy), parabol (P) có tiêu điểm F  ;0  và đường chuẩn, 2  với p  d ( F ; ) là tham số tiêu của (P) và p  0 . Khi đó, với M ( x; y )  ( P) , ta có phương trình chính tắc của parabol (P) là: y 2  2 px . 1.2. Phương pháp tọa độ trong không gian 1.2.1. Hệ toạ độ trong không gian 1.2.1.1. Hệ toạ độ Descartes trong không gian Định nghĩa 1.10. Trong không gian, xét ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz vuông góc với   nhau từng đôi một tại điểm O. Gọi i, j , k là các véctơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. z Hệ ba trục toạ độ như vậy gọi là hệ trục toạ độ vuông góc trong không gian. - Trục Ox gọi là trục hoành. - Trục Oy gọi là trục tung. y - Trục Oz gọi là trục cao. O - Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ 2  2  2 x - i  j  k 1     Hình 2 - i. j  j.k  k .i  0 1.2.1.2. Toạ độ của véc tơ   Định nghĩa 1.11. Trong không gian tọa độ Oxyz với các véc tơ đơn vị i, j , k trên  các trục, cho một véc tơ u . Khi đó có bộ ba số duy nhất ( x; y; z ) sao cho     u  xi  y j  zk  Bộ ba số ( x; y; z ) gọi là tọa độ của véc tơ u đối với hệ tọa độ Oxyz và kí hiệu   u  ( x; y; z ) hoặc u ( x; y; z ) . Vậy:       u  ( x; y ; z )  u ( x; y; z )  u  xi  y j  zk Tính chất của véc tơ    Cho các véc tơ u1  ( x1 , y1 , z1 ), u2  ( x2 , y2 , z2 ) , và số k tùy ý, ta có:    1. u1  u2  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2    2. u1  u2  ( x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 )  3. ku1  (kx1 ; ky1 ; kz1 )   4. u1.u2  x1 x2  y1 y2  z1 z2   2 5. u1  u1  x12  y12  z12 9
   x1 x2  y1 y2  z1 z2     6. cos u1.u2   x12  y12  z12 . x2 2  y2 2  z2 2 ,(u1  0, u2  0)       7. u1  u2  u1.u2  0  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0 1.2.1.3. Tọa độ của điểm Định nghĩa 1.12. Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác     định bởi véc tơ OM . Bởi vậy, nếu ( x; y; z ) là tọa độ của véc tơ OM thì ta cũng nói ( x; y; z ) là tọa độ của điểm M và kí hiệu là M  ( x; y; z ) hoặc M ( x; y; z ) . Như vậy:      M  ( x; y ; z )  OM  xi  y j  zk Khi diểm M(x; y; z) thì số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ, số z được gọi là cao độ của điểm M. Nếu điểm M có tọa độ (x; y; z) thì số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của điểm M. 1.2.1.4. Tích có hướng của hai véc tơ   Định nghĩa 1.13. Tích có hướng của hai véc tơ u ( a; b; c ) và v ( a '; b '; c ') là một véc   tơ, kí hiệu là u, v  được xác định bằng tọa độ như sau:     b c c a a b  u , v    ; ;   (bc ' b ' c; ca ' c ' a; ab ' a ' b)    b 'c ' c ' a ' a 'b '   Tính chất của tích có hướng           1. Véc tơ u, v  vuông góc với cả hai véc tơ u và v , tức là:   u, v  .u  u, v  .v  0           2. u , v   u . v .sin(u , v)      3. u, v   0 khi và chỉ khi hai véc tơ u và v cùng phương.    Ứng dụng của tích có hướng 1      1. Tính diện tích tam giác ABC: S   AB, AC  2    2. Tính diện tích hình bình hành ABCD: S   AB, AD    3. Tính thể tích khối hộp Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp với diện tích đáy ABCD là S, chiều cao là     h  AH thì thể tích của hình hộp đó là: V   AB, AD  . AA '   1     Từ đây ta có thể tích khối chóp A’.ABD là: V   AB, AD  . AA ' 6   4. Chứng minh 3 véc tơ đồng phẳng       a, b, c đồng phẳng   a, b  .c  0 .   10
Từ đây, để chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng, ta chứng minh:      AB, AC  . AD  0      5. Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB  k AC 1.2.2. Phương trình mặt phẳng 1.2.2.1. Véc tơ pháp tuyến    Một vectơ n  0 được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu n có giá vuông góc với mặt phẳng ( )   Nếu n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) thì k n ( k  0) cũng là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) . 1.2.2.2. Phương trình mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có    véc tơ pháp tuyến n ( A; B; C ) , n  0 , khi đó điều kiện cần và đủ để M  ( ) là   n.M 0 M  0 , hay: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 (1) Đặt D  ( Ax0  By0  Cz0 ) thì phương trình (1) trở thành: Ax  By  Cz  D  0 , trong đó A2  B 2  C 2  0 (2) Phương trình (2) là phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) hay nói gọn là phương trình mặt phẳng ( ) . Định lý 1.1. Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0 đều là phương trình của một mặt phẳng xác định. Chú ý: Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  0 Khi đó: - Mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O khi và chỉ khi D = 0. - Mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục tọa dộ Ox khi và chỉ khi A = 0. - Mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục tọa dộ Oy khi và chỉ khi B = 0. - Mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục tọa dộ Oz khi và chỉ khi C = 0. - Mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với mp (Oxy) khi và chỉ khi A = B = 0. - Mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với mp (Oxz) khi và chỉ khi A = C = 0. - Mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với mp (Oyz) khi và chỉ khi B =C= 0. - Mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M ( a; 0; 0) , N (0; b;0) , x y z P (0;0; c ) có phương trình là:    1. a b c 1.2.2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ) và ( ') lần lượt có phương trình: 11
( ) : Ax  By  Cz  D  0 ( ') : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 - Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi A : B : C  A' : B ' : C ' . - Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi A B C D    A' B ' C ' D ' - Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi và chỉ khi A B C D    A' B ' C ' D ' 1.2.3. Phương trình đường thẳng 1.2.3.1. Véc tơ chỉ phương     Định nghĩa 1.12. Vectơ u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) khi u  0 và u có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d. 1.2.3.2. Phương trình đường thẳng  Đường thẳng đi qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) và có VTCP u  ( a; b; c ) có :  x  x0  at  - Phương trình tham số là:  y  y0  bt (t  )   z  z0  ct x  x0 y  y0 z  z0 - Phương trình chính tắc là:   , với abc  0 a b c 1.2.4. Khoảng cách 1.2.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong không gian Oxyz , cho M ( x; y; z ) và đường thẳ ng  đi qua điể m  M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhâ ̣n véc tơ u ( a; b; c ) làm véc tơ chı̉ phương. Khi đó khoảng cách từ điể m M(x;y;z) đế n đường thẳ ng  đươ ̣c tınh bởi công ́ thức:    M 0M , u    d (M , )   u 1.2.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điể m M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mă ̣t phẳ ng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 . Khi đó khoảng cách từ điể m M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đế n mă ̣t phẳ ng ( ) đươ ̣c tı́nh bởi công thức: Ax0  By0  Cz0  D d ( M 0 ;( ))  A2  B 2  C 2 12
1.2.4.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳ ng d1 , d 2 chéo nhau, biế t d1 đi  qua điể m M 1 và có vectơ chı̉ phương u1 ; d 2 đi qua điể m M 2 và có vectơ chı̉   phương u 2 Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳ ng chéo nhau d1 , d 2 đươ ̣c tınh bởi công ́ thức:     u1 , u2  .M1M 2   d (d1 , d 2 )    u1 , u2    13
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC 2.1. Phương pháp toạ độ hoá trong mặt phẳng Trong phần này, khóa luận sử dụng phương pháp tọa độ hóa để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng, hai đoạn thẳng bằng nhau và bài toán tìm quỹ tích của một điểm trong mặt phẳng. 2.1.1. Phương pháp chung Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ: gốc tọa độ, trục tọa độ thường gắn liền với điểm và đường đặc biệt của bài toán như: “ tâm đường tròn, đỉnh góc vuông, trung điểm đoạn thẳng, chân đường cao, v.v..” Bước 2: Chuyển đổi ngôn ngữ từ yếu tố hình học “thuần túy” sang ngôn ngữ hình học tọa độ: - Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục. - Từ đó xác định tọa độ các điểm và phương trình các đường, theo hướng hạn chế đến mức thấp nhất việc sử dụng các tham số, điều chỉnh giá trị của các tham số để nhận được những “tọa độ đẹp” giúp các phép toán trở nên đơn giản hơn. Bước 3: Khai thác các tính chất và phép toán liên quan đến véc tơ và tọa độ như: - Điều kiện theo tọa độ để hai vectơ vuông góc, cùng phương, v,v… - Tính khoảng cách, tính số đo góc dựa theo tọa độ,. v,v… - Lập phương trình các đường thẳng, đường tròn, đường conic theo các điểm đã được tọa độ hóa. 2.1.2. Một số cách đặt hệ trục với một số hình thường gặp Bài toán có đơn giản hay không, phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa độ và đơn vị trục. Sau đây là cách hệ chọn hệ trục tọa độ tương ứng với những loại hình đơn giản, thường gặp. Dạng 1: Đoạn thẳng AB cố định Hình 3 Ta có thể dựng hệ trục tọa độ tại điểm A như hình vẽ và đồng thời chuẩn hóa một số đại lượng: Đặt AB = 1. Khi đó: A(0; 0) và B(1; 0). 14
Hình 4 Chú ý: Ta cũng có thể chọn dựng hệ trục ở B (Bxy) hoặc bất kì điểm nào nằm trên đường thẳng AB (điều này phụ thuộc vào giả thiết của bài toán dẫn dắt đi theo hướng nào ?). Trên đây chỉ là 2 cách thường gặp khi xử lý tình huống trên . Dạng 2: Tam giác cân Hình 5 Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm BC, AB, AC và G là trọng tâm tam giác ABC. Dựng hệ trục tọa độ tại B(Bxy), chuẩn hóa bằng cách đặt: BC = 2, AH = h > 0. Khi đó tọa độ các điểm là: B(0;0) , A(1; h) , C (2;0) , H (1;0) . Đối với các bài toán có hình dạng là tam giác cân, ta cũng thường hạ đường cao từ các đỉnh cân đến cạnh đối diện. Ở đây ta cũng có thể dựng hệ trục Hxy như hình vẽ. Hình 6 15
Khi đó đặt BC = 2, AH = h > 0. Ta có tọa độ các điểm là: H  0;0  , A  0; h  , C 1;0  , B 1;0  Dạng 3: Tam giác đều Hạ AO BC. Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy. C thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy. Chuẩn hóa độ dài cạnh tam giác bằng 2a (a > 0). Khi đó, tọa độ các đỉnh của tam giác là: B(a;0) , C (a;0) , A(0; a 3) Hình 7 Dạng 4: Tam giác vuông Trong trường hợp này ta có thể dựng trực tiếp tại góc vuông của tam giác (dựng hệ trục Axy như hình vẽ). Hình 8 Khi đó nếu ta chuẩn hóa đặt AC = 1, AB = a > 0 thì tọa độ của các điểm sẽ là: A  0;0  , B  0; a  , C 1;0  Đặc biệt, nếu trong giả thiết của đề có có thêm đường cao AH thì ta có thể dựng tại chân đường cao của tam giác. Cụ thể, ta dựng hệ trục Hxy như hình vẽ dưới đây: 16
Hình 9 Khi đó, nếu ta chuẩn hóa đặt AH = 1, BH = b, HC = c (b, c > 0) thì tọa độ các điểm là: H  0;0  , A  0;1 , B  b;0  , C  kb;0  Hay ta có thể chuẩn hóa đặt: AH  1, BH  b, CH  kb (b  0, k  0, k  ) thì ta được: H (0;0), A(0;1), B(b;0), C (kb;0) Dạng 5: Hình vuông Cách 1: Trong trường hợp này ta có thể dựng hệ trục tọa độ tại các đỉnh vuông của hình (cụ thể trong hình dưới đây ta dựng hệ trục Axy) và chuẩn hóa AB = 2. Hình 10 Khi đó tọa độ các điểm sẽ là: A  0;0  , B  2;0  , C  2;2  , D  0;2  . Cách 2: Tương tự ta cũng có thể dựng tại trung điểm của các cạnh hình vuông. Cụ thể trong hình vẽ dưới đây, ta dựng hệ trục Mxy và chuẩn hóa đặt cạnh CD = 2. Hình 11 17
Khi đó tọa độ các điểm sẽ là: M  0;0  , C 1;0  , D  1;0  , A  1;2  , B 1;2  . Cách 3: Ngoài ra ta cũng có thể chọn giao điểm hai đường chéo của hình vuông làm nơi đặt hệ trục tọa độ. Cụ thể trong hình vẽ dưới đây, ta dựng hệ trục Ixy và chuẩn hóa đặt AC = BD = 2. Hình 12 Khi đó tọa độ các điểm sẽ là: I  0;0  , A(1;0), C 1;0  , B  0;1 , D(0; 1) . Chú ý: ta vẫn có thể đặt hệ trục tọa độ tại các điểm khác trên đây chỉ là 3 cách đặt thông thường mà ta hay gặp. Dạng 6: Hình chữ nhật Tương tự như cách dựng hệ trục cho hình vuông, ta có thể chọn gốc tọa độ tại các đỉnh của hình chữ nhật (hay 2 cạnh liên tiếp của hình chữ nhật tương ứng với hai trục tọa độ, cụ thể trong hình vẽ dưới đây ta có th ể dựng hệ trục tại A (Axy như hình vẽ). Hình 13 Vấn đề đặt ra là với một cách chuẩn hóa đặt độ dài tương ứng ta sẽ có được rất nhiều tọa độ mới của các điểm, cụ thể: Nếu đặt AB  a, AD  b (a, b  0, a  b) thì A(0; 0), B (0; a), C(a; b), D (0; b) Nếu đặt AD  a, AB  ka (a  0, k  0, k  ) thì A  0; 0  , B  0; ka  , C  a; ka  ,  0; ka  Nếu đặt AD  a, AB  1  a  0  thì A  0;0  , B  0;1 , C  a;1 , D  0;1 18
Chú ý: Không mất tính tổng quát, ta đặt chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 2a, 2b (a > b > 0). Khi đó ta nhận được nhiều kết quả đẹp như: Tâm của hình chữ nhật I  a; b  và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình nhật khi đó là:  x  a 2  ( y  b) 2  a 2  b 2 Dạng 7: Hình thoi Với hình thoi, thì ta có thể có cách dựng sau: Hình 14 Dựng hệ trục Ixy như hình vẽ (I là giao điểm 2 đường chéo AC và BD của hình thoi). Nếu chuẩn hóa, đặt AC = 2b (b>0) và BD = 2a (a > 0) thì tọa độ các điểm là: I  0;0  , A(b;0), B  0; a  , C  b;0  , D(0; a) Dạng 8: Đường tròn Ta có thể chọn một đường kính bất kì của đường tròn để làm thành 1 trục tọa độ. Khi đó tùy bài toán thiết lập ta có thể chuẩn hóa R = 1 để tiện cho việc tính toán. Hình 15 Ta có tọa độ các điểm là: A(-R; 0), I(0; 0), B( R; 0) và phương trình đường tròn là: C  : x2  y 2  R 2 19
Nhận xét: - Trên cùng một loại hình, ta có thể lựa chọn những hệ trục tọa độ khác nhau, nhưng vẫn đem lại kết quả như nhau. - Việc chuẩn hóa có ý nghĩa quan trọng trong quá trình đại số hóa hình học, vì vậy qua các ví dụ dựng hình trên các bạn lưu ý việc đặt sao cho giảm càng ít ẩn càng tốt. 2.1.3. Một số dạng toán trong mặt phẳng giải bằng phương pháp tọa độ hóa 2.1.3.1 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng phương pháp tọa độ hóa Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm VTCP của hai đường thẳng. Giả sử VTCP của hai đường thẳng lần   lượt là u  ( a; b ), v  (c; d ) . Bước 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh   u  v  ac  bd  0 Chú ý: Ta có thể thay VTCP bằng VTPT và thực hiện tương tự. Bài 1. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì IE vuông góc CD. Bài giải. Cách 1: Thuần túy hình học. Gọi H và F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AH  BC Mà DF // BC (vì DF là đường trung bình trong tam giác ABC) Nên suy ra AH  DF (1) Gọi N  AH  CD . Khi đó N là trọng tâm tam giác ABC.  CN  2ND (2) Gọi M là trung điểm của CD. Ta có MC  MD  MC  MN  MD  MN  NC  ( DN  MN )  MN  2DN  DN  2MN (vì (2)) 20