Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học "Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử" trình bày các nội dung chính sau: Tổng quan lý thuyết về Cơ học lượng tử; Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathemetica; Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA – SINH ---------- VÕ THỊ HUỲNH TRANG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SÔ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ́ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trınh nghiên cứu đươ ̣c hoàn thành dưới sự cố ̀ gắ ng và nỗ lực của riêng tôi. Những nội dung và kết quả nghiên cứu nêu trong khóa luận này là trung thực, đươ ̣c các đồ ng tác giả cho phép sử du ̣ng và chưa từng được công bố trong bấ t kı̀ mô ̣t công trınh nào khác. ̀ Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016 Sinh viên thực hiện Võ Thị Huỳnh Trang i
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biế t ơn chân thành và sâu sắ c nhấ t đế n cô giáo TS. Võ Thị Hoa – người đã tâ ̣n tınh hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiê ̣n và ̀ hoàn chınh bài khóa luâ ̣n này. ̉ Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng quý thầ y cô giáo tổ Vâ ̣t lý, khoa Lý-Hóa-Sinh, trường Đại học Quảng Nam đã ta ̣o mo ̣i điề u kiê ̣n thuâ ̣n lơ ̣i để tôi hoàn thành tố t bài khóa luâ ̣n này cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Bên ca ̣nh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các ba ̣n ho ̣c cùng lớp Đa ̣i ho ̣c Sư pha ̣m Vâ ̣t lý K12 đã ủng hô ̣ và đóng góp những ý kiế n hữu ıch cho tôi trong quá ́ trınh hoàn thành khóa luận. ̀ Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đế n những thành viên trong gia đình, người thân đã luôn bên cạnh, giúp đỡ và động viên tôi trong suố t quá trình học tập và thực hiê ̣n đề tài. Mô ̣t lầ n nữa tôi xin chân thành cảm ơn ! Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016 Sinh viên thực hiện Võ Thị Huỳnh Trang ii
MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 1 2. Mục tiêu của đề tài .................................................................................................. 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................... 2 6. Lịch sử nghiên cứu .................................................................................................. 2 7. Giả thuyế t khoa ho ̣c ................................................................................................ 3 8. Cấu trúc của đề tài ................................................................................................... 3 Phần 2. NỘI DUNG ................................................................................................................... 4 Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ........................ 4 1.1. NHỮ NG CƠ SƠ VẬT LY CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ................................... 4 ̉ ́ 1.1.1. Giả thuyết De Broglie ....................................................................................... 4 1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh ...................................................................... 4 1.1.3. Hàm sóng của ha ̣t vi mô .................................................................................... 5 1.1.4. Toán tử .............................................................................................................. 5 ́ ́ ̉ ̀ 1.2. CAC TOAN TƯ THƯƠNG GẶP ........................................................................ 7 1.2.1. Toán tử tọa độ ................................................................................................... 7 1.2.2. Toán tử xung lượng ........................................................................................... 7 1.2.3. Toán tử năng lượng ........................................................................................... 8 1.2.4. Toán tử momen xung lượng .............................................................................. 8 1.3. TRI ̣TRUNG BÌNH TRONG PHÉ P ĐO CAC BIẾN SÔ ĐỘNG LỰC .............. 9 ́ ́ 1.3.1. Theo cơ học cổ điển .......................................................................................... 9 1.3.2. Theo cơ học lượng tử ........................................................................................ 9 ́ ́ 1.4. HÊ ̣ THƯC BÂT ĐINH ...................................................................................... 10 ̣ 1.4.1. Sai số của phép đo ........................................................................................... 10 1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch.......................................................... 10 iii
1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg ........................................................................... 10 1.5. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ................................................................ 11 1.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ............................................... 11 1.5.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian .................................... 11 1.5.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn ........................... 12 1.5.4. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn ............................. 13 1.5.5. Dao động tử điều hòa ...................................................................................... 15 1.6. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TƯ........... 15 ̉ 1.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian ................................................................ 15 1.6.2. Phương trình chuyển động đối với x ............................................................... 15 1.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px ............................................................. 16 1.6.4. Tích phân chuyển động ................................................................................... 16 1.7. LY THUYẾT BIỂU DIỄN................................................................................. 16 ́ 1.7.1. Khái niệm ........................................................................................................ 16 1.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn) ............................................................. 17 1.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn) ............................................................. 17 1.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn) .............................................. 18 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ....................................................................................................... 18 Chương 2. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA ....... 19 2.1. GIƠI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA ....... 19 ́ 2.1.1. Giới thiệu......................................................................................................... 19 2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica............................................................. 20 2.1.3. Khai thác thư viện của Mathematica............................................................... 20 2.1.4. Các tính năng của Mathematica ...................................................................... 21 2.2. CAC QUY TĂC CƠ BAN CỦA MATHEMATICA VỀ NGỮ PHAP ............. 21 ́ ́ ̉ ́ 2.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica ............................................... 22 2.2.2. Các phép toán cơ bản trong biểu thức ............................................................. 22 2.2.3. Sử dụng các kí hiệu đặc biệt trong Mathematica ............................................ 25 iv
́ ̉ 2.3. TÍNH TOAN CƠ BAN TRONG MATHEMATICA ........................................ 26 2.3.1. Tính giới hạn ................................................................................................... 26 2.3.2. Tính đạo hàm của hàm số................................................................................ 26 2.3.3. Tính tích phân ................................................................................................. 26 2.3.4. Giải phương trình và hệ phương trình............................................................. 27 2.4. CAC KIỂU SÔ TRONG MATHEMATICA ..................................................... 28 ́ ́ ́ ́ ́ 2.5. CAC PHÉ P TÍNH TOAN SÔ HỌC .................................................................. 28 2.5.1. Số nguyên ........................................................................................................ 28 2.5.2. Số hữu tỷ ......................................................................................................... 28 2.5.3. Số vô tỷ ........................................................................................................... 29 2.5.4. Số phức ............................................................................................................ 29 ̀ ́ 2.6. ĐÔ HỌA VƠI MATHEMATICA ..................................................................... 29 2.6.1. Đồ họa hai chiều.............................................................................................. 29 2.6.2. Đồ họa ba chiều ............................................................................................... 32 2.6.3. Các tùy chọn quan trọng chung cho các lệnh vẽ đồ thị................................... 34 2.7. MỘT SÔ LƯU Y KHI SƯ DỤNG PHÂN MỀM MATHEMATICA ............... 35 ́ ́ ̉ ̀ KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ....................................................................................................... 35 Chương 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ....................................................................................... 37 3.1. BAI TOAN VỀ HAM SONG CỦA HẠT VẬT CHÂT .................................... 37 ̀ ́ ̀ ́ ́ 3.2. BAI TOAN TÌM HAM RIÊNG, TRI ̣RIÊNG CỦA TOAN TƯ ....................... 39 ̀ ́ ̀ ́ ̉ 3.3. BAI TOAN VỀ GIA TRI ̣ TRUNG BÌNH TRONG PHÉ P ĐO CAC BIẾN SÔ ̀ ́ ́ ́ ́ ĐỘNG LỰC .............................................................................................................. 39 3.4. BAI TOAN TÌM NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TƯ ĐIỀU HOA .......... 41 ̀ ́ ̉ ̀ 3.5. BAI TOAN VỀ LY THUYẾT BIỂU DIỄN ...................................................... 42 ̀ ́ ́ 3.6. BAI TOAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THƠI ̀ ́ ̀ GIAN ......................................................................................................................... 45 v
3.7. BAI TOAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER KHÔNG PHỤ THUỘC ̀ ́ ̀ THƠI GIAN .............................................................................................................. 46 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ....................................................................................................... 49 Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 50 1. KẾT LUẬN ........................................................................................................... 50 2. KIẾN NGHỊ .......................................................................................................... 50 Phần 4. HƯỚNG PHÁT TRIỂN .......................................................................................... 51 Phần 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 52 PHỤ LỤC...................................................................................................................................P1 vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn ............................ 12 Hình 1.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng................................................. 13 Hình 1.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng ..................................... 14 Hình 2.1. Biể u tượng phầ n mề m Mathematica 8.0 ............................................................ 20 Hình 2.2. Bảng Basic Math Input trong giao diê ̣n của phầ n mề m Mathematica 8.0 ..... 24 vii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 2.1. Một số hàm cơ bản trong Mathematica ............................................................. 24 Bảng 2.2. Một số lê ̣nh vẽ đồ thi trong Mathematica .......................................................... 34 ̣ viii
DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ Đồ thi 2.1. Đồ thi hai chiề u của hàm f(x). ........................................................................... 29 ̣ ̣ Đồ thi 2.2. Đồ thi hai chiề u của ba hàm f1, f2, f3. ................................................................ 31 ̣ ̣ Đồ thi 2.3. Đồ thi hai chiề u của mô ̣t hàm 2 tham số . ......................................................... 31 ̣ ̣ Đồ thi 2.4. Đồ thi ba chiề u của mô ̣t hàm f(x,y) .................................................................. 32 ̣ ̣ Đồ thi 2.5. Đồ thi ba chiề u của hai hàm f1, f2...................................................................... 33 ̣ ̣ Đồ thi 2.6. Đồ thi ba chiề u của mô ̣t hàm 3 tham số . .......................................................... 33 ̣ ̣ Đồ thi 3.1. Tra ̣ng thái ha ̣t trong hố thế với bức tường cao vô ha ̣n ta ̣i x =L. .................... 46 ̣ Đồ thi 3.2. Tra ̣ng thái ha ̣t trong hố thế dich chuyể n tới vi trı́ x = 2L................................ 47 ̣ ̣ ̣ ix
Phần 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học, chúng ta có thể dần khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những ngành khoa học ngày càng phát triển đó là Vật lý. Trong quá trình học tập và lĩnh hội kiến thức về lý thuyết nói chung và lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá quan trọng. Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý thuyết đã học. Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở đại học, cao đẳ ng đó là Cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào đầu những năm 30 của thế kỷ XX. Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học. Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như Vật lý chất rắn, Vật lý hạt…Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Các tiên đoán của Cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau thế kỷ. Như vậy, Cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu Cơ học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý. Thế nhưng đa số sinh viên vật lý lại gặp không ít khó khăn trong việc học tập môn học này do có hệ thống bài tập tương đối nhiều và đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp, tốn nhiều thời gian và công sức. Hiện nay, trên thế giới đã có những phần mềm được sử dụng như là một công cụ mạnh trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo và mang tính thực tiễn cao, Mathematica là một trong những phần mềm đó. Với những ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý số liệu nhanh sẽ giúp cho việc xử lý các bài toán vật lý được nhanh chóng và thuận tiện. Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng phần mềm Mathematica giải mô ̣t số bài toán về Cơ học lượng tử”. 1
2. Mục tiêu của đề tài - Nghiên cứu khai thác và sử dụng phần mềm Mathematica để giải các bài toán về Cơ học lượng tử. - Làm rõ được ưu điểm của việc sử dụng phần mềm Mathematica. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các dạng bài tập trong Cơ học lượng tử. - Ngôn ngữ lập trình Mathematica với các tính năng tính toán. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục tiêu đề ra, đề tài có những nhiệm vụ chính sau: - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về Cơ học lượng tử. - Khai thác các tính năng tính toán của phần mềm Mathematica. - Nghiên cứu sử dụng cú pháp, cấu trúc câu lệnh của phần mềm Mathematica để giải các bài toán về Cơ học lượng tử. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết . - Phương pháp giải bài tập. - Phương pháp phân tích tổng hợp. - Sử dụng phần mềm Mathematica. 6. Lịch sử nghiên cứu Trong những năm qua có nhiều người đã ứng dụng phần mềm toán học Mathematica vào dạy giải bài tập vật lý phổ thông trung học ở các chương, các phần chẳng hạn như: - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để giải bài toán chương “ Dòng điện xoay chiều” vật lý 12 nâng cao. (Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý – Nguyễn Thị Diệu Ly ). - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica trong dạy học phần “Dao động và sóng điện từ” chương trình vật lý 12 trung học phổ thông. (Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý – Hoàng Việt Hưng ). 2
- Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để vẽ đồ thị. (Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Hạnh Thảo). 7. Giả thuyế t khoa ho ̣c Đề tài được hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên chuyên ngành Vật lý nói chung và đồng thời xây dựng được cách học mới, đó là ứng dụng công nghệ thông tin trong việc giải quyết các bài toán vật lý khó và phức ta ̣p. 8. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo khóa luận gồm có 3 chương : Chương 1: Tổng quan lý thuyết về Cơ học lượng tử. Chương 2: Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathemetica. Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lươ ̣ng tử. 3
Phần 2. NỘI DUNG Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ̉ ́ 1.1. NHỮ NG CƠ SƠ VẬT LY CỦ A CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1.1. Giả thuyết De Broglie Theo giả thuyết phôtôn thì bức xạ điện từ có tính chất như những dòng hạt. De Broglie đã nêu lên một giả thuyết về vấn đề này (năm 1924): một hạt tự do có năng lượng và xung lượng tương ứng với một sóng phẳng có tần số góc và véc tơ sóng ; và thỏa mãn hệ thức sau đây: ħ ħ Với ħ =h/2π ; trong đó h là hằng số Planck, hằng số này chung cho mọi loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý. Nhiều thí nghiệm kiểm chứng lại giả thuyết De Broglie đã chứng tỏ rằng: không những một chùm nhiều electron có tính chất sóng mà ngay cả từng electron chuyển động cũng có tính chất sóng. Theo giả thuyết về phôtôn và giả thuyết De Broglie thì ánh sáng cũng như các hạt vi mô vừa có tính chất sóng,vừa có tính chất hạt, người ta nói rằng chúng có lưỡng tính sóng hạt. Bước sóng λ của sóng De Broglie tương ứng là : ħ (1.1) Trong đó : v là vận tốc chuyển động của hạt là véc tơ sóng của hạt có độ lớn ħ ħ 1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián đoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Borh dã đưa ra một giả thuyết lượng tử: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có thể có những giá trị gián đoạn. E E ,E ,E ,…E ,… Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ, lượng tử năng lượng của bức xạ 4
bằng hiệu năng lượng của trạng thái đầu En và năng lượng của trạng thái cuối Em. Nếu gọi ωmn là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có : ħωmn En – Em (1.2) 1.1.3. Hàm sóng của ha ̣t vi mô a. Biểu diễn trạng thái của hạt bằng hàm sóng Trạng thái bất kì của một hạt vi mô vào thời điểm t có thể biểu diễn bởi một hàm , gọi là hàm sóng của hạt: , ħ (1.3) b. Xác suất tìm thấy hạt trong một miền không gian Gọi là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng ta có: | , | . Để đơn giản, chọn C=1 → | , | Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian: , | , | (1.4) Vậy điều kiện chuẩn hóa hàm sóng được xác định bởi công thức: | , | 1 (1.5) ∗ Với: | , | , , Hàm sóng thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm sóng đã chuẩn hóa. Đối với hàm sóng đã chuẩn hóa thì xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV bao quanh điểm M có vectơ tia r là: | , | Đối với hàm sóng chưa được chuẩn hóa thì: | , | Trong đó C thỏa mãn điều kiện (1.5) → | , | 1 Nếu một hạt chuyển động theo trục x thì hàm sóng có dạng , . Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x + dx là: Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa: | , | | , | Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa: | , | 1.1.4. Toán tử a. Khái niệm Toán tử là một thực thể toán học tác dụng lên một hàm bất kì (của x chẳng hạn) chuyển nó thành một hàm khác: 5
(1.6) Với là toán tử tác dụng lên hàm và biến hàm này thành hàm . Nếu tác dụng của toán tử lên hàm chỉ đơn giản là phép nhân hàm này cho một số a: (1.7) Lúc đó ta nói rằng là hàm riêng của toán tử , a gọi là trị riêng của . Tập hợp các trị riêng của được gọi là phổ trị riêng. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử hay gọi tắt là phương trình trị riêng. b. Các phép tính toán tử - Phép cộng (trừ) toán tử: - Phép nhân toán tử: - Giao hoán tử: , - Phản giao hoán tử: , c. Toán tử tự liên hợp Hermite Toán tử được gọi là toán tử tự liên hợp hermite (toán tử hermite) khi và chỉ khi hệ thức sau được thỏa mãn: ∗ ∗ . . (1.8) ∗ ∗ ∗ ∗ Trong đó: là một toán tử sao cho . là một hàm bất kì Các trị riêng của toán tử hermite là số thực: (1.9) Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử hermite là trực chuẩn: ∗ . , (1.10) Với , là kí hiệu Kronecker Khi m = n → , 1 : hệ chuẩn hóa Khi m ≠ n → , 1 : hệ trực giao 6
Các hàm riêng của toán tử hermite hợp thành một hệ đầy đủ: ∑ (1.11) Với: là hàm riêng của toán tử là hệ số phân tích, hệ số khai triển. Xác suất để toán tử có giá trị : | | | ́ ́ ̉ ̀ 1.2. CAC TOAN TƯ THƯƠNG GẶP 1.2.1. Toán tử tọa độ Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng . Giả sử đã được chuẩn hóa. Phương trình trị riêng của toán tử tọa độ là: (1.12) Trong biểu diễn tọa độ thì tọa độ và hàm của tọa độ là phép nhân thông thường nên: và Dựa vào tính chất hàm Delta: 0 Ta có: hay Lúc này người ta nói toán tử có hàm riêng ứng với giá trị . Trường hợp tổng quát, trong không gian 3 chiều toán tử tọa độ có: - Dạng : → ̂ - Trị riêng : - Hàm riêng : với là hàm Delta-Dirac ba chiều. 1.2.2. Toán tử xung lượng Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng . Trong biểu diễn tọa độ theo trục x, toán tử xung lượng có: - Dạng : ħ - Trị riêng : liên tục . - Hàm riêng : ħ √ ħ Trường hợp tổng quát trong không gian 3 chiều, xung lượng có: 7
ħ - Dạng : ħ → ħ ħ - Trị riêng : có giá trị liên tục . . - Hàm riêng : ħ / ħ ħ / ħ √ √ Các toán tử xung lượng cũng là các toán tử hermite. 1.2.3. Toán tử năng lượng Hàm năng lượng tương ứng với toán tử năng lượng có: ħ - Dạng : ∆ ) - Phương trình trị riêng: (1.13) hay ∆ 0 (1.14) ħ Với ∆ là toán tử Laplace. - Trường hợp hạt chuyển động một chiều theo trục x thì phương trình trị riêng có dạng: ħ 0 (1.15) 1.2.4. Toán tử momen xung lượng Toán tử momen xung lượng có dạng : . Trong đó : , lần lượt là vec tơ định vị và vec tơ xung lượng của hạt. Các thành phần của toán tử mômen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes có dạng : ħ ħ (1.16) ħ Với là toán tử hermite. 8
Khi khảo sát momen xung lượng người ta thường xét hai toán tử đó là toán tử hình chiếu momen xung lượng trên trục z ( ) và toán tử momen xung lượng toàn phần hay gọi là toán tử bình phương momen . * Toán tử Trong tọa độ Descartes toán tử có: - Dạng : ħ ∅ - Trị riêng : ħ có giá trị gián đoạn: 0ħ, 1ħ, 2 ħ … ∅ - Hàm riêng : ∅ √ * Toán tử bình phương momen xung lượng Trong tọa độ cầu toán tử này có: - Dạng : ħ ∆ ,∅ Với ∆ ,∅ là phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu và có dạng như sau : ∆ ,∅ (1.17) ∅ - Phương trình trị riêng: ħ ∆ ,∅ ,∅ ,∅ (1.18) Trong đó : ħ 1 hay ħ 1 , với nhận các giá trị khả dĩ 0,1,2,… ∅ - Hàm riêng : ,∅ ,∅ ́ ́ ́ ́ 1.3. TRI ̣TRUNG BÌNH TRONG PHEP ĐO CAC BIÊN SÔ ĐỘNG LỰC 1.3.1. Theo cơ học cổ điển Nếu trong phổ gián đoạn thì: ̅ ∑ Với: giá trị đo được ở lần thứ i. xác suất tại i. Nếu trong phổ liên tục thì: ̅ . 1.3.2. Theo cơ học lượng tử Xét đại lượng vật lý L có giá trị trung bình ∗ . . . (1.19) Chú ý: phải là hàm sóng chuẩn hóa. 9
́ ́ 1.4. HỆ THƯC BÂT ĐINH ̣ 1.4.1. Sai số của phép đo Độ lệch ∆ cho biết độ chính xác của quá trình đo: ∆ (1.20) ⇒∆ 0 Với: ∆ ∞: độ bất định. ∆ 0: độ chính xác cao. 1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch ∆ 2 2 2 ⇒ ∆ #0 (1.21) Với: ∆ : trị toàn phương trung bình ∆ : thăng giáng hoặc là độ bất định của phép đo đại lượng L. 1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg Toán tử và được đo chính xác đồng thời khi và chỉ khi: , 0 , (1.22) Với: là toán tử hermite Hệ thức bất định Heisenberg: ̅ ∆ . ∆ (1.23) ̅ Hay . (1.24) a. Hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng ħ . (1.25) Nếu tọa độ được xác định một cách chính xác thì xung lượng sẽ hoàn toàn bất định và ngược lại, hay nói cách khác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô không đồng thời đo được chính xác. Chính vì thế không thể xác định được quỹ đạo chính xác của hạt, đây chính là ý nghĩa quan tro ̣ng của hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng. 10