Khóa luận tốt nghiệp: Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về ma trận và không gian vectơ; đưa ra các bài toán về vật lý có liên quan đến ma trận và không gian vectơ, hình thành cách giải. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ HOÀNG THỊ BÍCH ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS.TS Hà Thanh Hùng HÀ NỘI , 2018
LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến quý thầy cô Khoa Vật Lý Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt vốn kiền thức quý báu cho chúng em trong thời gian học tập tại trƣờng. Và đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Thanh Hùng , ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành tốt khóa luận này. Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn nên khó tránh khỏi sai xót, rất mong quý thầy cô bỏ qua. Đồng thời do trình độ lí luận cũng nhƣ kinh nghiệm thực tiễn nên khóa luận không thể tránh khỏi sai xót nên em rất mong thầy cô góp ý ,đóng góp để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận đƣợc tốt hơn. Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới bố mẹ và những ngƣời thân yêu trong gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ động viên em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Hoàng Thị Bích
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin đảm bảo khóa luận này gồm các kết quả chính mà bản thân tôi đã thực hiện trong thời gian là nghiên cứu. Cụ thể, phần Mở đầu và Chƣơng 1 là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề trƣớc đó liên quan đến khóa luận. Trong Chƣơng 2 tôi đã sử dụng một phần kết quả đã nghiên cứu trƣớc đó với phần mà tôi đã thực hiện cùng với thầy hƣớng dẫn PGS.TS Hà Thanh Hùng. Cuối cùng, tôi xin khẳng định các kết quả có trong khóa luận “Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý” là kết quả mới không trùng lặp với kết quả của các khóa luận và công trình đã có. Sinh viên Hoàng Thị Bích
MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................1 CHƢƠNG 1: SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT ...............................................................3 1.1. Không gian vectơ .................................................................................................3 1.1.1. Các tính chất của không gian vectơ ..................................................................3 1.1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian vectơ. ......................................................5 1.2. Ma trận .................................................................................................................6 1.2.1. Phép biến đổi của ma trận .................................................................................6 1.2.2. Các tính chất của ma trận ..................................................................................8 1.2.3. Các dạng ma trận .............................................................................................14 1.2.4. Trị riêng và vectơ riêng của ma trận ...............................................................17 CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ TRONG VẬT LÝ .....................................................................................................23 2.1 Mô phỏng bài toán vật lý bằng vectơ .................................................................23 2.1.1. Vectơ biểu diễn đại lƣợng vật lý có hƣớng .....................................................23 2.1.2. Vectơ chỉ hƣớng của ánh sáng truyền trong không gian.................................27 2.1.3. Dùng các phép cộng, trừ và nhân vectơ trong vật lý ......................................29 2.2. Giải bài toán vật lý bằng ma trận .......................................................................33 2.2.1. Tính Hermite của ma trận ...............................................................................33 2.2.2.Hàm riêng và trị riêng của các đại lƣợng vật lý ...............................................36 KẾT LUẬN ...............................................................................................................42 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................43
CÁC KÍ HIỆU CHUNG SVD : singular value decomposition : là một dạng khai triển của ma trận BĐT : bất đẳng thức CĐĐT : cƣờng độ điện trƣờng Đpcm : điều phải chứng minh
PHẦN MỞ ĐẦU Trong Vật lý lý thuyết, có thể nói Vật lý lý thuyết là một môn học khá quan trọng đối với sinh viên ngành Vật lý. Nó có thể coi là cơ sở cho tất cả các môn học đối với sinh viên Lý. Trong đó ma trận và không gian vectơ là những phần kiến thức cơ bản và gây hứng thú nhiều nhất với môn học này. Ma trận và không gian vectơ là vấn đề có tính thời sự, nó có mặt trong tất cả các ngành liên quan đến vật lý nhất là giải bài tập. Nó giúp học sinh hình thành cách giải một cách nhanh chóng nhất trên cơ sở vật lý và toán học. Xuất phát từ vấn đề đó, tôi đã lựa chọn đề tài : “Ứng dụng của của ma trận và không gian vectơ trong vật lý” với mong muốn trang bị cho các em học sinh những kiến thức cần thiết để giải bài tập một cách hoàn thiện nhất. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về ma trận và không gian vectơ Đƣa ra các bài toán về vật lý có liên quan đến ma trận và không gian vectơ, hình thành cách giải Đối tƣợng nghiên cứu Lý thuyết Một số dạng toán thƣờng gặp về ma trận và không gian vectơ Nội dung nghiên cứu Các tính chất của không gian vectơ Các tính chất của ma trận Mô phỏng các bài toán vật lý bằng vectơ Các dạng bài tập về ma trận và không gian vectơ Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lí luận và các công cụ toán học Nghiên cứu các tài liệu liên quan Cấu trúc khóa luận Cấu trúc khóa luận đƣợc sắp xếp nhƣ sau: 1
Chƣơng 1: Sơ lƣợc về lý thuyết Chƣơng 2: Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý Kết luận chung: Điểm qua các kết quả chính thu đƣợc và đề xuất hƣớng nghiên cứu trong thời gian tới. 2
CHƢƠNG 1: SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT 1.1. Không gian vectơ 1.1.1. Các tính chất của không gian vectơ  Vectơ cơ sở - Nếu V là một không gian vectơ W chiều, sau đó bất kì tập hợp N vectơ độc lập tuyến tính e1, e2,…,eN tạo thành một cơ sở cho V. Nếu x là một vectơ tùy ý nằm trong V thì bộ N+1 vectơ x, e1, e2,…, eN phải phụ thuộc tuyến tính và dó đó:  e1   e2  ...   eN   x  0 + Các hệ số: không phải tất cả bằng không và đặc biệt   0 .Hay chúng ta có thể viết x nhƣ một tổng tuyến tính của các vectơ: N x  x1e1  x2e2  ...  xN eN   xi ei i 1 - Các hệ số xi là các thành phần của x đối với ei – cơ sở. Các thành phần này là duy nhất, nếu cả hai: N N x   xi ei y   yi ei i 1 và i 1 N Thì:   x  y e i 1 i i i 0 - Từ các trình bày ở trên thì chúng ta thấy rằng bất kì tập hợp N vectơ độc lập tuyến tính có thể hình thành cơ sở cho một không gian vectơ N- chiều. Nếu chúng ta chọn một bộ ei' khác nhau; i = 1,…N thì có thể viết x nhƣ sau: N x  x1' e1'  x2' e2'  ...  xN' eN'   xi' ei' i 1  Tích vô hƣớng - Chúng ta có thể mô tả về vectơ trong không gian vectơ bằng cách xác định tích vô hƣớng chúng, kí hiệu bằng : ; nó là một hàm vô hƣớng của a và b . Các vô hƣớng : a.b = |a||b|.cos của vectơ trong không gian thực của không gian ba chiều ( là góc giữa các vectơ ) 3
- Các tích vô hƣớng có các tính chất sau: (i) = * (ii) a | b  c   a | b   a | c Lƣu ý: Cho một không gian vectơ phức tạp (i),(ii) chỉ ra rằng: a | b | c  * a | c  * b | c a | b  * a | b - Hai vectơ trong không gian vectơ tổng đƣợc xác định là trực giao nếu =0. ^ ^ ^ - Chúng ta đƣa vào không gian vectơ N chiều một cơ sở e1 , e2 ,..., eN có tính chất trực giao ( các vectơ cơ sở trực giao lẫn nhau và mỗi vectơ có một quy tắc đơn vị nhất định ) , tức là: ^ ^ ei | e j   ij  ij là biểu thức tam giác Kronecker: { - Từ cơ sở trên, chúng ta có thể viết hai vectơ bất kì a và b là: N ^ N ^ a   ai ei và b   bi e j i 1 i 1 - Với a bất kì ,trong một cơ sở trực giao chúng ta có: ^ N ^ ^ N ^ ^ e j | a   e j | ai ei   ai e j | ei  a j i 1 i 1 ^ Do đó,thành phần của a đƣợc đƣa ra bởi: ai  ei | a . Lƣu ý, đây chỉ đúng khi cơ sở là trực giao.Chúng ta có thể viết a và b là các tích vô hƣớng của cơ sở trực chuẩn nhƣ: ^ ^ ^ ^ ^ ^ a | b  a1 e1  a2 e2  ...  aN eN | b1 e1  b2 e2  ...  bN eN N ^ ^ N N ^ ^ N   ai*bi ei | ei   a b * i i ei | e j   ai*bi i 1 i 1 j 1 i 1 4
 Một số bất đẳng thức hay sử dụng (i) BĐT Schwarz là kết quả cơ bản nhất và khẳng định rằng: || ||a|| ||b|| Chúng bằng nhau khi a là bội số vô hƣớng của b, tức là khi a   b . Để phân biệt giữa giá trị tuyệt đối của một đại lƣợng vô hƣớng |  | và quy tắc của một vectơ |a|. BĐT Schwarz có thể chứng minh: a  b  a  b | a  b 2  a | a   a | a  * b | a  * b | b Nếu chúng ta viết nhƣ a | b ei thì: a  b  a   b   a | b ei   * a | b ei 2 2 2 2 (ii) Các BĐT tam giác: a b  a  b ^ (iii) BĐT Bessel ra đời từ 1 cơ sở trực giao ei ; i = 1,2,…N của không gian N chiều và nó khẳng định rằng: ^ a   ei | a 2 i (iv) Đẳng thức hình bình hành: a b  a b  2 a  b 2 2  2 2  1.1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian vectơ. Một toán tử tuyến tính 𝒜 đối với tất cả các vectơ x khác nhau: y = 𝒜x Tƣơng tự, đối với hai vectơ a và b: 𝒜(λa+μb) = λ𝒜a+μ𝒜b Trong đó: λ μ là vô hƣớng. Chúng ta nói rằng 𝒜 hoạt động dựa trên x tạo thành các vectơ cho y. Lưu ý 𝒜 không thuộc bất kì cơ sở hoặc hệ tọa độ nào và có thể coi là chuyển một thực thể hình học. 5
Nếu chúng ta đƣa vào một cơ sở ei , i = 1,2,…N vào không gian vectơ thì tác động của 𝒜 trên mỗi cơ sở là để tạo ra một sự kết hợp tuyến tính, đƣợc viết nhƣ sau: N 𝒜 ei   ijei i 1 Aij là thành phần thứ i của vectơ cơ sở 𝒜ei ; gọi chung Aij là các thành phần của toán tử tuyến tính trong ei –cơ sở. Mối liên hệ giữa y = 𝒜x có dạng: N  N  N N y   yi ei  𝒜   x j e j    x j  ijei i 1  j 1  j 1 i 1 N yi   ij x j j 1 Chúng ta giả sử rằng vectơ y là không gian vectơ giống x. Tuy nhiên, nếu y thuộc về một không gian vectơ khác, nói chung là M-chiều ( M # N) thì biểu thức trên sẽ thay đổi. Đƣa một cơ sở fi ; i = 1,2,…M vào không gian vectơ y thì chúng ta có thể viết nhƣ sau: M 𝒜ej =  ij fi i Aij của toán tử tuyến tính 𝒜 liên quan đến cả ej và fj Nếu x là một vectơ và 𝒜 và ℬ là hai toán tử tuyến tính thì có các tính chất sau: (𝒜+ℬ)x 𝒜x+ℬx (λ𝒜)x λ(𝒜x) (𝒜ℬ)x= 𝒜(ℬ)x 1.2. Ma trận 1.2.1. Phép biến đổi của ma trận  Các phép tính đại số cơ bản của ma trận Các ma trận đại số cơ bản có thể đƣợc rút ra từ các tính chất của các toán tử tuyến tính điển hình. Trong một cơ sở nhất định, tác dụng của hai toán tử tuyến tính 𝒜 và ℬ trên một vectơ tùy ý x được cho bởi:      j ij x j   ij x j   ij x j j j 6
    j ij x j    ij x j j    j ij x j   ik  x k   k j  k ik kj x j Bây giờ, với x tùy ý, chúng ta có thể ngay lập tức suy ra cách thức mà ma trận đƣợc thêm vào hoặc nhân lên.  Cộng ma trận và phép nhân bởi một vô hƣớng Chúng ta thấy rằng tổng của hai ma trận, S = A+B , là ma trận mà các phần tử đƣợc xác định bởi: Sij = Aij + Bij Cho mỗi cặp kí hiệu i,j với i = 1,2,…M và j = 1,2,…N Từ định nghĩa, ta suy ra rằng : A+B = B+A và tổng của hai ma trận có thể viết một cách rõ ràng,tức là phép cộng ma trận là giao hoán và kết hợp. Sự khác nhau giữa hai ma trận đƣợc xác định bằng cách suy luận trực tiếp với phép cộng.Ma trận D = A-B có: Dij = Aij - Bij Với i = 1,2,…M và j = 1,2,…N Nhân ma trận A với một vô hƣớng λ tạo thành ma trận λAij ,ví dụ:  11 12 13   11 12 13     21 22 23   21 22 23  Phép nhân với một vô hƣớng là phân phối và kết hợp  Phép nhân ma trận Chúng ta hãy xem xét lại các biến đổi của một vectơ vào y = 𝒜x , ta có: N yi   ij x j với i=1,2…N j 1 Viết cho dạng y= 𝒜x ,chúng ta có:  y1   11 12 ... 1N  x1        y2     21  22 ...  2 N  x2   ...   ... ... ... ...  ...        yM   M 1 M 2 ...  MN  xN  7
Nếu thay vào 𝒜 một vectơ cơ sở ej có tất cả các thành phần bằng 0 trừ j thì ta có:  11 12 ... 1N  0   1 j        22 ...  21  0    2 j  e j   21   ... ... ... ...  ...   ...        M 1 M 2 ...  MN   1    Mj  Chúng ta có thể mở rộng các kết quả của hai ma trận : P = AB , trong đó P là ma trận của một số giao kết bởi các phép tính của các hàng của ma trận A trên cột của B, trên mỗi cột của B lần lƣợt là vectơ x đại diện cùng hợp thành. Đây là một định nghĩa có ý nghĩa, số lƣợng cột trong A phải bằng số hàng trong B. Vì vậy, các kết quả AB của M×N ma trận A với N×R ma trận B chính là M×R ma trận P: N ij   ik kj với i = 1,2,…M ; j = 1,2,…R k 1 Nhƣ đã nói ở trên, nếu A là M×N và B là N×M thì sau đó hai ma trận có kết quả là: P = AB và Q = BA - Đây chứng tỏ là không giống nhau, vì P là một M×M ma trận trong khi Q là một ma trận N×N. Vì vậy, phải viết kết quả theo thứ tự đã dự định: P = AB nhƣng Q = BA. Lƣu ý: A2 nghĩa là AA , A3 nghĩa là A(AA) = (AA)A. Thậm chí, nếu A và B là vuông thì: AB # BA, tức là nhân của ma trận nói chung không phải là giao hoán. - Tính chất của ma trận là phân phối; tức là: (A+B)C = AC+BC và C(A+B) = CA+CB 1.2.2. Các tính chất của ma trận - Nếu một ma trận A là ma trận vuông (nhƣ đã đề cập) thì ngƣời ta có thể xác định lũy thừa của A một cách đơn giản. Ma trận A vuông có dạng: S   an n n Hàm mũ của một ma trận, đƣợc định nghĩa bởi:  n exp    n 0 n ! 8
Định nghĩa này có thể sử dụng để xác định các hàm khác nhƣ sinA và cosA.  Cách chuyển vị một ma trận - Chúng ta thấy rằng các vectơ của toán tử tuyến tính trong một hệ tọa độ nhất định có thể đƣợc viết dƣới dạng một ma trận A.Tuy nhiên, nên xem xét sự khác nhau của ma trận mẫu qua việc trao đổi các hàng và cột của A.Ma trận đó đƣợc gọi là chuyển vị của A và kí hiệu : AT Rã ràng, nếu A là một ma trận M×N thì chuyển vị của AT là một ma trận N×M - Chuyển vị của tích của hai ma trận, (AB)T đƣợc đƣa ra lấy theo thứ tự ngƣợc lại: (AB)T = BTAT Chứng minh nhƣ sau:   ij    ij    jk ki  k      kj               ik  ik  kj   ij k k có thể mở rộng cho nhiều kết quả của ma trận:  C...G    G  ...C    Vết của ma trận - Đối với một ma trận A, trong hai phần trƣớc chúng ta đã xem xét các ma trận khác nhau mà có thể bắt đầu từ nó.Tuy nhiên, đôi khi ngƣời ta muốn lấy đƣợc một số duy nhất từ một ma trận. Ví dụ đơn giản, là vết của một ma trận vuông đƣợc biểu thị bởi TrA và đƣợc định nghĩa là tổng của các số hạng trên đƣờng chéo của ma trận. N r   11  12  ...   NN   ii i 1 Rõ ràng là lấy vết là một toán tử tuyến tính,do đó: Tr(A±B) = TrA ± TrB Ta có kết quả nhƣ sau: N N N r      ij     ij ij i 1 i 1 j 1 N N N   ijij     jj  r i 1 j 1 j 1 9
Kết quả này có thể mở rộng cho các kết quả của nhiều ma trận  Các định thức của một ma trận. Một số tính chất của định thức đƣợc xác định đơn giản từ việc xác định detA. Việc sử dụng chúng thƣờng quy về việc đánh giá định thức. - Tính chất của các định thức của ma trận (i) Đinh thức của một ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị AT ( thu đƣợc qua việc chuyển đổi hàng và cột của A) có đề cập đến định thức nhƣ A chính nó, tức là:    (ii) Định thức phức tạp và liên hợp Hermite Rõ ràng là các ma trận A* thu đƣợc bằng cách lấy liên hợp phức tạp của mỗi  phần tử A có định thức    . Ta thấy rằng:            (iii) Thay thế hai hàng hoặc cột Nếu hai hàng ( hoặc cột ) của A đổi chỗ lẫn nhau thì yếu tố quyết định không thay đổi gì (iv) Thay thế thừa số Nếu tất cả các phần tử của một hàng (hoặc cột) của A có một thừa số chung, λ, thì thừa số đó có thể đƣợc loại bỏ, giá trị của các thừa số đƣợc đƣa ra bởi tích số của các định thức còn lại và λ. Điều này cho thấy, nếu tất cả các phần tử bất kì của hàng (cột) là không thì |A| = 0. Nếu mọi phần tử của N×N ma trận A nhân với hằng số bội λ thì:    N  (v) Đồng nhất hàng hoặc cột Nếu hai hàng ( cột ) bất kì của A trùng nhau hoặc là bội số của nhau thì nó có thể biểu thị: |A| = 0 (vi) Thêm hằng số bội vào một hàng ( cột) khác 10
Các định thức của ma trận là không thay đổi về giá trị bằng cách thêm vào các phần tử của một hàng ( cột) nào đó. (vii) Định thức của một tích số Nếu A×B là một ma trận vuông thì:       Mở rộng hơn ta có: ...G    ... G   G ...   ...G Thấy rằng định thức là bất biến theo hoán vị của các ma trận.  Nghịch đảo của một ma trận - Chúng ta xét mối tƣơng quan P = AB nhƣ tƣơng đƣơng với B = P/A, với điều kiện A#0. Tuy nhiên, nếu A, B và P là ma trận thì kí hiệu này không có ý nghĩa rõ ràng. Một ma trận vuông có định thức bằng 0 gọi là ma trận kì dị ; nếu khác nhau nó là không kì dị. Chứng minh rằng: nếu A là kì dị thì chúng ta có thể xác định ma trận, biểu thức A-1 đƣợc gọi là nghịch đảo của A, trong đó nếu AB = P thì B = A-1P . Nói cách khác, B có thể thu đƣợc bằng cách nhân P với A-1 . Tƣơng tự, nếu B là kì dị thì A = PB-1. Ta có: AI = A -> I = A-1A Trong đó: I là ma trận đơn vị và do đó: A-1A = I = AA-1 Trên thực tế, tìm nghịch đảo của ma trận A có thể thực hiện bằng một số cách khác nhau. Phƣơng pháp đầu tiên là xây dựng ma trận C có chứa các phần phụ đại số của các phần tử của A, sau đó chỉ cần nghịch đảo A-1 có thể tìm đƣợc bằng cách chuyển đổi C và chia các định thức của A. Do đó, các phần tử của nghịch đảo A-1 đƣợc đƣa ra bởi:  C ik    1 ik    Cik  11
Xét các thành phần A-1A ta có:           1 ij 1 ik kj k Cki   kj   ij k   Từ đó, suy ra: C k ki kj   ij - Một số tính chất hay sử dụng có liên quan đến ma trận nghịch đảo: (i)   1 1     1    1   (ii)    1    1   (iii)   1 (iv)  11  ...G  1 (v)  G 1...11 Chứng minh các tính chất từ (i)->(iv) Nghịch đảo của một ma trận vuông : AA-1 = I = A-1A (i) Từ biểu thức trên (ii) Lấy chuyển vị của mỗi biểu thức   1        1   (iii) Chứng minh tƣơng tự nhƣ (ii) bằng cách biến đổi (ii) liên hợp Hermite và sử dụng kết quả cho liên hợp Hermite của một ma trận (iv) Chúng ta có thể viết :             1 1 Lấy vế trái nhân với A-1 ta đƣợc: 1    1 và do đó:      1 1 1 Lấy tiếp về trái nhân với B-1: 1     11 1 12
(v) Sử dụng hai lần kết quả (iv) ta đƣợc:  C    C  1  C 111 1 1 Từ đó, chúng ta tìm đƣợc: 1   1   1   1    Thứ hạng của ma trận - Thứ hạng của một ma trận M×N là một khái niệm quan trọng, đặc biệt là trong các phép tính của phƣơng trình tuyến tính đồng thời. Cũng giống nhƣ các vết và định thức, thứ hạng của ma trận A là một số duy nhất mà thuộc các phần tử của A; thứ hạng của ma trận có thể có đƣợc định nghĩa ngay cả khi A không phải là ma trận vuông. Có hai định nghĩa tƣơng đƣơng với thứ hạng của một ma trận chung. +) Thứ nhất, thứ hạng của một ma trận có thể đƣợc định nghĩa về sự độc lập tuyến tính của các vectơ. Giả sử các cột của ma trận M×N đƣợc hiểu là các thành phần trong một cơ sở N vectơ v1, v2, …vN nhƣ sau:        v v2 ... vN   1      Thì thứ hạng của A , kí hiệu : rankA hoặc R(A) ; đƣợc định nghĩa là số vectơ độc lập tuyến tính trong tập v1, v2, …vN và tƣơng đƣơng với kích thƣớc của không gian kéo dài bởi những vectơ. +) Thứ hai (tƣơng đƣơng ) định nghĩa về thứ hạng của một ma trận có thể đƣợc đƣa ra và sử dụng các khái niệm về ma trận phụ. Một ma trận phụ của một A là một ma trận bất kì có thể đƣợc hình thành từ các phần tử của A bằng cách bỏ qua hoặc thêm nhiều hơn vào hàng hoặc cột của nó. Nó chƣa chỉ ra rằng thứ hạng của M×N ma trận nói chung là tƣơng đƣơng với kích thƣớc của ma trận phụ vuông lớn nhất của A có định thức khác không. Do đó, nếu ma trận A có r×r ma trận phụ S với S#0 , nhƣng không có (r-1)×(r+1) ma trận phụ khác không thì bậc của ma trận là r. Từ một trong hai định nghĩa, rõ ràng là bậc của A là nhỏ hơn hoặc bằng với M và N. - Ma trận vuông, tức là N×N , rất phổ biến trong các ứng dụng vật lý. 13
1.2.3. Các dạng ma trận  Ma trận đơn vị Là ma trận chéo có các phần tử trên đƣờng chéo bằng 1.  i,j  0, i  j  i , j  1, i  j Ma trận đơn vị đƣợc kí hiệu là In với n là cấp của ma trận. Ví dụ ma trận đơn vị có cấp 3 đƣợc biểu diễn nhƣ sau: 1 0 0  3  0 1 0  0 0 1   Ma trận không Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0: Ai,j = 0 Ví dụ: 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0   0 0 0 0  Ma trận đƣờng chéo - Ma trận đơn vị mà chúng ta đã gặp là một ví dụ về một ma trận đƣờng chéo, ma trận nhƣ vậy đƣợc đặc trƣng bởi các phần tử khác không trên đƣờng chéo chính, tức là chỉ yếu tố Aij với i=j có thể khác không. 1 0 0      0 2 0   0 0 3    là một 3×3 ma trận đƣờng chéo, một ma trận nhƣ vậy đƣợc kí hiệu: A=diag(1,2,-3) Nếu ma trận có dạng : A=diag(A11, A22, …ANN) thì: |A|=A11A22…ANN → Lƣu ý: Nếu A và B là hai ma trận chéo thì tích của chúng sẽ là giao hoán : AB = BA Điều này không đúng đối với ma trận nói chung.  Ma trận tam giác phía dƣới và phía trên Một ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận tam giác phía dƣới nếu tất cả các số hạng trên đƣờng chéo chính bằng không. 14
Ví dụ: ma trận 3×3 thấp hơn ma trận tam giác là:  11 0 0       21 22 0   33   31 32 các số hạng Aij=0 hoặc khác không. Tƣơng tự, ma trận vuông đƣợc gọi là ma trận tam giác phía trên nếu các số hạng dƣới đƣờng chéo chính bằng 0.  11 12 13    Ví dụ:  0 22 23   0 33   0  Ma trận đối xứng và ma trận không đối xứng Một ma trận vuông A bậc N với A = AT đƣợc gọi là đối xứng. Tƣơng tự nhƣ vậy, một ma trận A = -AT đƣợc cho là không hoặc nghiêng đối xứng và các số hạng trên đƣờng chéo của nó là a11, a22,…aNN tất yếu bằng không. Hơn nữa, nếu A không đối xứng thì ma trận nghịch đảo của nó là A-1. Dễ dàng chứng minh nếu: A = ±AT thì:      1   1  1 Bất kì N×N ma trận A có thể đƣợc viết nhƣ tổng của một đối xứng và một ma trận không đối xứng, nhƣ sau:  1 2               C 1 2 Rõ ràng: B = BT và C = CT. Do đó, ma trận B đƣợc gọi là phần đối xứng của A và C là phần không đối xứng. Nếu A là không đối xứng thì AT = -A. Ta có:        1   → Nhƣ vậy, nếu N là số lẻ thì : |A| = - |A| và |A| = 0  Ma trận trực giao Khá nhiều ma trận với đặc tính chuyển vị của nó cũng là nghịch đảo của nó. 15