TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRẦN THỊ LỤA
ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN
ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN BIÊN
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
BẬC HAI
Bộ môn: Toán lý
MSSV: 41.01.102.059
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. LƯƠNG LÊ HẢI
Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI MỞ ĐẦU
Để khóa luận đạt kết quả như hôm nay, trong quá trình bắt đầu và hoàn
thiện em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cô, bạn bè và gia
đình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng
dẫn em trong suốt quá trình làm khóa luận. Thầy luôn đồng hành giúp đỡ,
động viên, chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngoài ra, em còn
nhận được từ thầy sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu
khoa học.
Thứ hai, các thầy, cô trong khoa Vật Lý đã giảng dạy, truyền cho em
những kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể
vững bước vào nghề trong tương lai.
Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em
trong thời gian qua.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 30 tháng 04 năm 2019
Trần Thị Lụa
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay những hệ lượng tử ít chiều trong các trường ngoại lực như điện
trường hoặc từ trường được nghiên cứu và khảo sát một cách mạnh mẽ trong
các quá trình như quang ion hóa, tái hợp các nguyên tử và phân tử, chuyển
dịch bức xạ của các trạng thái Rydberg của nguyên tử trong các bẫy quang
từ [1–3], khuếch tán lượng tử trên bề mặt của các phân tử [4] hay truyền
ánh sáng trong các ống quang dẫn rời rạc không đều [5], [6]. Mô hình toán
học của các quá trình trên là những bài toán biên có chứa phương trình
Schrodinger, một phương trình cơ bản đặc trưng cho trạng thái của một hệ
lượng tử bất kì (các hạt cơ bản như electron, proton, hạt nhân, nguyên tử,
phân tử v.v..) hoặc hệ phương trình đạo hàm riêng bậc hai dạng Elip trong
miền vô hạn với những hàm thế năng khác nhau.
Đã có một số công trình khoa học đưa ra những chương trình dựa trên các
sơ đồ tính toán bằng phương pháp số và giải tích khác nhau để giải những mô
hình toán học trên với mục đích tìm ra hàm sóng và năng lượng riêng của hệ
lượng tử. Các chương trình này được viết trên các chương trình phần mềm
tính toán như Mathcad, Mathematica. Tuy nhiên số lượng các công trình
như vậy còn khá ít và kết quả của những công trình chỉ đưa ra những chương
trình tính toán một cách sơ bộ, rời rạc và chỉ áp dụng cho một vài phương
pháp đơn giản với nhiều lí do như sự hạn chế tốc độ vận hành của mỗi phần
mềm, mã code chưa được chuẩn, hoặc sự hạn chế về mặt tính toán số học
hay vẽ đồ thị v.v.. Vì vậy việc xây dựng và áp dụng những chương trình dựa
trên những phương pháp mới để khảo sát những mô hình lượng tử phức tạp
là một nhiệm vụ cần thiết và quan trọng đối với những người nghiên cứu
khoa học, đặc biệt là trong lĩnh vực khoa học tự nhiên và kĩ thuật.
Trong khóa luận này chúng tôi sử dụng chương trình có tên gọi "KANTBP
4M — A program for solving boundary problems of the self-adjoint
system of ordinary second order differential equations " [7]. Đây là
chương trình được biên soạn trên phần mềm Maple (Maplesoft) bởi các cộng
tác viên khoa học ở Viện Liên hiệp Hạt nhân Dubna, Thành phố Dubna,
Liên Bang Nga. Chương trình có chứa hơn 1000 mã code và thuật toán phức
hợp được thể hiện qua các sơ đồ tính toán dựa trên phương pháp phần tử
hữu hạn [8] với đa thức nội suy Hermite [9] để khảo sát các mô hình toán
3
học được đơn giản hóa từ các mô hình vật lý lượng tử ít chiều phức tạp.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Khóa luận trình bày lại vắn tắt cách chương trình giải các bài toán bằng
phương pháp phần tử hữu hạn và nội dung bài toán trị riêng, bài toán tán
xạ. Từ đó, vận dụng giải các bài toán cụ thể tương ứng.
3. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M
Chương này gồm các nội dung như giới thiệu chương trình KANTBP 4M,
bài toán trị riêng và bài toán tán xạ, phương pháp phần tử hữu hạn, đa thức
nội suy Hermite.
Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M
Vận dụng chương trình KANTBP 4M để khảo sát các bài toán trị riêng
và bài toán tán xạ cho phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
Mục lục
1 Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M ........ 5
1.1 Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm bậc hai
đối xứng .......................... 5
1.2 Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán ........... 6
1.3 Sự hình thành phương pháp phần tử hữu hạn của bài
toán đại số ........................ 10
1.4 Đa thức nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Sự hình thành bài toán trị riêng đại số ......... 14
1.6 Sơ đồ tính toán của bài toán tán xạ nhiều kênh . . . . 18
2 Ứng dụng của chương trình KANTBP 4M ........... 22
2.1 Bài toán 1: Nghiệm của bài toán trị riêng với phương
trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa một chiều
và phương trình xuyên tâm cho dao động tử điều hòa
d– chiều ......................... 22
2.2 Bài toán 2: Nghiệm của bài toán trị riêng cho hệ phương
trình với hàm thế không đổi liên tục từng phần . . . . 31
2.3 Bài toán 3: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh cho
hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng
phần. ............................ 36
2.4 Bài toán 4: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh mô
tả sự truyền qua rào thế của hệ hai hạt đồng nhất với
tương tác dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận ................................. 45
Tài liệu tham khảo ........................... 46
