Sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài
Kinh nghiệm giải bài toán đa
thức bằng máy tính cầm
tay(MTCT) ở bậc THCS
A. MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa
suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài toán khó không những chỉ
đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải
độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp.
Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh
tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp
với máy tính điện tử”.
(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).
- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học
tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài tập không thể giải
bằng tay.
- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các
bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có .
- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để
dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó
việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác.
Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói
chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức cần thiết .
Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là
các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong cả nước.
Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”
II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Nhiệm vụ chính:
Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa
thức.
Đối với giáo viên:
- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT
và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn.
- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng
MTCT.
Đối với học sinh:
- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức
- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo.
III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU
Phương pháp:
Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một số bài tập có số phức
tạp,kết hợp nhiều phép tính,…)
Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT tại trường THCS Bình Nghi.( Theo
kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường duyệt)
Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường.
Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện.
Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010
Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các khối 7,8,9 từ
5/10/2009 đến 1/11/2009).
Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi( Từ 2/11/2009 đến
15/11/2009).
Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn( Từ 14/12/2009 đến
5/01/2010).
B.KẾT QUẢ
I. TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC:
- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào
- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho
dạng bài tập này.
Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học 2009 – 2010 khi
chưa thực hiện đề tài
BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ
ẾN
ĐA THỨC
CHƯA BI
ẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA
THỨC
LỚP
SL
SL
TL
SL
TL
7 30 5 16,7% 25 83,3%
8 40 10 25% 30 75%
9
90
23
25,6%
67
74,4%
II. NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:
A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC :
Định lý Bezout :“ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)”
Hệ quả :
- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a
- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f
- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2 …,xn thì
đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :
P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)
Sơ đồ Horner:
Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp
tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)
ta có sơ đồ:
an
an- 1
an - 2
…
a1
a0
c bn-1 = an bn -2 =
cbn-1+ an -1
bn -3 =
cbn - 2+ an -2
… b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0
Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 và
r = c(c(…(c(can + an-1))..)) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
B. GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA CHỦNG
LOẠI MTCT CASIO:
- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx:
500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES.
- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng
máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy 500ES;500VN-
Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép
toán ở sách giáo khoa.
- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng
- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT
C. CÁC DẠNG BÀI TẬPỨNG DỤNG :
Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho
nhị thức (ax + b)
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta luôn được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r.
Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P( ).
Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của
MTCT để giải quyết.
Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2
Giải :
Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx
f(x) M (x – 2 ) <-> f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0
Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56 <-> 4m2 – 2m – 56 = 0
Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5
(*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :
nhập vào máy a =4 ; b=- 2 ; c= -56-> x1 = 4; x2 =- 3,5
Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và
f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2
Bài tập tương tự :
Bài 1:Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 .
Tìm m để f(x) M (x + 3)
HD: Đặt g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx
Giải phương trình ẩn m , ta được : m1 = 5 và m2 =
Bài 2:
(Sở GD – ĐT TP. Hồ Chí Minh. 2003)
Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m -5
tại x = - 2,5 là 0,49.
HD: Đây là bài toán tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư là 0,49
Ta có: f(x) – 0,49 M (x + 2,5)
- >Tìm giá trị của m biết đa thức x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết cho x + 2,5
Đáp số:209,105
Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai đa thức
f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và
g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)
Giải:
f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0
Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x
Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b
g(x)=B(x) –3a +2b
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 <-> 2a + 3b = –87
g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 <-> –3a +2b = –318
Ta có hệ phương trình :
Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm
( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .
Bài tập tương tự :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)
Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3). Hãy
tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức.
Giải:
P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0
Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156