SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
(Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số
2x 1
yx1
có đồ thị
(C)
và điểm
P 2;5
.
Tìm các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
d: y x m
cắt đồ thị
C
tại hai điểm
phân biệt
và
B
sao cho tam giác
PAB
đều.
Câu II: (6,0 điểm)
1. Giải phương trình
3
x 1 2 1 x
x2
2x 1 3
 

2. Giải hệ phương trình
22
22
222
11
x y 5
xy x,y
xy 1 x y 2
Câu III: (6,0 điểm)
1. Cho lăng trụ
ABC.A'B'C'
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
điểm
A'
lên mặt phẳng
(ABC)
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng cách giữa
hai đường thẳng
AA'
và
BC
bằng
a3
4
. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
2. Cho tứ diện
ABCD
có
là trọng tâm tam giác
BCD
. Mặt phẳng
đi qua trung
điểm
I
của đoạn thẳng
AG
và cắt các cạnh
AB, AC, AD
tại các điểm (khác
). Gọi
A B C D
h , h , h , h
lần lượt là khoảng cách từ các điểm
A, B, C, D
đến mặt phẳng
.
Chứng minh rằng:
2222
B C D A
hhhh
3

.
Câu IV: (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho điểm
A 1; 1
và đường tròn
22
T : x 3 y 2 25
. Gọi
B, C
là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn
T
(
B, C
khác
). Viết phương trình đường thẳng
BC
, biết
I 1;1
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương
a, b, c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
23
P.
a ab abc a b c

- - Hết - -
Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.........................
Đề thi chính thức
1
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN THPT- BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
I.
(3,0đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng
d
và đồ thị
(C)
là:
2x 1 xm
x1
2
x (m 3)x m 1 0 1
, với
x1
0,5
Đường thẳng
d
cắt đồ thị
(C)
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương
trình
1
có hai nghiệm phân biệt khác
1
2
m 2m 13 0
0.m 3 0

(đúng
m
)
0,5
Gọi
12
x , x
là các nghiệm của phương trình (1), ta có:
12
12
x x m 3
x x m 1
Giả sử
11
A x ; x m
,
22
B x ; x m
0,5
Khi đó ta có:
2
12
AB 2 x x
2 2 2 2
1 1 1 2
PA x 2 x m 5 x 2 x 2
,
2 2 2 2
2 2 2 1
PB x 2 x m 5 x 2 x 2
Suy ra
PAB
cân tại
P
0,5
Do đó
PAB
đều
22
PA AB
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x 2 x 2 2 x x x x 4 x x 6x x 8 0
0,5
2m1
m 4m 5 0 m5

. Vậy giá trị cần tìm là
m 1, m 5
.
0,5
II.
1,
(3,0đ)
ĐKXĐ:
x1
x 13

Phương trình đã cho tương đương với
3
x 2 x 1 2 2x 1 3
0,5
3
x 1 x 1 x 1 2x 1 2x 1 (1)
0,5
Xét hàm số
3
f t t t
;
2
f ' t 3t 1 0, t
Suy ra hàm số
ft
liên tục và đồng biến trên
0,5
Khi đó:
33
Pt(1) f x 1 f 2x 1 x 1 2x 1
0,5
2
32
32
1
x
12x0
1
xx
2x0
215
x
x x x 0
x 1 2x 1 15 2
x2



0,5
Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:
15
x2
và
x0
0,5
II.
2,
(3,0đ)
ĐKXĐ:
x0
y0
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
2
22
11
x y 5
xy
x 1 . y 1 2xy






0,5
2
2
11
x y 5
xy
*
11
x . y 2
xy












, đặt
1
uxx
1
vyy


Hệ phương trình
*
trở thành
2
22
u v 5 u v 9
uv 2 uv 2
 

0,5
u v 3
uv 2

(I) hoặc
u v 3
uv 2
(II)
Ta có:
u1
Iv2
hoặc
u2
v1


u1
II v2
hoặc
u2
v1


Vì
1
u x u 2
x
nên chỉ có
u2
v1
và
u2
v1


thỏa mãn.
0,5
u2
v1
ta có
1x1
x2
x15
1y
y1 2
y





(thỏa mãn ĐKXĐ)
0,5
u2
v1


ta có
1x1
x2
x15
1y
y1 2
y





(thỏa mãn ĐKXĐ)
0,5
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
x;y
là:
0,5