Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
TẶNG HỌC SINH Mr HÙNG ĐZ MỤC TIÊU 9 ĐIỂM TOÁN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
2
2
3
2 =
+ 2
(
(
x
) 1
x
2
x
+ 2
x
2
x
) ℝ .
- - - - ˛
Câu 1. Giải phương trình (
) + 1 x Lời giải.
1x
Điều kiện 1
.
2
2
2
3
+
- £ £
(
x
2
x
2
x
)2 + = 2 x
2
1
1
x
x
.
2
= +
+ 2
+ 2
- - - - - -
1 2
1
1
⇒ - 1
1
1
.
x
x
x
x
x
x
- - ‡ ‡
)2
Phương trình tương đương Ta có (
0
3
2
(
Đặt 3
thu được
1 1
) 1
0
t
t
t
x
2 2
- = x 2
t
1
= t ‡ t
2
˛ +
- (cid:219) - ‡ (cid:219)
}
(cid:1)
- + ‡ 2 t { 1
3;1
3
.
= (cid:219) 0
2 0
x
t
x
- = (cid:219) x 2
3
2
- -
)(
‡ ⇒ ‡ 3
(cid:1)
1
1
2
3 0
3
) 1
0
1
.
t
t
x
x
( + ‡ x
x
⇒ = - x
1
‡ x £ x
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm duy nhất
1
.
(cid:219) - - ‡ (cid:219) - (cid:219) -
x = - - = y
+ + + 1 y x x + y 2 1
Câu 2. Giải hệ phương trình
2
2
3
+ = + + xy 7 x x 12
1 0;
y
0
x
Điều kiện
+ + ‡ y + ‡
x + 2
x x
0 y
1 0;
2
7
0
y
x
xy Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
8 15 y Lời giải. - ‡ ‡ (cid:219) ‡ ‡
- + + - 1 y x + + 1 y 2 - = (cid:219) x y 0 - = x y 0 + y x + + + 1 y x + 2 y 1
- - x y x (cid:219) - - x y . - = (cid:219) y x 0 x y 0 1 + + + y + + + + + 1 y x + + y 1 2 1 y x = y 2 1
x
y
+ > ⇒ - = (cid:219) = x
1 0
0
y
x
y
+ + +
+
1
2
1
y
x
y
3
3
2
+
=
+
+
- Ta có .
12
7
x
x
x
x
15
2
2
.
2
2
3
3
3
3
)
( x x
( x x
2
=
x
+ + + + + 8 8 15 x x x 7 = + + = + + 2 £ £ ⇒ Phương trình thứ hai của hệ tương đương 8 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực không âm ta có ) 8.8 4 7 7 12 x 7 x x + x 8 15 .
1
.
8 x y= = . 1
x
+
x 8 3 + = (cid:219) = x 7 8 3 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi Kết luận hệ có nghiệm duy nhất
)(
)
- + y
x
+ - = + x 2
3
y
( + x
y
2
x
y
3
x
4
- -
Câu 3. Giải hệ phương trình
+
= 2
y
2
x
2
- 5
Lời giải.
2
Điều kiện
- ‡
0; 2 + - y
0 x
4
‡ y x
x 3 0;3 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
‡ ‡
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
+
(
)(
)
x
y
2
x
y
+ + + 5 y x 2
3
x
+ - = x
y
4
3
0
- - - -
y
( + - x
y
)( 2 2
- + x y
) 1
0
x 2 - + 4
3
x
1 = + - x y
3
1
- - (cid:219) -
(
2
x
y
y
2
0
3
- + 4
3
= + - x y
x
) + - + 1 x
1
(cid:219) - -
Vì
. Phương trình thứ hai của hệ trở thành
x
+ - + 2 y
0
y
2
x
1
3
x
- + 4
+ - x y
> ⇒ = 3
-
.
- + 1
= 2 x
2
2
2
x
( ) Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 1 Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có
2
2
-
x
+ 3 2
x
2
+
)
2
x
- + 1
2
= 2 x
( 1 2
x
) 1
( 1 2
x
+ 1 2 x + 2
+ - 1 1 2 = 2
x 2
2
2
- - - - - £
(
4
) 1
+ 3 2
x
2
=
2
x
- + 1
2
x
2
x 2
x 2
4 = ⇒ 2 2
- =
x
2
.
Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là
(cid:219) = x
1
1 1 = 2
- - - £ - £
2
1
x
Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm.
2
2
2
-
3
+ + x 2 y + + 4 + = 2 x 3 y + + 4 2 y
Câu 4. Giải hệ phương trình
+ - y x 3 1 + - - 2 - + 1 3 - = 3 2 2 1 x y x y
3
2 2 Lời giải.
Điều kiện
x
;
y
1 2
2 3
+ 2
0
+ - 2
x
+ + y 2
x
2
y
‡ ‡ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
x
y
y
2
2
2
+
+ - 2 4 ( +
+
x + + 2
x
+ 2
y
2
y
+ = 2 3 y 4 ) )( + x y + + 4
3
y
4
x
+
(
)
- - (cid:219)
(
)
x
y
0
⇒ = x
y
2
2
2
+
1 + + 1
x
+ + y
1
x
y
2
y
y x + + 1
= + 1
3
+
(cid:219) -
3
x
x
1 + -
x
1
.
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
2
x
- + 1
3
x
- = 3 2
2 2
3
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có - + 3
-
2
x
x
+ 3 x
1
+ 3
x
x
3
2 1 =
2
x
- + 1
3
x
2
x
1
.
- + 1 1 3 + 2
2 2
2 x 1 + - 2
- =
2
x
1 3
- = (cid:219) = 3 2 1
x
x
1
.
2 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là
- - - £ £
2
2
2
2
+ 2 x x y + = 3 - - 5 x + xy 6 3 + xy 6 y x 6
Câu 5. Giải hệ phương trình
(
- - x 2 y y 5 ) 2 + x + x 4 (
0
0
8 ) 2 = y Lời giải.
⇒
Điều kiện
x
x
‡ x 2 y
0
‡ x 2 y ‡ y
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
‡ ‡
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
2
2
2
2
= 2
2 +
x
+ xy
6
5
y
+ x
y
4
x
y
x
y
5
x
+ xy
6
5
y
‡ + 2 x
= + y x
y
⇒
Nhận xét
2
2
2
2
= 2
2 +
+
- - - ‡
( (
) )
( (
) )
( + (
) )
6
x
+ xy
8
6
y
+ x
y
5
x
y
x
y
6
y
‡ + 2 x
= + y x
y
6
5
8 +
+
y
3
2
x
x
y
+
+ xy ) =
- - ‡ -
Dẫn đến
3
.
2
2
2
2
x +
2 x + x
+ 3 y = + y
x x
x ( x
y
+ xy
x
y
5
5
6
3 + xy
y
6
8
£ - -
2
=
)( 1
+ x
2
x
2
x
+
x 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x (
)
.
= (cid:219) 4
x
x
0 = (cid:219) = x
1
x
1
0
1
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2
+ +
- (cid:219) (cid:219) ‡
4
x
+ y y= . Phương trình thứ hai trở thành ) ( = + x ‡ x x 0 y= = . )( ( 1
x + £ 3
1 2 2
) 2 .
x
x
x
- -
Câu 6. Giải bất phương trình
Lời giải:
x ‡
1
(*)
ĐK:
3
-
Khi đó (1)
4
+ + x
x
+ 2 x
2
x
2
3
3
2
(cid:219) - -
+ £ 1 2 2 x (
)
(
)
4
+ - x
+ 1 2
2
+ - 2 x
3 3
x
x
2
x
12
+ -
(
)
4
( 2 2
3 9
x
+ - x
2
+
(cid:219) £ - - -
(
)
)( + 3
2
4
x
x
x
+ +
+ +
2
x
(cid:219) £ -
(
x
x
2
+
(
)
)( + 3
2
4
0
x
x
x
x ( 4 +
3 3 ) 3 +
4 +
) 1 4 + 1 2 ) 3 + + 1
x
2
3
2
x
3
- - (cid:219) - - £
(
)
(
3
)2 1
3
0
(2)
x
x
+
+
+
2
4 + + x
1
4 2
+ 3
x
3
Nhận thấy
x = -
1
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
+
- =
(cid:219) - - - £
(
Xét với
x
- ⇒ 1
+ x
)2 - < 3 1
0 3 0.
+
+
+
+
4 + - +
4 + + 2 0
4 x
2
1
3
3
x
4 2
3
2 3
‡ - -
Khi đó (2)
x
x
3.
Kết hợp với (*) ta được
3x ‡
thỏa mãn.
Đ/s:
x = -
1
hoặc
3 0 x ‡
3.
4
4
(cid:219) - ‡ (cid:219) ‡
(
)
+ x y + - y 2 0 ˛
Câu 7. Giải hệ phương trình
3
3 x y
x y R , . - - - x 4 + = x 5 = 2 x y 4 xy + 5 x y 5
Lời giải:
(
)
(
)
)
( +
2 x y
2
= (cid:219) - - Ta có (2) 5 5 4 4 0
)
(
( + y x
)( 1 5
+ - 2 = (cid:219) - - 5 + 3 x ( x x x ) 1 4 + 3 x y ( + - 2 xy x y ) = (cid:219) 2 1 xy ) 1 + 0 x x 4 xy y 0
4
4
4
= - (cid:219) - - 5 x - = (cid:219) 4 y xy 0 y 5 x xy 4 .
4
4
4
4
4
4
+
+
+ + ‡
+ - Thế vào (1) ta được x y + = (cid:219) 2 0 xy 4 + x + = 4 y 2 xy 4 .
x
y
+ = 2
x
y
1 1 4
4 x y .
= .1.1 4
xy
xy 4 .
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
‡ Áp dụng BĐT Côsi ta có
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
4
4
=
=
1
Dấu "
"= xảy ra
1
x xy
y 0
= = x y 1 = = - y x
y= = thỏa mãn.
1
Thử lại ta được Đ/s: (
) x y = ;
x ( ) 1;1 .
2
2
+ = 2
(cid:219) (cid:219) ‡
(
3
- + 1
1
) 4 .
- -
Câu 8. Giải phương trình
x
x
x
x x
- + 2 x 7
x
1 2 2
Lời giải:
1
2
1
x
ĐK:
(*)
2
x
x
3
‡ x £ x
1 3
2
2
4
2
2
2
+
>
‡ (cid:219) - ‡
⇒
( ‡ ⇒ - 2
)
(
(
• Xét với
x
1
x
x
) + = - x 1
x
< x
x
0
x
x
) 1
x
x
0
2
2
2
2
+ < 2
<
- - - ‡
⇒
⇒
(2)
x x
+ > 1
x
- ⇒ x
x
x
x x
1 0
VT
( ) 1
3
x
1
2
2
- - -
(
x
£ + 1 2
- = 2 3 x
) 1
+ 3
x
1.
2
2
2
-
Áp dụng BĐT Côsi ta có (
- + - 4 x
7
x
2 2. 3 ) = 1
+ 2 3 x
- + = x x
4
+ 3 3
x
( ) - + > x x 1
3 0,
x
1
Mặt khác
2
2
2
- <
- + ⇒ 2
)
(
⇒ + < 2 x
1 7
3
x
- + ⇒ 4
x
2 2. 3
x
1 7
4
x
x
3
x
- < 1
7
x
- + 2 x
= 4
VP
( ) 1 .
1 2 2
<
" ‡
⇒
⇒ "
Kết hợp với (2)
đều không thỏa mãn (1).
VT
( ) 1
VP
( ) 1
x
1
‡
• Xét với
x £
ta đặt
x
= - ⇒ - t
t
⇒ ‡ t
.
1 3
1 3
1 3
2
)
(
Phương trình (1) trở thành
t 3
- + 1
+ + 2 t
t
t
+ = 2 1
t
7
t
+ + 2 t
4
1 2 2
2
- £ -
- + 2 t 2 6
+ 2 2 2 t
+ 2 t
t 2
+ = 2 2 t
2
+ + 2 7 t
t
4
2
2
2
(cid:219)
t 2
+ - 2 2 t
- + 2 t
+ 2 2 t
- + 2 t
t 3
2
- + t 6
= 2 3 t
t 5
t 10
5
1
+ 1
1
(cid:219) - - -
)
)
)
(
(
(
2
2
2
(
) 1
) 1
( + - + t
(
)
( 4 2 t
2
(
) 1
2
2
2
) 2 1 + 1
2
- - - + - 2 2 3 t 2 t + 3 t 2 2 t t 2 6 t 2 + 2 = (cid:219) - 5 t + + - + - 2 1 1 2 t 2 2 t 2 t 3 t 2 3 t
2
(
) 1
2
2
2
( t t 2 + + 1
t 2
1
6
=
- - - - + 2 t 2 + 2 3 t t 6 t 2 (cid:219) - 5 t + - + 2 t + + 1 + - + + + t ) 1 + 2 t 2 t + ( - + 1 t 3 6 t ) 3 = 2 t 6 t 3 t 1 2 2 + 2 t
(
t
)2 1
5
0
2
2
2
+
+ +
+
+ + 1
2
- + 1
2
t
2 t
3 t
1 2 2 t
2 t
3 t
6 t
(cid:219) - - - - (2) -
Đặt
2
2
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
1 6 t 2 = - - - T 5. + + + + - + + 1 t t 2 2 t 3 t 1 2 2 t 2 t 3 - + 1 t 6 2
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
2
t 2
2 <
Với
t
T
+ + - = 0 0 5
0.
2
+
+ t 5 2 + 2
1 3
1 > ⇒ < 3
t
t
+ + 1
t 2
2
t 5 3 + + 1
t 2
2
- - - ‡
(
t
)21 = (cid:219) = 0
t
⇒ - = ⇒ = - 1
x
x
1
1
thỏa mãn (*).
Khi đó (2)
x = -
1.
Đ/s:
+
(cid:219) -
)(
xy
x
y
xy
) + 2
= + x y
y
(
)
- - ˛
Câu 9. Giải hệ phương trình
x y R ,
.
+
+
)
( (
) =
) 1
y
( 1
x
xy
x
4
( + x
-
Lời giải:
(
)(
)
ĐK:
0,
0,
2
0
(*)
x
y
+ xy
x
y
xy
‡ ‡ - - ‡
(
)(
Khi đó (1)
+ xy
x
y
)2 - +
xy
y
= x
y
0
(3)
(cid:219) - - -
y = khi đó (3) trở thành
0
+ x
2
= (cid:219) 0 x
= = (cid:219) = 0
2
x
x
x
0.
• Với
Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại.
+
=
+
- -
(
> ⇒ =
)(
• Với
y
T
0
x
xy
y
xy
) + > 2 y
0
và
B
x
y
> 0.
+
- -
(
)
x
xy
2
xy
y
x
2 y +
Khi đó (3)
0
)( T
y = B
- - - - (cid:219)
) +
(
)(
( y x
y
x
y
xy
+
y
x
) 2 +
y = (cid:219)
2 =
(
)
(4)
0
x
y
0
B
xy + T
T
2
+
+
- - - - - (cid:219) -
(
)
4
x
x
2
2
= 2
⇒ + y
xy
+ - x
x
⇒ + y
xy
x
- = x
Từ (2)
- = 2
2
4 +
4 +
1 B )( x 1 + x
1
x
1
+ 1
x
2
3
- - -
(
)
x
2
+ x
x
2 =
⇒ + y
xy
- = 2
0,
x
0
+ x 3 + 1
x
) ( 1 + x 1
- - ‡ " ‡
Kết hợp với
2
2
+ - y 2 + T B , > ⇒ 0 > nên (4) 0 (cid:219) = x y . xy T 1 B
( +
)( 1
) = (cid:219) 4
)( 1
) + = 3 x
+ - Thế vào (2) ta được ( x + + - x x x x x x 4 0
3
(
)
)( = (cid:219) 2 x 1
1 (cid:219) - - - - - x 2 x + = (cid:219) 2 3 x 4 0 x x 4 0 – 1 17
= x = x 2
= ⇒ = 1 y 1 x
Kết hợp với (*) ta được + + 1 17 1 17 ⇒ = y = x 2 2
)
Đ/s: (
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
+ + 1 17 = 17 1 ; . ; x y 2 2 ( ) 1;1 ,
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
3
+
=
+
+
x
2
y
y
5
x
2
2
2
+
+
+
=
3
x
+ 1 9
x
y
1
y
1
)
)(
8 Câu 10. Giải hệ phương trình (
Lời giải
+
+ ‡
y
5
x
2 0
Điều kiện:
2
2
Phương trình (2)
1 = (cid:219) 2 + (cid:219) + x 3 + 1 9 x + y + 1 y 1 + x 3 = 1 9 x
)
(
)(
2
+
+ + 1 y y
(
)
(
)2
+ x 3
+ 1 9
= - 2 x
y
+ - 1
y
(cid:219)
2
( ) t
( ) t
f
( ) t
2
=
(
)
(
)
⇒
3
x
f
f
y
= - 3
x
y
t = = f t + + ⇒ t f 1 ' + > ⇒ 1 0 hàm số đồng biến trên Tập xác định Xét hàm số + t 1 - (cid:219)
-x
1
)
38 x
= x
+ x
3
- ‡ Thay vào phương trình (2) ta có 6 2 2 (Điều kiện :
(cid:219) - 8 x = 8 x + - x 2 2 2 x
)
( 1
(
) 1
( - = x x
)( + x 4 + +
)
- x 2 + (cid:219) (cid:219) - 8 x x 0 x 1 2 2 2 x x 2 + x 2 4 = (cid:219) = + + x x 2 2 (cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:3)(cid:5) > 0
1; 3-
3
2
) 1 8 Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là (
= - - y 3 x 6 x + 3 y 4
Câu 11. Giải hệ phương trình
2
2
+ 3 x
+ - 6 = 10 5 + 4 x y + - x y + - y x y
Lời giải
Điều kiện:
4 x + ‡ y 0
3
2
+
‡ - y 5
)
+ 3 x
= 3 y
3
x
+ (cid:219) x 3
y
6
+ 4
= - 3 y
3
y
( 1
x
( 3 1
) x
2
=
(cid:219) - - - Phương trình (1)
)
⇒
Xét hàm số
hàm số
đồng biến trên Tập xác định
f
( ) t
= - 3 t
( t t 3
5
( ) t
'
f
t 3
- > ⇒ 1 0
f
( ) t
‡ -
) =
)
( ⇒ - f 1
x
( f y
- = 1
x
y
+
(cid:219)
Thay vào phương trình (2) ta có
22 x
7
x
= 10
6
x
3
x
1
( Điều kiện
‡x
)
- - - -
(
1 5 )
x
2
0
2
x
- = x 9
5
- + - x 6
+ (cid:219) 1 4
3
x
1
( + + x
)( 5 2
x
) + 1
x 5 - + x 6
3 = + 1 4
5 + x
3
1
- - (cid:219) - - -
(
x
1
x
5
+ 1 4
3 3
+ x
6
1 ) + + = (cid:219) = + x 5 2 0 - + x 1 (cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:5) > 0
)
Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là (
5; 4-
3
+ 3
+ 2
(cid:219) -
x
y
3
x
6
x
+ = 3 y
4 0
- -
Câu 12. Giải hệ phương trình
2
+
2 4
x
x
3 3 2
y
+ = 2 3 x
y
2 0
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
- - - -
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Giải:
2
Điều kiện:
( ) *
2
- ‡ x 4 0
- ‡ y y
+ 3 x
+ 2 x
+ = 6 x 4
+ 3 y
3
y
(cid:219)
)
3 ) = 1
+ 3 y
3
y
( f y
( + x
3
2
(cid:219) (cid:219) ) 1
f
Có
( = + f x + > " 3 0
nên
t là hàm đồng biến trên R ( )
f
= t t '( ) 3
t R
f
t
t R
2
˛ ˛ x + 3 2 0 +) Xét phương trình (1): ( ) 1 ) ( 3 + + x 1 = + " 3 t 3
1x
y
2 4
x
x
3 4
+ = 2 x
3
x
2 0
Xét hàm số t ( ) ⇒ + = thế vào (2) ta có: ( ) 2
- +
= (cid:219) = 2
=
(cid:219) - - - -
(T/M)
2
Do
0
x
2
x
4
x
0
x
2
2
2
+
=
£ £ (cid:219) -
x
+) Với
x
- + 2
4
0
x
2;
x
0
4
x
x
3
x
2
4
x
0
2 2
- „ (cid:219) „ „ (cid:219) - - - - -
)
)
(
(
2; x 0 có: ( ) 2 (
)
(
)
)
2
x
x
2
( x x
2
6
x
2 +
=
⇒
0
VN
0
2
+
- + 2
2 +
2
4
x
x
x
2
4
x
6 - + x 2
2
x
= (cid:219) 2 x
- - - (cid:219) - - - -
(
2 + 2 x )
4 x
2
6
4 x
+
> " < < 0, 0 x
2
.
Do
2
2
-
x
4 )
2
y
0
y
(
)
2 - + + 4 2 x x x 2 ( = ⇒ = +) Với x t m 3 / = ⇒ = +) Với x Vậy hệ có nghiệm (
L 1( ) ) x y = ;
2;3
2
2
+
- -
+ + = + 1
y
x
) 1
y
-
Câu 13. Giải hệ phương trình
x (
x
x ) 1
y
( ) + = x
3
2
2
+ - 2 y
+ y (
- -
Lời giải
2
(
ĐK:
x
3,
y
+ + ‡ 2, x
y
+ 1 0,
x
)2 1
y
(*)
‡ - ‡ - ‡
Khi đó ( )1
- + x
y
+ + x
y
- + - 1. x
y
+ + = 1
x
y
1 0.
+ + ‡ y
1 0
x
2
- = (cid:219)
(cid:219)
(
Đặt
⇒ - = x y
- ⇒ - + 2 1
1
b
b
ab a
0
)( + + b 1
b
) ( - = a b 1
) 1
0
=
- + ‡ y
1 0
x
= a b
-
(
b
)( + + = (cid:219) = 0 1
a b
) 1
b
⇒ - + = (cid:219) 1 1 y
x
1
- + = (cid:219) = y 1 1
x
x
y .
(cid:219) -
(
Thế vào (2) có (
x
) 1
+ - 2 x
x
) + = x
2
3
2
- -
(
)
(
)
x
x
2 4
3 4
(
(
)
)
x
)( + - x 1
x
)( + - 2
2 2
x
3 2
0
)( + - x 1 + +
x
2 2
)( + - x 2 = + + x
3 2
1
- - (cid:219) - - - (cid:219) -
(
)
x
)( 1
x
2
= 0
2
+
+
+
1 x
2
2
2
1 = (cid:219) + x 3
+ = +
+
x
x
2
2
3
= x x + 2
1
=
(cid:219) - - -
(
)
)
⇒
} )
thỏa mãn (*).
{ ( ( 1;1 , 2; 2
x y ;
x x
= ⇒ = 1 = ⇒ = 2
y y
1 2
3
)
= x = x 2 + = + x 2 Đ/s: (
) x y = ;
x } { ( ) ( 1;1 , 2; 2 .
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
(cid:219) (cid:219)
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
- 2 x 2 - - + x x 1 + = y 2 1 -
Câu 14. Giải hệ phương trình
2
2
3
- - x + + 7 x 4 5 x + y 4 x 1 + = + 7 y y 3 2
Lời giải
<
+ ‡
=
x
1,
x
1 2
y
ĐK:
a
- > x
1
= b 0,
x
+ ‡ 2 y
1 0
2
+ =
- (*). Đặt
(
)
0
0
(3)
a b
+ 2 a
ab
= (cid:219) 2 b 2
)( = + a b a
b 2
( )1⇒ thành
b 2 a
>
(cid:219) - -
‡ ⇒ +
Với
0,
0
> nên ( )3
0
1
1
a
b
a
b 2
(cid:219) = ⇒ - = x
b
a
x
+ y 2
1
1
⇒ - = - x
x
+ (cid:219) = y 2
x
y
3
3
2
2
2
2
-
Thế vào (2) có
(4)
x
+ + x 7
4
5
x
+ = + 7 x x 3
2
x
+ - = - 4 7 2
x
x
+ 5 x
7
x
3
2
3
2
2
2
3
=
+
- - (cid:219) - -
(
)2
xét
Ta có
T
x
x
5
x
+ + 3 x
7
5
x
+ 7 x
3
x
+ = x 3
7
x
5
0,
11 > 20
2 +
7 2 5
2
3
2
- - - -
5
x
+ x
3
2
3
+
2 >
+
(
)
5
x
+ x
7
3
0.
⇒ = T
x
7 2
3 4
3
2
2
+ 2
- -
(
(
)
5
)( 1
4
3
x
x
+ 7 x
x
x
x
x
4
) 3 =
Do đó ( ) 4
2
T
x
4
2
2
- - - - - (cid:219) -
7 4 = 7 2 )(
+ - x + + x ( 1
T ) 3 = (cid:219)
(
)
2
2
- - - - x + 4 x x x + x 4 1 1 x (cid:219) - + 2 x 4 x 0 3 (5) + + - - T T 2 x + x 4 + 7 + + x 4 7 2 x
1x £
2
- 1 x 1 + > T > ⇒ 0 0. Với và + - T 2 x + x 4 7
2
(
)
)
} )
{ ( ( 1;1 , 3;3
)
Đ/s: (
) x y = ;
} { ( ) ( 1;1 , 3;3 .
3
2
3
y
+ = 1
y
,
+ +
y = (cid:219) - ⇒ x Khi đó ( ) 5 + = (cid:219) x 4 3 0 x y ; thỏa mãn (*). y 3 = ⇒ = x 1 1 = ⇒ = x 3
1 - + y
(
4 1
) ℝ .
˛
Câu 15. Giải hệ phương trình
; x y
3
9
- + 2
7
2
3.
y
+ x
+ x
x x + + = 2 2 y y Lời giải.
y
1
. Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với
> - x
;
Điều kiện
2 9
(
‡
2
2
) + + 1 x = + x
2
3 1 3 - - - - + - 1 3 1 3 x y y x y y + + 1 (cid:219) + - y 1 y 4 = 1 x x
- - * 1 ( ) 1 3 1 3 (cid:219) + - x + - x y y 1 y 1 = + x 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
‡ y 1 nên ta xét hàm số > - x ; Vì 2 9
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
3
+
(
+ 2
t 2
t
)2 1
t 2
2
1 =
=
=
⇒
- + 3
" > 0,
t
0
.
f
f
t
0
t 3
t 2
( ) t
( ) t
2
1 = 2 t
3 t 2 t
)( 1 t
2
- - ¢ - - ‡
)
( +
Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu được ( ) + = (cid:219) = x
.
1
1
y
y
x
( f y
= 1
x
f
2
3
3
+
+ 2
* (cid:219) (cid:219) -
)
(
9
y
2
( + y
2
7
y
+ 2 y
= 5
y
) 1
0
( ) 1
.
- = 5 y
+ (cid:219) 2 y
- + 2
2
3
9
7
y
y
1 > t ; t ) Phương trình thứ hai của hệ trở thành
+
2
2
2
+
- - - -
y
. Cho nên
3 7
y
2
y
+ = ⇒ + b
a
Đặt
3
a + 2
˛ ˘
+ 2 y
y
y
y
y
y
7
2
> vì 0 + 3
5
3
9
2
= = (cid:219) 0 b ) 1 =
1 ) 4 +
0
( ) 1
2
2
+ ab b ( + + + ab b
a
9
y
2
2
2
+
- - - - (cid:219)
- = a y ; 5 ( + + 2 y y 4 - + + y 2 (
y
+ y
) 6 =
0
2
2
)( y 1 +
a
5 + ab b
y y 9
+ y 6 5 - + + 2 y
+ 2
+
2
- - (cid:219)
(
)
y
+ 5
y
6
( ) 2
0
2
a
y 1 = + + 2 ab b
1 + - + + y 2
9
y
2
+
+
(cid:219) -
Vì
nên
> " 0,
y
2
2
2 9
a
y 1 + + ab b
9
2
1 - + + 2 y
y
=
‡
(
)(
)
{
(
)
(
)
⇒
.
( ) 2
y
2
= (cid:219) 3 y
0
} 2;3
x y ;
) ( 8;3 , 3; 2
y
Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể trên.
3
(cid:219) - - ˛
26 x x
(
- - x 8 + = + y 2, + 6 y y 20 + 2 ˛
Câu 16. Giải hệ phương trình
) ℝ .
x y ;
- + + 1 9 1 x + y 2. 13
Điều kiện
3
2
)
2
( )
2
3
+ = 2 y 16 Lời giải. ‡ x 1, > - y + + . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( - - 2 6 8 y x 8 (cid:219) - * = + - y 2 - = + - x 6 x y + - 2 6 y 2 . 2 + 6 x x 8 x y 2 2
) 1
2
( ) t
( ) t
2
) ( t
- 8 + y ( + 2 - t 2 + t t ¢ = 4 = - - ‡ ⇒ f t Xét hàm số = - + 3 t t 6 0 f " > 0, t 0 . 8 > t ; t 4 = 2 t 3 t 2 t
( +
)2 (cid:219) =
( ) = f x
* (cid:219) 1 2 Rõ ràng hàm số trên liên tục và đồng biến trên toàn tia Ox thực nên thu được ( ) 2 + x . y y f
- + (cid:219) - - - Phương trình thứ hai của hệ trở thành 13 x + = x 1 16 x 16 x 13 x + = 1 9 x 1 0
2
2
- + (cid:219) - - 13 x 1 x + 1 x + + 1 3 x = 1 0 + - 3 1 4 1 9 9 4
- = 1 x (cid:219) = (cid:219) - - x x x 13 1 0 + - 3 1 + 2 3 = (cid:219) 1 2 5 4 + = 1 x
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
= - ) . Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x y ; ; 1 2 3 2 7 16 5 4
