SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG
BÀI TOÁN TÌM GTNN – GTLN
CỦA MỘT BIỂU THỨC
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một
biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những
dạng toán khó ở chương trình phổ thông. Trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng hàng năm, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất. Trong Sách
giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức
biểu thức một biến số). Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một
biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản. Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là
không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí
không đọc đến.
Qua quá trình giảng dạy lớp chuyên Toán và luyện thi Đại học tôi đã tích
lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung này. Các vấn đề trình bày trong sáng
kiến kinh nghiệm là chuyên đề được ứng dụng trong giảng dạy lớp 11T2 chuyên
Toán của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu và các lớp luyện thi Đại học.
Sáng kiến kinh nghiệm này là sự tổng kết có chọn lọn các chuyên đề của bản
thân đã viết ra trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của quý
Thầy, Cô trong Tổ Toán – Tin trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu.
Đề tài này xuất phát từ những lí do sau:
Giúp học sinh có thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán
khó này.
Giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu
tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Và qua chuyên đề
này tôi hy vọng quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp sẽ yêu thích hơn
trong việc giảng dạy chuyên đề này. Thực tế một số Thầy, Cô không thích
dạy, và kể cả những Thầy, Cô nhiều năm luyện thi Đại học cũng không đi
sâu lắm về chuyên đề này.
Phần mở đầu
1. B
ốicảnh củađề t
ài
2. L
ý
do ch
ọ
n đề tài
- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy Toán ở các trường
trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao
đằng.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa
hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa
hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng txy=+, 22
tx y=+
hoặc
txy=.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa
hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp
x
ty
=..
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa
ba biến bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại.
Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
- Chia sẻ với quý Thầy, Cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh kinh
nghiệm để giải quyết bài toán tìm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại
học.
- Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
- Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT chuyên
Thoại Ngọc Hầu.
Sáng kiến được chia thành ba phần :
Phần mở đầu
Phần nội dung: gồm 3 chương
Chương 1. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Chương 2. Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN, GTLN
của biểu thức
Chương 3. Một số bài toán trong các đề thi tuyển sinh Đại học
Phần kết luận
3. Ph
ạ
m vi và đối t
ư
n
n
hiên cứu
4. M
ụ
c đích n
g
hiên cứu
5. Cấu trúc SKKN
Chương I
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và
một số công thức về đạo hàm.
1.1 Định lí. Giả sử D là một khoảng hay hợp các khoảng.
Nếu hai hàm số
(
)
uux= và
()
vvx= có đạo hàm trên D thì
()
;uv u v
¢¢¢
+=+
()
;uv u v
¢¢¢
-=-
()
;uv u v uv
¢¢¢
=+
()
;ku ku
¢¢
=
()
2
uuvuv
vv
¢¢
-
¢=, với
()
0vx ¹
1.2.Định lý. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
()
0c¢= (c là hàng số)
()
1x¢=
()
()
1nn
xnxx
-
¢=Ρ
()
1nn
unuu
-
¢
¢
=
()
2
11
x
x
¢=-
()
2
1u
uu
¢
¢=-
()
()
1
20
x
xx
¢=>
()
2
u
u
u¢
¢=
()
x
x
ee
¢=
()
uu
eeu
¢¢
=
() ()
1
ln 0
x
xx
¢=>
()
ln u
u
u¢
¢=
()
sin cos
x
x
¢=
()
sin cosuuu
¢¢
=
()
cos sin
x
x
¢=-
()
cos sinuuu
¢¢
=-
() ()
2
2
tan 1 tan
x
xx k
p
p
¢=+ ¹ +
()
()
2
tan 1 tanuu u
¢¢
=+
()
()
()
2
t1cotco x x x k
p
¢=- + ¹
()
()
2
t1tco u u co u
¢¢
=- +
1.3 Nhận xét. Đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp
Phần nội dung
I.1. Một số kiến thức cơ sơ về đạo hàm
1. Cho hàm số ax b
ycx d
+
=+ với .0, 0ac ad cb¹-¹. Ta có
()
2
ad cb
cx d
y
-
+
¢=.
2. Cho hàm số 2
ax bx c
ymx n
++
=+ với .0am ¹. Ta có
()
2
2
2bc
amx anx mn
mx n
y
++
+
¢=.
3. Cho hàm số 2
2
ax bx c
ymx nx p
++
=++
với .0am ¹. Ta có
()
2
2
2
2
ab ac bc
xx
mn mp np
mx nx p
y
++
++
¢=.
Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về bài toán tìm giá
trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số.
2.1 Định nghĩa. Giả sử hàm số
f
xác định trên tập hợp DÌ¡
.
a) Nếu tồn tại một điểm 0
x
DÎ sao cho
() ( )
0
f
xfx£ với mọi
x
DÎ thì số
(
)
0
M
fx= được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
f
trên D, kí hiệu là
(
)
max
xD
M
fx
Î
=.
b) Nếu tồn tại một điểm 0
x
DÎ sao cho
() ( )
0
f
xfx³ với mọi
x
DÎ thì số
(
)
0
mfx= được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
f
trên D, kí hiệu là
()
min
xD
mfx
Î
=.
2.1 Nhận xét. Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số
M
(hoặc m) là giá trị lớn nhất
(hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số
f
trên tập hợp D cần chỉ rõ :
a)
()
f
xM£ (hoặc
()
f
xm³) với mọi
x
DÎ ;
b) Tồn tại ít nhất một điểm 0
x
DÎ sao cho
()
0
f
xM= (hoặc
()
0
f
xm=).
2.2 Nhận xét. Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn
thì đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó.
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó.
Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
f
trên đoạn ;ab
é
ù
ë
û
như sau :
1. Tìm các điểm 12
, ,..., n
x
xx thuộc khoảng
()
;ab mà tại đó
f
có đạo hàm
bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
I.2. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số