Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận án nhằm giải quyết bài toán 1, đưa ra các chặn mới đủ tốt cho giá trị riêng của đa thức ma trận, từ đó so sánh với các chặn được đưa ra bởi Higham và Tisseur.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN A THÙC MA TRN: SÜ PHN BÈ GI TRÀ RING, CC ÀNH LÞ BIU DIN D×ÌNG V MËT SÈ VN LIN QUAN LUN N TIN S TON HÅC BNH ÀNH - NM 2018
BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN A THÙC MA TRN: SÜ PHN BÈ GI TRÀ RING, CC ÀNH LÞ BIU DIN D×ÌNG V MËT SÈ VN LIN QUAN Chuy¶n ng nh: ¤i Sè v Lþ thuy¸t sè M¢ sè: 9460104 Ph£n bi»n 1: PGS. TS. Ph¤m Ti¸n Sìn Tr÷íng ¤i hå L¤t Ph£n bi»n 2: TS. Hç Minh To n Vi»n To¡n hå - Vi»n H n l¥m Khoa hå v Cæng ngh» Vi»t Nam Ph£n bi»n 3: TS. L¶ ù Thoang Tr÷íng ¤i hå Phó Y¶n BNH ÀNH - NM 2018
Líi am oan Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa TS. L¶ Cæng Tr¼nh v TS. inh Trung Háa. Tæi xin am oan ¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. C¡ k¸t qu£ trong Luªn ¡n l trung thü , ÷ñ ¡ çng t¡ gi£ ho ph²p sû döng v h÷a tøng ÷ñ ai æng bè tr÷î â. TM. Tªp thº h÷îng d¨n T¡ gi£ TS. L¶ Cæng Tr¼nh D÷ Thà Háa B¼nh
Líi £m ìn Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾ inh Trung Háa. Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s ¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh. Thy ¢ h¿ b£o tªn t¼nh v h÷îng d¨n tæi tø nhúng b÷î u l m nghi¶n ùu. Thy t¤o ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v nghi¶n ùu ði mð, th¥n thi»n nh÷ng ng r§t nghi¶m tó . Thy luæn ëng vi¶n, gióp ï º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n ùu khoa hå . ÷ñ hå tªp, l m vi» vîi thy l i·u may mn v h¤nh phó èi vîi tæi. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s ¸n Ti¸n s¾ inh Trung Háa. Thy luæn ëng vi¶n, kh½ h l», gióp ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. M° dò thy khæng ð trong n÷î , nh÷ng thy v¨n th÷íng xuy¶n trao êi khoa hå vîi tæi. C¡ hëi th£o do thy tê hù ¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§t nhi·u £ v· khoa hå l¨n uë sèng. Tæi xin £m ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n. C£m ìn anh v¼ nhúng buêi th£o luªn r§t húu ½ h v· ¡ v§n · li¶n quan ¸n ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen. Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, Pháng o t¤o sau ¤i hå ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t º tæi hå tªp t¤i tr÷íng. ° bi»t, tæi xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n òng ¡ thy gi¡o, æ gi¡o trong Khoa ¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, ði mð v r§t huy¶n nghi»p. i·u n y gióp tæi â ëng lü º ph¡t triºn b£n th¥n. Tæi xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng Cao ¯ng S÷ ph¤m H T¥y, Pháng Tê hù ¡n bë ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t ho tæi i hå . Tæi ng xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v ¡ b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n, hia s´ ¡ æng vi» º tæi â thíi gian tªp trung nghi¶n ùu t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn. Tæi xin £m ìn ¡ b¤n nghi¶n ùu sinh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn ¢ luæn ëng vi¶n, hia s´ gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu. Tæi xin gûi líi bi¸t ìn ¸n gia ¼nh hai b¶n nëi ngo¤i. Nhúng ng÷íi th¥n ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n tæi. Hå l hé düa tinh thn vúng h º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n ùu khi xa nh . ° bi»t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn s¥u s ¸n ng÷íi mµ th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn sü hy sinh ao £ ng nh÷ t¼nh y¶u væ h¤n õa mµ d nh ho on. T¼nh th÷ìng bao la õa mµ luæn õ §m tr¡i tim on. i
Cuèi òng, tæi xin d nh t¼nh £m ° bi»t ¸n hçng v hai on th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn anh v hai on ¢ ¸n b¶n íi em, gióp ï, ëng vi¶n em. Gia ¼nh luæn l nìi b¼nh y¶n õa em.
Mö lö Danh mö ¡ kþ hi»u iii Mð u 1 1 Mët sè k¸t qu£ hu©n bà 12 1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ a thù mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù 18 1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v ành lþ Artin . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 B i to¡n tèi ÷u a thù v b i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 B i to¡n tèi ÷u a thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 B i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 H¼nh hå ¤i sè thü ho a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 T½nh x¡ ành d÷ìng õa ¡ a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa hóng 32 1.6 Chu©n ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn 38 2.1 D¤ng ma trªn õa ành lþ Enestrom-Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 C¡ ành lþ d¤ng Cau hy ho a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 So s¡nh ¡ h°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 i
3 C¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù ma trªn 58 3.1 D¤ng ma trªn õa ành lþ Putinar-Vasiles u . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 D¤ng ma trªn õa ành lþ Di kinson-Povh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.1 D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman tr¶n n-ìn h¼nh . . . . . . . 63 3.3.2 D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman tr¶n ¡ a di»n lçi, ompa t 66 3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho a thù ma trªn d÷ìng tr¶n mët a di»n lçi ompa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 KT LUN 75 Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan ¸n Luªn ¡n 77 T i li»u tham kh£o 78 ii
Danh mö ¡ kþ hi»u R : Tr÷íng ¡ sè thü R+ : Tªp hñp ¡ sè thü khæng ¥m C : Tr÷íng ¡ sè phù N : Tªp ¡ sè tü nhi¶n K : R ho° C Rn : Khæng gian thü n hi·u Cn : Khæng gian phù n hi·u Mt (R) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû tr¶n R Mt (C) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû tr¶n C St (R) : V nh ¡ ma trªn èi xùng §p t trong Mt (R) X : bë n bi¸n (X1 , ..., Xn ) Xα : X1α1 ...Xnαn , α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn C[z] : V nh a thù mët bi¸n z vîi h» sè phù R[X] : V nh a thù n bi¸n X = (X1 , ..., Xn ) vîi h» sè thü R(X) : Tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh a thù R[X] Mt (R[X]) : V nh ¡ ma trªn §p t vîi ¡ phn tû tr¶n R[X] St (R[X]) : V nh ¡ ma trªn èi xùng §p t trong Mt (R[X]) AT : Ma trªn huyºn và õa ma trªn A ∈ Mt (R[X]) A
Mð u Kþ hi»u K[X] := K[X1 , · · · , Xn ] l v nh ¡ a thù n bi¸n X1 , · · · , Xn vîi h» sè trong K. Kþ hi»u Mt (K), Mt (K[X]) ln l÷ñt l v nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû trong K v K[X]. Méi ma trªn A ∈ Mt (K[X]) ÷ñ gåi l mët ma trªn a thù ho° mët a thù ma trªn, bði v¼ nâ â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët a thù n ©n X1 , · · · , Xn vîi h» sè tr¶n Mt (K) nh÷ sau: Xd A= Aα X α , |α|=0 trong â, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn , |α| := α1 + · · · + αn , X α := X1α1 · · · Xnαn , Aα ∈ Mt (K), d l bª ao nh§t õa ¡ ìn thù trong A. Do â, º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt (K[X]) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn. èi t÷ñng nghi¶n ùu h½nh õa Luªn ¡n l ¡ a thù ma trªn, v èi vîi méi tr÷íng hñp õa sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m ¸n ¡ b i to¡n kh¡ nhau. Do â, º thuªn ti»n ho ng÷íi å , hóng tæi t¡ h v tr¼nh b y ¡ b i to¡n li¶n quan trong hai phn ri¶ng bi»t nh÷ sau. 1. C¡ a thù ma trªn mët bi¸n Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · li¶n quan ¸n ¡ a thù ma trªn mët bi¸n, tù l x²t ¡ a thù ma trªn â d¤ng P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 , trong â, z l bi¸n sè v Ai ∈ Mt (C), ∀i = 0, ..., d. C¡ a thù ma trªn mët bi¸n l sü mð rëng tü nhi¶n õa a thù ° tr÷ng λIt − A õa mët ma trªn A ∈ Mt (C), trong â It l ma trªn ìn và trong Mt (C). N¸u Ad 6= 0, th¼ P (z) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn bª d. Khi Ad = It , P (z) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn moni . N¸u tçn t¤i mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ct v λ ∈ C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ ÷ñ gåi l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v khi â x ÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ. Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa a thù ° tr÷ng det(P (z)). Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) ÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v ÷ñ gåi l phê õa a thù ma trªn P (z). 1
Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, a thù ° tr÷ng õa ma trªn A ∈ Mt (C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma trªn A. Do â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn. B i to¡n gi¡ trà ri¶ng a thù (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l t¼m mët gi¡ trà ri¶ng λ v mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ct sao ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hñp d = 1 hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng têng qu¡t Ax = λBx. Hìn núa, n¸u A1 = It th¼ hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng hu©n Ax = λx. B i to¡n gi¡ trà ri¶ng bª hai (Quadrati Eigenvalue Problem - QEP) t÷ìng ùng vîi tr÷íng hñp d = 2. a thù ma trªn mët bi¸n â nhi·u ùng döng trong ¡ l¾nh vü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, ì hå v lþ thuy¸t rung, gi£i t½ h sè, ... M° dò tm quan trång õa a thù ma trªn l kh¡ rã r ng nh÷ng ¡ t i li»u v· ¤i sè tuy¸n t½nh v lþ thuy¸t ma trªn · ªp v· nâ khæng nhi·u. Hai æng tr¼nh u ti¶n vi¸t y õ nh§t v· a thù ma trªn l õa Frazer, Dun an v Collar [15℄ n«m 1955 v Lan aster [26℄ n«m 1966. C£ hai ·u ph¡t triºn lþ thuy¸t a thù ma trªn thæng qua lþ thuy¸t õa h» rung. Chóng ta â thº g°p a thù ma trªn khi nghi¶n ùu h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ( â bª lîn hìn 1) vîi h» sè h¬ng, tù l h» â d¤ng d X i d Ai u(t) = 0. i=0 dt Vi» t¼m nghi»m ho h» d¤ng u(t) = x0 eλ0 t , vîi x0 , λ0 ë lªp vîi t, trü ti¸p d¨n ¸n b i to¡n gi¡ trà ri¶ng - v² tì ri¶ng õa a thù ma trªn. B¶n ¤nh â, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng QEP â nhi·u ùng döng v o khoa hå v kÿ thuªt. Mët têng quan v· nhúng ùng döng õa QEP ÷ñ tr¼nh b y trong uèn s¡ h õa Gohberg, Lan aster v Rodman [16℄, Hamarling, Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ ¢ ÷a ra nhúng thuªt to¡n º gi£i b i to¡n QEP. èi vîi b i to¡n PEP, â v i nghi¶n ùu v· h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ a thù ma trªn ÷ñ thi¸t lªp theo hu©n õa ¡ h» sè õa a thù ma trªn ¢ ho h¯ng h¤n nh÷ æng tr¼nh õa Higham v Tisseur [22℄. Tuy nhi¶n, 2
vi» t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ¡ a thù ma trªn (thªm h½ t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ma trªn væ h÷îng v t¼m nghi»m õa ¡ a thù mët bi¸n) l mët b i to¡n khâ. Câ mët ph÷ìng ph¡p l°p º t½nh ¡ gi¡ trà ri¶ng n y ÷ñ ÷a ra bði Simon ini v Perotti [52℄. Hìn núa, vi» t½nh gi£ phê õa ¡ a thù ma trªn trong [21℄ ung §p thæng tin v· phê, tù l , h¿ ra ¡ h°n ö thº º x¡ ành óng mët mi·n õa m°t ph¯ng phù hùa ¡ gi¡ trà ri¶ng â. V¼ th¸ vi» t¼m h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn mët bi¸n l mët vi» l m r§t â þ ngh¾a. B i to¡n u ti¶n m hóng tæi tªp trung nghi¶n ùu trong Luªn ¡n nh÷ sau. B i to¡n 1. Cho P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 l mët a thù ma trªn. Ch¿ ra ¡ sè m v M "õ tèt" sao ho m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)), tù l h¿ ra ¡ h°n "õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa P (z). Trong tr÷íng hñp t = 1, tù l tr÷íng hñp õa ¡ a thù mët bi¸n vîi h» sè phù , B i to¡n n y ¢ ÷ñ nghi¶n ùu bði nhi·u nh to¡n hå , â thº kº ra ¥y ¡ k¸t qu£ õa Cau hy [31, 33℄, Enestr om v Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt v Govil [8℄, ... 1 º þ r¬ng n¸u Ad l mët ma trªn suy bi¸n, th¼ a thù z P d â mët gi¡ trà ri¶ng z b¬ng 0, v n¸u A0 l mët ma trªn suy bi¸n th¼ 0 l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z). Do â, trong Luªn ¡n n y hóng tæi luæn x²t nhúng a thù ma trªn vîi ¡ h» sè Ad v A0 khæng suy bi¸n, º tø â t¼m mët h°n tr¶n v mët h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng λ. Trong tr÷íng hñp t > 1, vi» t¼m ¡ h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn P (z) theo hu©n (to¡n tû) õa ¡ ma trªn h» sè ¢ ÷ñ thü hi»n v tr¼nh b y trong b i b¡o õa Higham v Tisseur [22℄. Mö ½ h h½nh u ti¶n õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 1, ÷a ra ¡ h°n mîi "õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn, tø â so s¡nh vîi ¡ h°n ÷ñ ÷a ra bði Higham v Tisseur. 2. C¡ a thù ma trªn nhi·u bi¸n Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · li¶n quan ¸n ¡ a thù ma trªn â sè bi¸n lîn hìn 1. Tr÷î ti¶n, x²t tr÷íng hñp t = 1, tù l x²t ¡ a thù â sè bi¸n lîn hìn mët. Cho f ∈ R[X] := R[X1 , ..., Xn ], G = {g1 , ..., gm } ⊆ R[X]. Kþ hi»u ( n ) X X R[X]2 = fi2 |fi ∈ R[X], n ∈ N , i=1 3
tªp hñp ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ a thù trong R[X]; KG = {x ∈ Rn |g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0}, tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn x¡ ành bði G; m X X MG = {t0 + ti gi |ti ∈ R[X]2 , i = 0, ..., m}, i=1 mæun bª hai nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G; X X TG = { tσ g1σ1 ...gm σm |tσ ∈ R[X]2 }, σ=(σ1 ,...,σm )∈{0,1}m ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G. P Chó þ MG ⊆ TG , v khi G = ∅ ta â K∅ = Rn , M∅ = T∅ = R[X]2 . D¹ th§y n¸u f ∈ TG (hay MG ) th¼ f ≥ 0 tr¶n KG . Do â, mët ¥u häi tü nhi¶n °t ra l hi·u ng÷ñ l¤i õa i·u n y â óng khæng? Tù l , f ≥ 0 tr¶n KG =⇒ f ∈ TG (hay MG )? N¸u ¥u tr£ líi l óng, hóng ta â ÷ñ mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstellensatz), hay ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstellensatz). Trong mët sè t i li»u ( h¯ng h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do â, trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (ành lþ biºu di¹n d÷ìng). Trong tr÷íng hñp ° bi»t, G = ∅, ta â ¥u häi: X f ≥ 0 tr¶n Rn =⇒ f ∈ R[X]2 ? C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y ÷ñ ÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng ¥u häi tr¶n h¿ óng trong ba tr÷íng hñp ° bi»t õa sè bi¸n v bª õa f . Sau â, t¤i ¤i hëi To¡n hå th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert ¢ ÷a ra mët danh s¡ h gçm 23 "B i to¡n th¸ k", trong sè â, B i to¡n thù 17 trong danh s¡ h n y ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: B i to¡n thù 17 õa Hilbert: Cho f ∈ R[X]. Kþ hi»u R(X) l tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh a thù R[X]. Kþ hi»u ( k ) X X fi 2 R(X)2 = |k ∈ N, fi , gi ∈ R[X], gi 6= 0, i = 1, · · · , k . i=1 gi 4
P N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn , â suy ra ÷ñ hay khæng f ∈ R(X)2 ? Mët sè v§n · li¶n quan ¸n vi» biºu di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng ( õa a thù , ph¥n thù ) v B i to¡n thù 17 õa Hilbert ÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.2.1. Vi» nghi¶n ùu ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng âng vai trá quan trång trong b i to¡n tèi ÷u a thù v b i to¡n mæmen. Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u a thù l b i to¡n t¼m f ∗ = inf f (x), (0.1) x∈KG vîi f ∈ R[X], G v KG x¡ ành nh÷ tr¶n. Trong tr÷íng hñp G = ∅, KG = Rn , b i to¡n tr¶n ÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u a thù khæng r ng buë . B i to¡n tèi ÷u a thù ÷ñ nhi·u nh nghi¶n ùu quan t¥m tø ¡ l¾nh vü kh¡ nhau nh÷ ¤i sè thü , quy ho¤ h nûa x¡ ành v lþ thuy¸t to¡n tû. Shor [51℄ l ng÷íi u ti¶n ¡p döng mët kÿ thuªt tèi ÷u lçi º ü tiºu mët a thù nhi·u bi¸n khæng r ng buë . Nesterov [36℄ ¢ h¿ ra ° t½nh õa nân mæmen bði ¡ r ng buë nûa x¡ ành trong tr÷íng hñp ¡ phn tû õa nân t÷ìng ùng l ¡ a thù khæng ¥m â thº vi¸t ÷ñ th nh têng ¡ b¼nh ph÷ìng a thù . Trong né lü gi£m bît a thù nhi·u bi¸n, Lasserre [27℄ l ng÷íi u ti¶n ¢ ¡p döng ¡ k¸t qu£ ¤i sè thü gn ¥y õa Putinar [39℄ º thi¸t lªp mët d¢y ¡ nîi läng hëi tö ¸n gi¡ trà tèi ÷u õa mët b i to¡n tèi ÷u a thù . Sau ¥y hóng tæi minh håa rã hìn v· ùng döng õa ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi ÷u a thù (xem, h¯ng h¤n, [28℄). Biºu thù (0.1) â thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng f ∗ = inf f (x) = sup{λ|λ ≤ f (x), x ∈ KG } x∈KG = sup{λ|f (x) − λ ≥ 0, x ∈ KG } = sup{λ|f (x) − λ > 0, x ∈ KG }. Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗ ÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f − λ khæng ¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG . º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l thay th¸ i·u ki»n khæng ¥m bði mët i·u ki»n n o â ìn gi£n hìn, trong â â hùa ¡ têng b¼nh ph÷ìng, º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ ành (SDP). Vîi þ t÷ðng â, mët trong nhúng ¡ h º nîi läng i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n KG " l x²t biºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng m X f − λ = t0 + ti gi , i=1 P trong â ti ∈ R[X] . Tù l , nîi läng i·u ki»n "f −λ ≥ 0 tr¶n KG " th nh "f −λ ∈ MG ". 2 5
i·u n y d¨n ¸n vi» x²t b i to¡n f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG }. (0.2) Rã r ng, n¸u f − λ ∈ MG th¼ f − λ ≥ 0 tr¶n KG . Do â f sos,G ≤ f ∗ . Hìn núa, n¸u ta â mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù f − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗ . Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,G khæng d¨n ¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ ành, bði v¼ hóng ta khæng h°n ÷ñ bª õa ¡ a thù ti trong biºu di¹n õa f − λ. º nhªn ÷ñ mët Quy ho¤ h nûa x¡ ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi 2k ≥ max{deg(f ), deg(g1 ), . . . , deg(gm )}. X²t b i to¡n m X X fksos,G = sup{λ|f − λ = t0 + ti gi , ti ∈ R[X]2 , deg(t0 ), deg(ti gi ) ≤ 2k}. (0.3) i=1 Khi â fksos,G ÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ ành. Hìn núa, sos,G fksos,G ≤ fk+1 ≤ f sos,G ≤ f ∗ v lim fksos,G = f sos,G . k→∞ Ti¸p theo hóng tæi giîi thi»u vai trá õa ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n mæmen. D¤ng thù nh§t õa b i to¡n mæmen ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau. B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l mët tªp on âng trong Rn . Cho L : R[X1 , ..., Xn ] → R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Häi li»u â tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1 , ..., Xn ], Z L(f ) = f dµ? K Haviland (1935, [20℄) ¢ ÷a ra mët i·u ki»n n v õ ho sü tçn t¤i õa ë o d÷ìng µ, ö thº nh÷ sau. ành lþ 1 (Haviland, [20℄). i·u ki»n n v õ º tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1 , ..., Xn ] ta â Z L(f ) = f dµ K l L(f ) ≥ 0 vîi måi f ≥ 0 tr¶n K . 6
èi vîi ¡ tªp tªp on âng trong Rn â d¤ng K = KG , vîi G l mët tªp on húu h¤n n o â trong v nh a thù R[X], mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau. B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g1 , ..., gm } ⊆ R[X]; KG , TG ÷ñ ành ngh¾a nh÷ tr¶n. N¸u L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ TG th¼ â tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ â gi¡ hùa trong KG sao ho Z L(f ) = f dµ KG vîi måi f ∈ R[X] hay khæng? Chó þ r¬ng vîi f ∈ TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG . Do â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi nhau (qua ành lþ Haviland). Ng÷íi å â thº xem th¶m v· ùng döng õa ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng º gi£i quy¸t ¡ b i to¡n mæmen trong ¡ t i li»u [28℄, [17℄. C¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù ¢ nhªn ÷ñ nhi·u sü quan t¥m õa ¡ nh to¡n hå . Krivine (1964) v Stengle (1974) [25, 54℄ ¢ ÷a ra biºu di¹n " â m¨u thù " ho ¡ a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng ì b£n. Vi» t¼m ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng "khæng m¨u thù " hi»n v¨n ang thu hót sü quan t¥m õa nhi·u ng÷íi. N«m 1991, vîi vi» t¼m líi gi£i ho B i to¡n mæmen b¬ng æng ö Gi£i t½ h h m, S hm udgen [46℄ ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp ompa t. Cö thº, udgen kh¯ng ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n KG v KG l tªp ompa t th¼ f ∈ TG . S hm Mët tr÷íng hñp ° bi»t õa ành lþ S hmudgen ÷ñ ÷a ra tr÷î â bði Handelman [19℄, biºu di¹n ¡ a thù d÷ìng tr¶n mët a di»n lçi, ompa t. Vi» ÷a ra mët i·u ki»n º £m b£o ¡ a thù d÷ìng tr¶n KG thuë v o MG khâ hìn so vîi thuë v o TG . Mët i·u ki»n nh÷ th¸ ÷ñ Putinar [39℄ ÷a ra n«m 1993, vîi i·u ki»n a simet õa mæun bª hai MG . Nh l¤i, mët mæun bª hai M trong v nh a thù R[X] ÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k ∈ N sao ho k−(X12 +...+Xn2) ∈ M . ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: Gi£ sû MG a simet. Khi â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ MG . Chó þ r¬ng, MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet t÷ìng ÷ìng vîi KG ompa t. Hìn núa, n¸u f â nghi»m trong KG th¼ ¡ ành lþ õa S hm udgen v Putinar â thº khæng án óng. Do â, S heiderer [42, 43℄ ¢ ÷a ra mët ti¶u hu©n Hessian º 7
£m b£o ho ¡ a thù khæng ¥m (tù l â nghi»m) tr¶n KG thuë v o TG (t÷ìng ùng, MG ) vîi i·u ki»n KG ompa t (t÷ìng ùng, MG a simet). Biºu di¹n ¡ a thù d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp on khæng ompa t trong Rn khâ hìn nhi·u. Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû f ∈ R[X] bà h°n tr¶n KG , v f h¿ â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong KG v to n bë ·u d÷ìng. Khi â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ TG . Nh l¤i r¬ng, tªp hñp R∞ (f, KG ) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG , xk → ∞(k → ∞), f (xk ) → y} l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f . Pâlya [37℄ â k¸t qu£ sau ¥y, biºu di¹n ¡ a thù d÷ìng tr¶n Rn+ \ {0}, trong â Rn+ = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0}: Cho f l mët a thù thun nh§t. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N n N P õ lîn sao ho a thù Xi f â t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng ·u d÷ìng. i=1 N«m 1995, Rezni k ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng biºu di¹n th nh têng ¡ b¼nh ph÷ìng ho ¡ a thù thun nh§t d÷ìng tr¶n Rn \ {0}. ành lþ Rezni k nâi r¬ng: Cho f l mët a thù thun nh§t bª h®n vîi f (x) > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}. Khi â, tçn t¤i n P 2 N P mët sè tü nhi¶n N õ lîn sao ho Xi f ∈ R[X]2 . i=1 Têng qu¡t ho k¸t qu£ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40℄ ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn . Gn ¥y, n«m 2015, Di kinson v Povh [10℄ ¢ k¸t hñp ành lþ Pâlya v ành lþ Putinar-Vasiles u º ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n ho ¡ a thù d÷ìng tr¶n mët tªp on nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn . Chi ti¸t ho ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng n y ÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.2.2 õa Luªn ¡n. Sau ¥y hóng tæi · ªp mët sè v§n · li¶n quan ¸n tr÷íng hñp t > 1, x²t biºu di¹n õa ¡ a thù ma trªn x¡ ành d÷ìng (t÷ìng ùng, nûa x¡ ành d÷ìng) tr¶n mët tªp on õa Rn . Kþ hi»u St (R[X]) l tªp hñp ¡ a thù ma trªn èi xùng §p t trong Mt (R[X]). Vîi méi F ∈ St (R[X]) v G = {G1 , ..., Gm } ⊆ St (R[X]), kþ hi»u KG := {x ∈ Rn |Gi (x)< 0, i = 1, ..., m}, tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn x¡ ành bði G . 8
¥y, vîi méi a thù ma trªn G ∈ St (R[X]) v vîi méi x ∈ Rn , G(x)< 0 ÷ñ dòng º kþ hi»u ho ma trªn G(x) l nûa x¡ ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈ Rt , v T G(x)v ≥ 0. Kþ hi»u G(x) ≻ 0 ÷ñ hiºu l ma trªn G(x) l x¡ ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈ Rt \ {0}, v T G(x)v > 0. Kþ hi»u X MG := { ATij Gi Aij |Gi ∈ G ∪ {It }, Aij ∈ Mt (R[X])}, i,j mæun bª hai nhä nh§t tr¶n Mt (R[X]) hùa G . Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ ÷ñ kþ hi»u bði TG . Trong tr÷íng hñp G = ∅, P t R[X] := M∅ = T∅ l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng phn tû â d¤ng A A, T trong â A ∈ Mt (R[X]), v nâ l mæun bª hai nhä nh§t trong Mt (R[X]). Rã r ng, n¸u F ∈ TG ho° MG th¼ F < 0 tr¶n KG . V§n · h½nh ti¸p theo hóng tæi quan t¥m trong Luªn ¡n nh÷ sau B i to¡n 2. Cho F ∈ St (R[X]), G = {G1 , ..., Gm } ⊆ St (R[X]). Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n KG . Vîi i·u ki»n n o th¼ F ∈ TG ho° F ∈ MG . Li¶n quan ¸n b i to¡n n y, S herer v Hol [44℄ ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu di¹n ¡ a thù ma trªn x¡ ành d÷ìng tr¶n ∆n ng nh÷ ¡ a thù ma trªn x¡ ành d÷ìng tr¶n KG m MG a simet ho ành lþ Pâlya v ành lþ Putinar; trong â P n ∆n = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn |xi ≥ 0, xi = 1}. i=1 Cimpri [6℄ ÷a ra d¤ng ma trªn ho ành lþ Krivine-Stengle; Cimpri v Zalar [7℄ ¢ nghi¶n ùu b i to¡n mæmen ho ¡ a thù to¡n tû v hå ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn ho ành lþ S hm udgen; L¶ Cæng Tr¼nh [29℄ ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Krivine-Stengle, S hweighofer, S heiderer,... Chi ti¸t ho ¡ k¸t qu£ n y ÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.4 õa Ch÷ìng 1. D¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya [37℄ âng mët vai trá quan trång trong lþ thuy¸t i·u khiºn. Hu h¸t ¡ b i to¡n i·u khiºn tuy¸n t½nh ·u d¨n ¸n ¡ b§t ¯ng thù ma trªn. R§t nhi·u trong sè ¡ b i to¡n n y â thº gi£i ÷ñ khi ¡ b§t ¯ng thù ma trªn l tuy¸n t½nh. Rã hìn, mët b§t ¯ng thù ma trªn tuy¸n t½nh (Linear Matrix Inequality - LMI) â d¤ng L(X) := A0 + A1 X1 + ... + An Xn ≻ 0, (0.4) trong â X = (X1 , ..., Xn ) l n bi¸n thü v A0 , A1 , ..., An ∈ Sn (R) l ¡ ma trªn èi xùng ho tr÷î . B§t ¯ng thù (0.4) h¿ ra L(x) x¡ ành d÷ìng, tù l , v T L(x)v > 0, ∀ v ∈ 9
Rn \ {0}. Khi â, mi·n x¡ ành õa LMI l G := {x ∈ Rn |L(x) ≻ 0}. ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho a thù ma trªn [44℄ kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû F l mët a thù ma trªn èi xùng thun nh§t bª d. N¸u F ≻ 0 tr¶n △n th¼ tçn t¤i sè tü nhi¶n N sao ho X (X1 + · · · + Xn )N F = Aα X α , |α|≤N +d trong â, Aα l ¡ ma trªn nûa x¡ ành d÷ìng, X α = X1α1 ...Xnαn . º rã hìn v· ¡ ùng döng n y, â thº xem hi ti¸t trong b i b¡o õa S herer v Hol [44℄. Mö ½ h h½nh ti¸p theo õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 2, ÷a ra d¤ng ma trªn ho ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh v Handelman. Ngo i Mö lö , Danh mö ¡ kþ hi»u, Líi mð u, Danh s¡ h ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan ¸n Luªn ¡n, T i li»u tham kh£o v K¸t luªn, nëi dung h½nh õa Luªn ¡n ÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong ba h÷ìng. Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi ung §p nhúng kh¡i ni»m v k¸t qu£ ì b£n ÷ñ sû döng trong Luªn ¡n gçm: Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ a thù mët bi¸n, B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng, B i to¡n mæmen v B i to¡n tèi ÷u a thù , d¤ng ma trªn ho mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng. Cuèi h÷ìng hóng tæi ÷a ra k¸t qu£ mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa nâ. Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi ÷a ra mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn. Cö thº, hóng tæi ¢ ÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho ành lþ Enestr om-Kakeya ( ¡ ành lþ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). Mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ ành lþ d¤ng Cau hy ng ÷ñ hóng tæi ÷a ra trong ¡ ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17. Cuèi h÷ìng, trong Mö 2.3, hóng tæi tr¼nh b y b£ng so s¡nh ¡ h°n ¢ ¤t ÷ñ trong h÷ìng n y vîi ¡ h°n ÷ñ ÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ tr¶n òng v½ dö v phn m·m t½nh to¡n. Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ùu ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ a thù ma trªn. Cö thº, hóng tæi ÷a ra d¤ng ma trªn ho ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u, Rezni k, Di kinson-Povh v Handelman. Ri¶ng èi vîi d¤ng ma trªn ho ành lþ Handelman, hóng tæi ÷a ra mët thõ tö º t¼m biºu di¹n ho mët a thù ma trªn x¡ ành d÷ìng tr¶n mët a di»n ompa t, lçi trong Rn . 10
C¡ k¸t qu£ h½nh õa Luªn ¡n ÷ñ hóng tæi æng bè trong ¡ b i b¡o [12, 30℄, ti·n §n ph©m [13℄ v ¢ ÷ñ b¡o ¡o t¤i: • Hëi th£o To¡n hå Mi·n Trung-T¥y Nguy¶n ln I, Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, B¼nh ành, 12-14/08/2015; • Hëi th£o què t¸ The 6th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli- ations (ICMAA), Tr÷íng ¤i hå Duy T¥n, N®ng, 15-18/06/2017; • Hëi th£o què t¸ String-Math 2018, Tr÷íng ¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n, 18-22/06/2018; • Hëi th£o què t¸ The 7th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli a- tions (ICMAA 2018), Tr÷íng ¤i hå Shinshu, Nagano, Nhªt B£n, 22-25/06/2018; • Seminar Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, B¼nh ành; • ¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam ln thù IX, Tr÷íng ¤i hå Thæng tin Li¶n l¤ , 14- 18/08/2018. B¼nh ành, th¡ng 11 n«m 2018 T¡ gi£ D÷ Thà Háa B¼nh 11
Ch÷ìng 1 Mët sè k¸t qu£ hu©n bà Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ hu©n bà ho ¡ h÷ìng án l¤i õa Luªn ¡n. Sü ph¥n bè nghi»m õa a thù mët bi¸n nh÷ ành lþ Cau hy [31, 33℄ v mët sè ành lþ d¤ng Cau hy, ành lþ Enestr om-Kakeya [53, Corollary 3℄ ÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.1. Chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè ành ngh¾a ì b£n trong H¼nh hå ¤i sè thü , ÷ñ tr½ h d¨n tø ¡ æng tr¼nh õa S hm udgen [45, 47, 48℄, Cimpri [5, 6℄ v Marshall [32℄ trong Mö 1.2. ¥y hóng tæi ng tr¼nh b y mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù . Mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù ma trªn ÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.4. Ùng döng õa ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong B i to¡n tèi ÷u a thù v B i to¡n mæmen s³ ÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.3. Cuèi h÷ìng hóng tæi ÷a ra mët sè k¸t qu£ mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa nâ. 1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ a thù mët bi¸n B i to¡n t¼m nghi»m õa ¡ a thù mët bi¸n l mët trong nhúng b i to¡n ì b£n õa ¤i sè. Tuy nhi¶n vi» t¼m h½nh x¡ nghi»m õa a thù mët bi¸n khæng ph£i ló n o ng d¹ d ng. Do â, thay v¼ t¼m nghi»m õa a thù , hóng ta t¼m mi·n hùa ¡ nghi»m õa nâ. èi vîi ¡ a thù h» sè thü , ta â ¡ d¤ng t÷ìng ÷ìng sau ¥y õa ành lþ Enestr om-Kakeya. ành lþ 1.1.1 (Enestrom-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄). Cho f (z) l mët a thù bª d f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 , ai ∈ R, ∀i = 0, ..., d. 12