Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông - Sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông - Sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp; vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa Toán trung học phổ thông; đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông - Sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Văn Ngọc Thảo Quyên KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Văn Ngọc Thảo Quyên KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập dưới sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014 TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên
LỜI CẢM ƠN Người đầu tiên Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đó là Thầy Khanh. Tôi xin phép được gọi Thầy là Thầy Khanh thay vì TS. Trần Lương Công Khanh nhằm bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Thầy là người đã hướng dẫn tận tình và giúp đỡ tôi rất nhiều, luôn theo sát để Tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu cùng các em học sinh trường THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi thực hiện thực nghiệm trong luận văn. Cuối cùng, Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học. TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014 TÁC GIẢ Văn Ngọc Thảo Quyên
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP ......................................................... 4 1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor.................................... 4 1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn ............................................................................. 5 1.1.2. Giả thuyết continuum ................................................................................... 7 1.1.3. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor ........................................ 8 1.2. Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell .................................................. 12 1.2.1. Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel .................................................. 12 1.2.2. Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp......................... 13 1.2.3. Lý thuyết kiểu ............................................................................................. 14 1.3. Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ......................................................... 15 1.3.1. Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki ................................... 15 1.3.2. Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ................................ 16 Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 17 Chương 2. VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .............................................................................................. 18 2.1. Phân tích sách Đại số 10 cơ bản......................................................................... 18 2.1.1. Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa ............................... 18 2.1.2. Tập hợp - đối tượng dạy học trong chương trình Toán THPT ................... 19
2.2. Khảo sát chương trình Toán THPT ban cơ bản hiện hành................................. 29 2.2.1. Hàm số và đồ thị ......................................................................................... 30 2.2.2. Phương trình và bất phương trình_hệ phương trình và hệ bất phương trình ............................................................................................................ 33 2.2.3. Đại số tổ hợp ............................................................................................... 34 2.2.4. Xác suất và thống kê ................................................................................... 36 2.2.5. Hình học...................................................................................................... 39 Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 41 Chương 3. ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG ........................ 43 3.1. Độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp. ........................... 43 3.1.1. Kết quả chương 1. ....................................................................................... 43 3.1.2. Kết quả chương 2. ....................................................................................... 44 3.1.3. Chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. ............................................ 44 3.2. Nghiên cứu thực nghiệm .................................................................................... 46 3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................... 46 3.2.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................... 46 3.2.3. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực nghiệm........................................................................................................ 46 Kết luận chương 3 ..................................................................................................... 66 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 69 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông KNV : Kiểu nhiệm vụ Tr. : Trang Nxb : Nhà xuất bản PT : Phương trình HPT : Hệ phương trình BPT : Bất phương trình HBPT : Hệ bất phương trình
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1. ................................................... 27 Bảng 2.2. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 .................................. 28 Bảng 2.3. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T8 và T9 .................................. 36 Bảng 2.4. Ngôn ngữ biến cố..................................................................................... 37 Bảng 3.1. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 1 ............................................. 51 Bảng 3.2. Kết quả về số lượng học sinh chọn chiến lược giải ................................. 52 Bảng 3.3. Bảng lựa chọn các giá trị của các biến dạy học trong bài 2. ................... 54 Bảng 3.4. Số lượng học sinh chọn theo 2 bạn và các giải thích thường gặp ........... 56 Bảng 3.5. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 3 ............................................. 60 Bảng 3.6. Thống kê số lượng học sinh chọn các chiến lược giải............................. 62
1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận và câu hỏi ban đầu Tập hợp được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông ngay từ lớp 10. Hơn thế nữa, tập hợp lại được giới thiệu ngay ở chương I của sách giáo khoa Đại số 10. Bên cạnh đó, tập hợp được sử dụng để định nghĩa nhiều khái niệm trong chương trình như: Đồ thị hàm số; Phương trình tương đương; Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị; Quỹ tích… Các phép toán tập hợp lại được vận dụng triệt để trong việc giải bất phương trình, hệ bất phương trình “ Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm” [5, tr.10]. Từ những ghi nhận trên đã dẫn chúng tôi đến câu hỏi sau: Sự nối khớp giữa vai trò đối tượng và vai trò công cụ của tập hợp được thể hiện như thế nào trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở trung học phổ thông? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong phạm vi của Didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học và hợp đồng Didactic. Trong đó, thuyết nhân học giúp chúng tôi hình thành các mối quan hệ của thể chế đối với tri thức tập hợp, các bước chuyển hóa sư phạm trong việc dạy học tập hợp và các tổ chức toán học (praxéologie) được trình bày trong chương trình toán trung học phổ thông. Qua phân tích thể chế, chúng tôi có thể tìm ra những ràng buộc cũng như qui tắc hợp đồng tồn tại trong chương trình. 3. Mục đích nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu luận văn này nhằm mục đích là: chỉ ra sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở bậc trung học phổ thông. Dựa vào khung lý thuyết tham chiếu chúng tôi đặt ra hai câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau như thế nào? Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?
2 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm: Mở đầu Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán THPT. Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng. Kết luận. 5. Phương pháp nghiên cứu Toàn bộ nghiên cứu của chúng tôi thực hiện theo sơ đồ sau: Khảo sát khoa học luận Trả lời câu hỏi Phát biểu giả thuyết Phân tích thể chế Thực nghiệm Giải thích sơ đồ: Chúng tôi thực hiện khảo sát khoa học luận đối chiếu song song với phân tích thể chế chương trình toán trung học phổ thông. Từ việc phân tích đối chiếu này giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra và phát biểu giả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng thực nghiệm giúp chúng tôi bổ sung trả lời các câu hỏi, cũng như việc khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nghiên cứu ban đầu. 6. Phương hướng thực hiện Dựa vào phương pháp nghiên cứu, chúng tôi định hướng nội dung của từng chương như sau: Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp - Lịch sử hình thành lý thuyết tập hợp của Cantor và sự xuất hiện và ảnh hưởng
3 của các nghịch lý đến lý thuyết này. - Việc giải quyết các nghịch lý để hoàn thiện lý thuyết tập hợp. - Những lĩnh vực toán học có sự hiện diện của lý thuyết tập hợp. Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán THPT. - Mục đích đưa vào khái niệm tập hợp. - Việc xây dựng khái niệm tập hợp trong sách giáo khoa, những qui ước để tránh các nghịch lý. - Những khái niệm được xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp. - Những kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ khái niệm tập hợp. Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng. - Trả lời các câu hỏi: Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau như thế nào? Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa? - Thực nghiệm. PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
4 Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP Chương này trình bày kết quả khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp dựa trên các tài liệu lịch sử toán học và các chuyên luận toán học. Kết quả thu được trong chương này và chương 2 sẽ được đối chiếu trong chương 3 để xác định độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. Nghiên cứu trong chương này được định hướng bằng hai nhóm câu hỏi dưới đây: Lý thuyết tập hợp ra đời nhằm giải quyết vấn đề gì? Quá trình hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp đã gặp những chướng ngại khoa học luận nào? Các nhà toán học đã giải quyết những chướng ngại đó bằng cách nào? Ngày nay, lý thuyết tập hợp được sử dụng trong những lĩnh vực toán học nào ? Vai trò của lý thuyết tập hợp trong mỗi lĩnh vực toán học đó? Các tài liệu tham chiếu chính của chương này là: - Bourbaki N. (1970), Éléments de mathématiques, Livre I, Théorie des ensembles, Éditions Hermann, nouvelle édition, Paris. - Dahan-Dalmendico A., Peiffer J. (1986), Une histoire des mathématiques, routes et dédales, Éditions du Seuil. - Phan Đình Diệu (2006), Logich toán & cơ sở toán học, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội. - Trần Lương Công Khanh (2013), Lịch sử lý thuyết tập hợp, bài giảng dành cho học viên cao học Trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu lưu hành nội bộ. 1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor Theo mục từ Set and set theory của trang web Earliest Known Uses of Some of
5 the Words of Mathematics 1, tên gọi naive set theory ra đời từ những năm 1940 và được dùng phổ biến trong các nước nói tiếng Anh. Tên gọi tương đương trong tiếng Pháp (théorie naïve des ensembles) xuất hiện sớm nhất ở lời nói đầu quyển Théorie axiomatique des ensembles của Jean-Louis Krivine, xuất bản năm 1972. Một số nhà nghiên cứu xem lý thuyết tập hợp ngây thơ là lý thuyết tập hợp được xây dựng và phát triển bởi Cantor, không sử dụng các tiên đề tường minh. Một số khác, chẳng hạn Paul Hamos (1916-2006) trong Naive Set Theory xuất bản năm 1960, xem lý thuyết tập hợp có trang bị hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel là ngây thơ. Trong luận văn này, chúng tôi tránh dùng thuật ngữ lý thuyết tập hợp ngây thơ vì nội hàm của nó chưa được các nhà toán học thống nhất. 1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn: động lực ra đời lý thuyết tập hợp Trước Cantor, tập hợp là một quan niệm cơ bản, được sử dụng ngầm ẩn từ thời Aristote (384-322 trước Thiên Chúa 2). Trong Cơ bản, quyển 9, mệnh đề 20, Euclide từng phát biểu và chứng minh mệnh đề về sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Tuy nhiên, nếu các tập hữu hạn được các nhà khoa học cổ đại chấp nhận dễ dàng thì các tập vô hạn lại là đề tài của nhiều tranh luận triết học. Mặc dù là thành quả của nhiều thế hệ nhà nghiên cứu, lịch sử toán học xem Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor 3 (1845-1918) là người đặt nền móng cho lý thuyết tập hợp từ năm 1874. Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác vào thập niên 1870 đưa Cantor đến khái niệm tập dẫn xuất của một tập số. Cho X là tập các số thực nào đó. Tập dẫn xuất X’ của X là tập có được từ X sau khi đã loại đi các điểm cô lập. Chẳng hạn, nếu X = {1/n, n ∈ N*} ∪ {0} thì các điểm 1/n là cô lập trong X nên X’ = {0}. Ta cũng có thể xét tập dẫn xuất của X’ - ký hiệu X” - và thu được X” = ∅. 1 Địa chỉ http://jeff560.tripod.com/s.html, truy cập ngày 31/3/2014. 2 Chúng tôi dùng trước Thiên Chúa, sau Thiên Chúa mà không dùng trước Công nguyên, sau Công nguyên vì chúng ta đang sống trong Công nguyên. 3 Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor sinh ngày 3-3-1845 tại Saint-Péterbourg (Nga), mất ngày 6-1-1918 tại Halle (Đức), quốc tịch Đức.
6 Lặp lại tiến trình này, ta có thể xây dựng một tập X các số thực có thể lấy dẫn xuất vô hạn lần. Nếu ký hiệu X(n) là tập dẫn xuất cấp n của X thì các X(n) tạo thành một dãy các tập giảm (theo quan hệ bao hàm). Tập dẫn xuất cấp vô hạn của X - ký hiệu X(∞) - là giao của tất cả các X(n). Cantor phát hiện sự tồn tại của các tập số thực X mà X(∞) còn chứa các điểm cô lập, do đó còn lấy dẫn xuất được. Có những tập có thể lấy dẫn xuất cấp ∞ + 1, ∞ + 2, ..., cấp ∞ + ∞. Dường như tồn tại những phép tính số học trên các vô hạn. Dựa vào điều này, Cantor xây dựng và phát triển lý thuyết tập hợp. […] các bản số vô hạn được ký hiệu bằng chữ cái Hébreu ℵ (alep) có chỉ số. Bản số vô hạn nhỏ nhất - bản số của tập N các số tự nhiên - được ký hiệu là ℵ 0 (alep không). Bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ 0 được ký hiệu là ℵ 1 . Một cách tổng quát, một bản số bất kỳ có thể viết dưới dạng ℵ α với α là một số thứ tự. Năm 1874, Cantor chứng minh được card N = ℵ 0 < 2ℵ = card R [10, tr.2]. 0 Việc Cantor chứng minh tập các số thực có “nhiều” phần tử hơn tập các số tự nhiên cho thấy “số phần tử” (tức bản số) của các tập vô hạn không hoàn toàn giống nhau. Điều này đưa Cantor đến việc xây dựng khái niệm tương ứng một-một để định nghĩa tập hữu hạn, tập vô hạn 4. Riêng tập vô hạn lại được ông chia thành tập đếm được và tập không đếm được 5. Ông còn chứng minh tập các bản số vô hạn là một tập vô hạn, nghĩa là có vô hạn tập vô hạn. Kết quả trên giúp chúng tôi rút ra những nhận xét sau: - Quan niệm về tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn đã xuất hiện ngầm ẩn từ thời cổ đại. Khi ấy, tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn là những đối tượng cận toán học (objets paramathématiques) vì có tên gọi nhưng chưa có định nghĩa. - Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor. 4 Theo Cantor, tập E gọi là hữu hạn nếu tồn tại một số tự nhiên n và một song ánh từ E đến tập các số tự nhiên nhỏ hơn n. Đặc biệt, khi n = 0, E là tập rỗng. Số n gọi là bản số của E, ký hiệu n = E (ký hiệu của chính Cantor) hoặc n = |E| hoặc n = card E. Tập không hữu hạn gọi là tập vô hạn. 5 Cantor định nghĩa tập đếm được là tập có cùng lực lượng với N, tập không đếm được là tập vô hạn không cùng lực lượng với N.
7 - Năm 1821, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) xuất bản Cours d'Analyse trong đó ông định nghĩa khái niệm giới hạn và dãy Cauchy - hai khái niệm chính cho phép định nghĩa số thực như giới hạn của dãy các số hữu tỷ. Năm 1872, Richard Dedekind (1831-1916) công bố bài báo Vorlesungen über Zahlentheorie (Tính liên tục và các số vô tỷ) liên quan đến việc định nghĩa số vô tỷ bằng nhát cắt. Năm 1874, Cantor bắt đầu nghiên cứu lực lượng của các tập vô hạn dựa trên các tính chất của số thực và giới hạn. Như vậy, quá trình xây dựng lý thuyết tập hợp của Cantor gắn bó mật thiết với những kiến thức về lý thuyết số và giải tích. 1.1.2. Giả thuyết continuum Cantor đã thu được kết quả card N = ℵ 0 < card R. Vì ℵ 1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ 0 nên ông có ngay hệ thức ℵ 0 < ℵ 1 ≤ card R. Hệ thức này dần dần đưa ông đến những suy xét và câu hỏi dưới đây: - Lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng continuum. - Giữa ℵ 0 và ℵ 1 không có bản số nào khác vì ℵ 1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ0. - Giữa ℵ 0 và card R có ℵ 1 nhưng vấn đề là ℵ 1 < card R hay ℵ 1 = card R? Nếu ℵ 1 < card R, ta có ℵ 0 < ℵ 1 < card R, nghĩa là tồn tại lực lượng ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng continuum. Nếu ℵ 1 = card R, ta có ℵ 0 < ℵ 1 = card R, nghĩa là không có lực lượng nào ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng continuum. Để trả lời câu hỏi đã đặt, Cantor đưa ra giả thuyết continuum nhưng không chứng minh hay bác bỏ được. Giả thuyết continuum khẳng định rằng ℵ 1 = 2ℵ , nghĩa là không có tập hợp 0 nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập N và nhỏ hơn lực lượng của tập R. Nói cách khác, có thể chuyển từ tập rời rạc (tập đếm được) sang tập liên tục chỉ bằng một bước nhảy. Đây cũng là nguồn gốc của tên gọi continuum. [...] Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ 2 tổ chức tại Paris năm 1900, Hilbert liệt kê 23 bài toán lớn mà thế kỷ 19 để lại cho thế kỷ 20, trong đó giả thuyết continuum đứng đầu danh sách.
8 Mãi đến năm 1938, Kurt Gödel 6 (1906-1978) mới chứng minh được rằng giả thuyết continuum là độc lập đối với hệ tiên đề ZFC 7 nên không thể bác bỏ giả thuyết continuum trong lý thuyết ZFC. Năm 1963, Paul Joseph Cohen 8 (1934-2007) sử dụng phương pháp forcing để chứng minh rằng không thể chứng minh giả thuyết continuum từ hệ tiên đề ZFC [10, tr.3]. Công trình của Gödel và Cohen không chứng minh hay bác bỏ giả thuyết continuum nên giả thuyết này vẫn là một trong những bài toán lớn cần giải quyết của thế kỷ 21. Các nhà toán học thế giới đang tiếp tục đi tìm một tiên đề bổ sung vào hệ tiên đề ZFC hoặc xây dựng một hệ tiên đề mới cho phép khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết continuum. 1.1.3. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor Theo Từ điển toán học thông dụng do GS Ngô Thúc Lanh chủ biên (2000), thuật ngữ nghịch lý được dùng để chỉ một kết quả đúng nhưng trái với trực giác thông thường (nghịch lý loại 1) hoặc một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2). Phần này đề cập đến một số nghịch lý loại 2 tiêu biểu (gọi tắt là nghịch lý) trong lý thuyết tập hợp của Cantor. Toán học hiện đại chia các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor thành hai nhóm lớn: các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập. 1.1.3.1. Các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa Trong số các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa, 6 Kurt Gödel là nhà toán học và lôgic học sinh ngày 28-4-1906 tại Áo-Hung, nhập quốc tịch Tiệp Khắc năm 1918, quốc tịch Áo năm 1929, quốc tịch Đức năm 1938 và quốc tịch Mỹ năm 1948, mất ngày 14-1-1978. Ông thường được xem là người Áo. Ngoài việc xây dựng lý thuyết hàm đệ quy và chứng minh tính đầy đủ của phép toán vị từ bậc nhất, Gödel còn chứng minh tính chặt chẽ tương đối của giả thuyết continuum, theo đó ta không thể bác bỏ giả thuyết continuum bằng các tiên đề đã được chấp nhận của lý thuyết tập hợp (giả định rằng các tiên đề này là chặt chẽ). Công trình nổi tiếng nhất của ông là định lý về tính không đầy đủ, theo đó bất kì một hệ tiên đề nào đủ mạnh để mô tả số học cũng chứa những mệnh đề về các số nguyên mà chúng ta không thể phủ định cũng không thể khẳng định nó từ những tiên đề của hệ. 7 Hệ tiên đề ZFC (tức hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel có bổ sung tiên đề chọn) là hệ tiên đề được Ernst Zermelo (1871-1953) và Abraham Fraenkel (1891-1965) xây dựng vào đầu thế kỷ 20 nhằm tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor , tránh các nghịch lý đã phát hiện trước đó. 8 Paul Joseph Cohen sinh ngày 2-4-1934 tại Long Branch (Mỹ), mất ngày 23-3-2007 tại Palo Alto (Mỹ), là nhà toán học Mỹ. Ông nổi tiếng vì đã chứng minh tính độc lập của giả thuyết continuum với hệ tiên đề ZFC bằng phương pháp forcing. Công trình này đem lại cho ông giải thưởng Field năm 1966.
9 chúng tôi chọn ra ba nghịch lý tiêu biểu để phân tích: nghịch lý Cantor, nghịch lý Richard và nghịch lý Berry. 1.1.3.1.1. Nghịch lý Cantor Nghịch lý Cantor được chính ông phát hiện năm 1899. Xét S là tập tất cả các tập hợp và P(S) là tập các tập con của S. Theo định lý Cantor 9, ta có card S < card P(S). Mặt khác, ánh xạ f : P(S) → S, E  f(E) = E là đơn ánh nên card P(S) ≤ card S. Ta thu được hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nhau. Để giải quyết mâu thuẫn, Cantor phân biệt “số nhiều phù hợp” với “số nhiều không phù hợp”. “Số nhiều phù hợp” có thể tham gia tạo thành tập hợp trong khi “số nhiều không phù hợp” (chẳng hạn tập hợp tất cả các tập hợp) là “vô hạn tuyệt đối” thuộc về thượng đế mà con người không thể hiểu được. Chúng tôi sẽ đề cập đến việc giải quyết nghịch lý Cantor khi trình bày về lý thuyết lớp trong mục 2.2 của chương này. 1.1.3.1.2. Nghịch lý Richard Nghịch lý này được Richard công bố năm 1905. Ông xét các chỉnh hợp lặp chập 2 của 26 chữ cái tiếng Pháp và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp này theo thứ tự từ điển. Một cách tương tự, ông tiếp tục xét và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp chập 3, 4, 5… của 26 chữ cái tiếng Pháp. Với k ≥ 2 cho trước, số chỉnh hợp lặp chập k của 26 là 26k. Tập hợp E các chỉnh hợp lặp chập k (k = 2, 3, 4…) của 26 chữ cái tiếng Pháp là tập đếm được. Bất kỳ một diễn đạt nào gồm hữu hạn từ tiếng Pháp đều tương ứng với duy nhất một phần tử của E. Ví dụ: Je vais à l'école (Tôi đến trường) tương ứng với phần tử jevaisalecole ∈ E. Đặc biệt, việc xác định một số thực bằng hữu hạn từ tương ứng với việc thiết lập một chỉnh hợp lặp chập k nào đó của 26 chữ cái tiếng Pháp. Gọi G là tập những phần tử của E tương ứng với việc xác định một số thực bằng hữu hạn từ, ta có G đếm được và được sắp thứ tự (với thứ tự của E thu hẹp trên G). Gọi u i là số thực được xác định từ phần tử thứ i của E. Tập G' = {u i | i 9 Được chứng minh năm 1891, định lý Cantor phát biểu rằng bản số của một tập bất kỳ luôn nhỏ hơn bản số của tập các tập con của nó.
10 ∈ N*} là tập đếm được gồm các số thực được xác định bằng hữu hạn từ. Ta xây dựng số thực N có cách viết trong hệ thập phân như sau: - Phần nguyên của N là 0; - Nếu chữ số thứ n trong phần thập phân của u n là p thì chữ số thứ n trong phần thập phân của N là p + 1 (khi p ≠ 8 và p ≠ 9) hoặc là 1 (khi p = 8 hoặc p = 9). Với mọi n ∈ N*, ta có N ≠ u n vì chúng có ít nhất chữ số thập phân thứ n khác nhau (cách xây dựng N cho phép tránh hai cách biểu diễn thập phân khác nhau của cùng một số thực, chẳng hạn 0,(9) = 1). Vậy N ∉ G'. Mặt khác, N được xác định bằng hữu hạn từ nên N ∈ G'. Ta thu được hai kết quả mâu thuẫn. Ta giải quyết nghịch lý này bằng cách phân biệt hai mức độ ngôn ngữ: ngôn ngữ bình thường (đôi khi được gọi là ngôn ngữ đối tượng) và ngôn ngữ được sử dụng để mô tả lý thuyết đang xét (siêu ngôn ngữ và thường chưa được hình thức hóa). Khi định nghĩa một tập đếm được các số thực có thể định nghĩa bằng một số hữu hạn từ, ta hiểu rằng các từ này thuộc về một ngôn ngữ cụ thể của một dân tộc nào đó. Việc mô tả số thực N được thực hiện bằng một số hữu hạn từ trong siêu ngôn ngữ. Quá trình xây dựng N cho thấy rằng nó không thể mô tả bằng một số hữu hạn từ trong ngôn ngữ đối tượng. Khi mã hóa siêu ngôn ngữ thành ngôn ngữ đối tượng, nghịch lý Richard không còn là nghịch lý [10, tr.4]. 1.1.3.1.3. Nghịch lý Berry Nghịch lý Berry là một dạng khác của nghịch lý Richard, được Russel phát hiện năm 1906 và đặt tên theo tên của Berry (1867-1928) - thủ thư thư viện Bodley thuộc đại học Oxford. Xét “Số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ” 10. Số này có thuộc tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười sáu từ hay không? Gọi E là tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười sáu từ và n là “số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ”. 10 Trong nguyên văn tiếng Pháp, số này được mô tả bằng đúng mười lăm từ là: “Le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins”. Về nguyên tắc, có thể thay số 16 bằng một số bất kỳ lớn hơn số từ mà ta sử dụng để mô tả số tự nhiên đang xét.
11 Ta có n ∈ E (vì định nghĩa của n có đúng 15 từ) và n ∉ E (vì n không thể mô tả bằng không quá 16 từ). Ta gặp lại một mâu thuẫn tương tự nghịch lý Richard. 1.1.3.2. Các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập Liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập, chúng tôi chọn nghịch lý Russell để phân tích. Quay lại nghịch lý Cantor, nếu ký hiệu S là tập tất cả các tập hợp, ta có S (với tư cách là một tập) là một phần tử của S (với tư cách là tập tất cả các tập hợp). Nói cách khác, S ∈ S hay S là một phần tử của chính nó. Nếu tránh nói đến tập tất cả các tập hợp, ta vẫn có thể nêu một ví dụ khác về sự tồn tại của những tập là phần tử của chính nó. Gọi E là tập các tập hợp có hơn một phần tử, ta có N ∈ E và Z ∈ E nên E ∈ E (vì E có hơn một phần tử). Điều này khiến Russell xét G là tập các tập hợp không phải là phần tử của chính nó và đặt câu hỏi G ∈ G hay G ∉ G? Nếu G ∈ G thì G là phần tử của chính nó nên G ∉ G (theo định nghĩa). Nếu G ∉ G thì G không phải là phần tử của chính nó nên G ∈ G (theo định nghĩa). Mỗi trường hợp G ∈ G hay G ∉ G đều dẫn đến mâu thuẫn. Nghịch lý Russell còn được phát biểu dưới dạng nghịch lý người thợ cạo: Ở làng Seville có một ông thợ cạo. Tại làng này, tất cả đàn ông đều tự cạo râu hoặc nhờ thợ cạo. Ông thợ này cho biết: “Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông làng Seville không tự cạo râu được”. Hỏi ông thợ cạo có cạo râu cho chính mình không? Việc khảo sát hai khả năng có hoặc không đều dẫn đến mâu thuẫn. Nếu thuộc nhóm tự cạo râu (nhóm 1) thì ông thợ cạo không cạo râu cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông phải thuộc nhóm không tự cạo râu (nhóm 2). Nếu ở nhóm không tự cạo râu (nhóm 2) thì ông thợ cạo sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cạo râu cho mình, nghĩa là ông thuộc nhóm 1. Vậy ông thợ cạo thuộc nhóm nào? Điều này sẽ dễ dàng giải quyết nếu người thợ cạo không sống ở làng Seville hoặc là phụ nữ. Tuy nhiên, câu chuyện đã xác định rõ người thợ cạo sống ở làng Seville và là đàn ông [10, tr.5].
12 Nghịch lý Russell chỉ ra những mâu thuẫn lô-gic có thể phát sinh khi xác định một tập hợp bằng cách nêu đặc trưng. Việc giải quyết những mâu thuẫn này đòi hỏi phải xây dựng những điều kiện về tính hợp thức của tính chất đặc trưng của một tập mà Cantor chưa thực hiện. Chúng tôi sẽ quay lại nghịch lý Russell khi trình bày về lý thuyết Zermelo-Fraenkel trong mục 2.1 dưới đây. 1.2. Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell Cantor chưa giải quyết triệt để các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của mình: ông không đề xuất giải pháp đối với một số nghịch lý (chẳng hạn nghịch lý Russell) hoặc giải pháp của ông còn mang tính hình thức (chẳng hạn “số nhiều phù hợp” hay “vô hạn tuyệt đối”). Sự tồn tại các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor và những tranh cãi xung quanh giả thuyết continuum đòi hỏi phải có một định nghĩa chính xác về tập hợp. Nhiều nhà toán học đã nghĩ đến phương pháp tiên đề mà Hilbert từng sử dụng vào năm 1899 khi xây dựng cơ sở của hình học Euclide. Trong số nhiều cố gắng tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor, được sử dụng nhiều nhất là hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays- Gödel và hệ tiên đề Russell. Lý thuyết tập hợp xây dựng trên các hệ tiên đề này tương ứng gọi là lý thuyết ZF, lý thuyết lớp và lý thuyết kiểu. 1.2.1. Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel (hoặc hệ tiên đề ZF) được xây dựng từ các tiên đề do Ernst Zermelo (1871-1953) phát biểu năm 1908, cộng thêm tiên đề về thay thế do Abraham Adolf Halevi Fraenkel (1891-1965) bổ sung. Thoralf Albert Skolem (1887-1963) là người diễn đạt lại hệ tiên đề ZF dưới dạng thường thấy ngày nay (xem phụ lục 1). Mục tiêu chính của hệ tiên đề ZF là loại bỏ những sai lệch liên quan đến các khái niệm trực giác về tập hợp và liên thuộc trong lý thuyết tập hợp của Cantor. Đặc biệt, tiên đề 7 của hệ tiên đề ZF quy định điều kiện đối với tính chất đặc trưng của một tập và cho phép giải quyết nghịch lý người thợ cạo của Russell.