intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 1 - Nguyễn Vinh Quang

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
139
lượt xem 22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

(NB) Phần 1 Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt) trình bày về lý thuyết độ đo, trong đó sinh viên sẽ được học các khái niệm tập hợp, đại số và ơ - đại số, hàm tập và độ đo. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 1 - Nguyễn Vinh Quang

  1. MATHEDUCARE.COM TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z NGUYEÃN VINH QUANG LYÙ THUYEÁT ÑOÄ ÑO VAØ TÍCH PHAÂN (Baøi Giaûng Toùm Taét) -- Löu haønh noäi boä -- Y Ñaø Laït 2008 Z
  2. MATHEDUCARE.COM Môc lôc 1 §é ®o 2 1.1 TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 §¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 σ - ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Hµm tËp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 §é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ . . . . 13 1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 TÝch ph©n Lebesgue 24 2.1 Hµm ®o ®−îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 TÝch ph©n Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 matheducare.com
  3. MATHEDUCARE.COM Ch−¬ng 1 §é ®o 1.1 TËp hîp 1.1.1 C¸c kh¸i niÖm Gi¶ sö kh«ng gian Ω = ∅. PhÇn tö: Nh÷ng ®iÓm thuéc Ω ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña Ω. Ký hiÖu: ω, ω1 , ω2 , . . . , ωn ∈ Ω. TËp con: A ®−îc gäi lµ tËp con cña Ω. Ký hiÖu: A ⊂ Ω ⇔ ∀ω ∈ A ⇒ ω ∈ Ω. TËp b»ng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B, B ⊂ A. Líp c¸c tËp: TËp mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ tËp hîp gäi lµ líp c¸c tËp. Ký hiÖu: A, B, C, . . . D·y c¸c tËp: Lµ líp gåm mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp. Ký hiÖu: {An }n∈N , {Bn }n∈N , . . . 1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp 1.Hîp C = A ∪ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A hay ω ∈ B}. ∞ C= An := {ω ∈ Ω : ∃ n0 ∈ N, ω ∈ An0 }.  n=1 2.Giao A ∩ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω ∈ B}. ∞ An := {ω ∈ Ω : ω ∈ An , ∀n}.  n=0 3.HiÖu hai tËp hîp A\B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω ∈ / B}. 2 matheducare.com
  4. MATHEDUCARE.COM 4.HiÖu ®èi xøng hai tËp hîp AB := (A\B) ∪ (B\A). Chó ý: Khi A ∩ B = ∅ th× A ∪ B = A + B. 5.PhÐp lÊy phÇn bï (trªn Ω) Ký hiÖu: B (hay B c ) := Ω\B = {ω ∈ Ω : ω ∈ / B}. 6.Ph©n ho¹ch Líp C gåm c¸c tËp rêi nhau ®−îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch trªn Ω nÕu Ω = C.  C ∈ C TÝnh chÊt 1.1.1. 1.Giao ho¸n A∪B =B∪A A∩B =B∩A AB = BA. 2.KÕt hîp A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 3.Ph©n phèi A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (*)A ∩ (BC) = (A ∩ B)(A ∩ C) (*)C«ng thøc De Morgan  ∞  ∞ An = An n=1 n=1 ∞   ∞ An = An n=1 n=1 1.1.3 Giíi h¹n 1.D·y t¨ng (gi¶m) Cho dQy {An } trªn Ω, ta nãi {An } lµ dQy t¨ng nÕu A1 ⊂ A2 ⊂ . . . Ký hiÖu: An ↑n . {An } lµ dQy gi¶m theo n nÕu A1 ⊃ A2 ⊃ . . . Ký hiÖu: An ↓n . 2.Giíi h¹n trªn (lim n ) Cho {An }n∈N trªn Ω ∞ ∞ lim n An = inf n1 supkn Ak = Ak  n=1 k=n 3.Giíi h¹n d−íi (lim n ) 3 matheducare.com
  5. MATHEDUCARE.COM ∞  ∞ lim n An = supn1 inf kn Ak = Ak  n=1 k=n Ta nãi dQy {An } cã giíi h¹n (khi n → ∞) nÕu ta cã lim n An = lim n An vµ khi ®ã giíi h¹n cña dQy {An } chÝnh lµ lim vµ còng lµ lim . Ký hiÖu: limn An = lim n An = lim n An . Bµi tËp 1: Chøng minh mäi dQy ®¬n ®iÖu th× héi tô, h¬n n÷a ∞ An ↑n , A = An th× An ↑ A.  n=1 ∞ An ↓ , A = An th× An ↓ A. n  n=1 Bµi tËp 2: (LÊy phÇn bï) lim n An = lim n An . 1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè 1.2.1 §¹i sè §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho kh«ng gian Ω = ∅, F0 lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. F0 ®−îc gäi lµ ®¹i sè nÕu nã tháa: 1. Ω ∈ F0 2. ∀A ∈ F0 th× A ∈ F0 3. A, B ∈ F0 th× A ∪ B ∈ F0 . VÝ dô. - (Ω, ∅) lµ ®¹i sè trªn Ω vµ ®−îc gäi lµ ®aÞ sè tÇm th−êng. - Líp c¸c tËp con trªn Ω, ký hiÖu 2Ω lµ ®¹i sè trªn Ω (®aÞ sè lín nhÊt). - σ(A) = {Ω, ∅, A, A} lµ ®¹i sè bÐ nhÊt chøa A.  n -C= [ai , bi ) : −∞ < ai  bi < +∞ lµ ®¹i sè trªn R. i=1 Ω = {1, 2, 3, 4}. F0 = {∅, {1}, {2, 3, 4}, Ω} lµ ®¹i sè trªn Ω. TÝnh chÊt 1.2.1. 1. ∅ ∈ F0 2. ∀A, B ∈ F0 ⇒ A ∩ B, A\B, AB ∈ F0 n 3. ∀{Ai }i=1,n ⊂ F0 ⇒ Ai ∈ F0 .  i=1 Chøng minh. 1. Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa. 2. Ta cã A ∩ B = (A ∪ B) 4 matheducare.com
  6. MATHEDUCARE.COM V× A, B ∈ F0 nªn A, B ∈ F0 . Suy ra(A ∪ B) ∈ F0 (theo tiªn ®Ò (3)). Do vËy, víi mäi A, B ∈ F0 th× (A ∪ B) ∈ F0 hay A ∩ B ∈ F0 . A\B = A ∩ B ∈ F0 v× A, B ∈ F0 . AB = (A\B) ∪ (B\A) ∈ F0 v× (A\B), (B\A) ∈ F0 . 3. Dïng quy n¹p. Víi n = 2 ta cã A1 ∪ A2 ∈ F0 theo tiªn ®Ò (3). Gi¶ sö ®óng cho tr−êng hîp n = k, ta cã k+1 k  k  Ai = Ai ∪Ak+1 ∈ F0 v× Ai ∈ F0 (theo gi¶ thiÕt quy n¹p) vµ Ak+1 ∈ F0 .  i=1 i=1 i=1 n VËy Ai ∈ F0 .  i=1 1.2.2 σ - ®¹i sè §Þnh nghÜa 1.2.2. Cho kh«ng gian Ω, ta nãi F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω nÕu tháa mQn c¸c tiªn ®Ò sau: 1. Ω ∈ F 2. ∀A ∈ F th× A ∈ F ∞ 3. ∀{An }n∈N ⊂ F ta cã An ∈ F.  n=1 TÝnh chÊt 1.2.2. 1. ∅ ∈ F 2. σ - ®¹i sè lµ ®¹i sè. ∞ 3. ∀{An }n∈N ⊂ F ⇒ An ∈ F.  n=1 Chøng minh. 1. HiÓn nhiªn. 2. ∀A, B ∈ F ®Æt A1 = A, A2 = B, An = ∅ ∀n = 3, ∞. ∞ ⇒A∪B = An ∈ F (do tiªn ®Ò 3).  n=1 3. ∀{An }n∈N ⊂ F ⇒ {An }n∈N ⊂ F (tiªn ®Ò 2). ∞ Theo tiªn ®Ò 3 ⇒ An ∈ F.  n=1 Sö dông tiªn ®Ò 2 vµ c«ng thøc DeMorgan ∞ ∞   An = An ∈ F.  n=1 n=1 Kh«ng gian ®o ®−îc Cho kh«ng gian Ω vµ F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω. Khi ®ã: - (Ω, F) ®−îc gäi lµ kh«ng gian ®o ®−îc. - A ∈ F ta gäi A lµ ®o ®−îc. 5 matheducare.com
  7. MATHEDUCARE.COM σ - ®¹i sè sinh §Þnh nghÜa 1.2.3. Cho C lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi σ - ®¹i sè sinh bëi C lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa C. Ký hiÖu: σ(C). σ - ®¹i sè Borel trªn R σ - ®¹i sè Borel trªn R lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa mäi kho¶ng ®ãng trªn R. Ký hiÖu: B hay B(R) hay B1 . Gäi C lµ líp tËp cã d¹ng C = {[a, b] : −∞ < a  b < +∞}. Khi ®ã σ(C) = B. Bµi tËp:Cho a  b, a, b ∈ R. XÐt c¸c tËp sau: 1.(a, b) 2.[a, b) 3.(−∞, a) 4.(−∞, a] 5.(a, +∞) 6.[a, +∞) Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng nh− trong 1, 2, . . . , 6. CMR σ(C) = B. Líp ®¬n ®iÖu §Þnh nghÜa 1.2.4. Cho Ω, M lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi M lµ líp ®¬n ®iÖu nÕu nã chøa tÊt c¶ c¸c giíi h¹n cña dQy ®¬n ®iÖu trong M {An }n∈N ⊂ M, An ↑n A (hay An ↓n A) ⇒ A ∈ M. Líp ®¬n ®iÖu sinh bëi C Lµ líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa C. Ký hiÖu: M(C). §Þnh lý 1.2.1. Cho F lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Khi ®ã ta cã: F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω ⇔ F lµ ®¹i sè, ®¬n ®iÖu. Chøng minh. [⇒] Gi¶ sö F lµ σ - ®¹i sè ⇒ F lµ ®¹i sè. Chøng minh F ®¬n ®iÖu. Cho ∀{An }n∈N ⊂ F, An ↑n A, ta chøng minh A ∈ F. ∞ Ta cã: An ↑n A ⇒ A = An (t¨ng vÒ sup).  n=1 ∞ Theo tiªn ®Ò (3) cña σ - ®¹i sè ta cã A = An ∈ F.  n=1 6 matheducare.com
  8. MATHEDUCARE.COM ∞ An ↓n A ⇒ A = An ∈ F (theo tÝnh chÊt (3) cña σ - ®¹i sè).  n=1 VËy F ®¬n ®iÖu. ∞ [⇐] ∀{An }n∈N ⊂ F ta cÇn chøng minh An ∈ F.  n=1 n §Æt Bn = Ak ∈ F (v× cã tÝnh chÊt ®¹i sè).  k=1 ∞ MÆt kh¸c Bn ↑n Ak ∈ F.  k=1 VËy F lµ σ - ®¹i sè. §Þnh lý 1.2.2. Cho F0 lµ ®¹i sè trªn Ω khi ®ã ta cã σ(F0 ) = M(F0 ) (σ - ®¹i sè sinh bëi F0 còng lµ líp ®¬n ®iÖu sinh bëi F0 ). Chøng minh. [⇐] σ(F0 ) ⊃ M(F0 ) Ta cã σ(F0 ) lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F0 nªn nã chøa líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa F0 . Nãi kh¸c ®i σ(F0 ) ⊃ M(F0 ). [⇒] σ(F0 ) ⊂ M(F0 ) ∀A ∈ M(F0 ) ®Æt MA = {B ∈ M(F0 ) : A\B, B\A, A ∪ B ∈ M(F0 )}. Víi c¸ch ®Æt MA nh− trªn ta ®−îc: 1. MA lµ líp ®¬n ®iÖu. 2. B ∈ MA ⇔ A ∈ MB (do tÝnh chÊt ®èi xøng ®Æt trªn MA ). Thùc vËy, ta cã ∀A ∈ M(F0 ), MA = ∅ v× A ∈ MA . Ta chøng minh (1). XÐt {Bn } ⊂ MA , Bn ↑n B ta chØ ra B ∈ MA . Do M(F0 ) lµ líp ®¬n ®iÖu vµ {Bn } ⊂ M(F0 ) (v× {Bn } ⊂ MA ) nªn suy ra B ∈ M(F0 ). Ta cã {A\Bn } ⊂ M(F0 ) vµ (A\Bn ) ↓n (A\B), suy ra A\B ∈ M(F0 ). Hoµn toµn t−¬ng tù ta suy ra B\A, A ∪ B ∈ M(F0 ). VËy B ∈ MA . ViÖc chøng minh cho mét dQy Bn ↓n B, {Bn } ⊂ MA hoµn toµn t−¬ng tù. VËy MA lµ líp ®¬n ®iÖu. XÐt A ∈ F0 bÊt kú. Víi c¸ch x©y dùng MA nh− trªn th× MA ⊂ M(F0 ). MÆt kh¸c, ∀B ∈ F0 ⊂ M(F0 ), A\B, B\A, A ∪ B ∈ F0 ⊂ M(F0 ) (v× F0 lµ ®¹i sè). VËy B ∈ MA . Suy ra F0 ⊂ MA . Do MA lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F0 nªn nã sÏ chøa M(F0 ). KÕt qu¶ trªn cho ta MA = M(F0 ), ∀A ∈ F0 . XÐt B ∈ M(F0 ) bÊt kú. Theo trªn ∀A ∈ F0 , MA = M(F0 ) nªn B ∈ MA , ∀A ∈ F0 . Sö dông tÝnh chÊt (2) cña MA ta cã ∀A ∈ F0 , A ∈ MB . VËy nªn F0 ⊂ MB . VËy MB = M(F0 ), ∀B ∈ M(F0 ). B©y giê ta chØ ra M(F0 ) lµ ®¹i sè. §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn: - Ω ∈ M(F0 ) (v× Ω ∈ F0 ⊂ M(F0 )). - ∀A ∈ M(F0 ), A = Ω\A ∈ M(F0 ) (v× Ω ∈ MA ). 7 matheducare.com
  9. MATHEDUCARE.COM - ∀A, B ∈ M(F0 ), A ∪ B ∈ M(F0 ) (v× B ∈ MA ). M(F0 ) lµ ®¹i sè vµ lµ líp ®¬n ®iÖu nªn M(F0 ) lµ σ - ®¹i sè chøa F0 . Tõ ®ã ta ®−îc σ(F0 ) ⊂ M(F0 ). 1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch Kh«ng gian tÝch Cho hai kh«ng gian ®o ®−îc (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) víi A1 ⊂ Ω1 , A2 ⊂ Ω2 . Ta ®Þnh nghÜa tÝch Descartes: A1 × A2 = {(ω1 , ω2 ) : ω1 ∈ A1 , ω2 ∈ A2 }. §Æc biÖt khi A1 = Ω1 , A2 = Ω2 th× Ω1 × Ω2 gäi lµ tÝch cña 2 kh«ng gian Ω1 , Ω2 . NÕu A1 ∈ F1 , A2 ∈ F2 th× A1 × A2 gäi lµ h×nh ch÷ nhËt. Nãi chung: Líp tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt kh«ng ph¶i lµ σ - ®¹i sè. Khi ®ã σ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµm cho tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt ®ã ®o ®−îc (chøa tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt) ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè tÝch. (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 ) gäi lµ kh«ng gian tÝch cña 2 kh«ng gian (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ). 1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o 1.3.1 Hµm tËp Cho C lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. Hµm ϕ x¸c ®Þnh trªn C vµ nhËn gi¸ trÞ sè ϕ : C −→ R ∀A ∈ C, ∃! x ∈ R : ϕ(A) = x ®−îc gäi lµ hµm tËp víi gi¸ trÞ sè. - Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n khi ϕ(A) < ∞, ∀A ∈ C. - Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ kh«ng ©m nÕu ϕ(A)  0, ∀A ∈ C. - Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu: n ∀{Ai }i=1,n ⊂ C, Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, n vµ Ai ∈ C, ta cã  i=1 n n ϕ( Ai ) = ϕ(Ai ).   i=1 i=1 - Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh ®Õm ®−îc (σ - céng tÝnh) nÕu: ∞ ∀{An }n∈N ⊂ C : Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, ∞ vµ Ai ∈ C, ta cã  i=1 ∞ ∞ ϕ( Ai ) = ϕ(Ai ).   i=1 i=1 - Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ σ - h÷u h¹n nÕu ta cã: ∞ ∀C ∈ C th× ∃ {Ck }k∈N ⊂ C : Ck = C vµ ϕ(Ck ) h÷u h¹n ∀k = 1, ∞.  k=1 8 matheducare.com
  10. MATHEDUCARE.COM 1.3.2 §é ®o §Þnh nghÜa 1.3.1. Cho kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F) vµ mét hµm µ x¸c ®Þnh trªn F vµ nhËn gi¸ trÞ trong [0, ∞]. µ ®−îc gäi lµ ®é ®o nÕu µ lµ σ - céng tÝnh (∀{An }n∈N ⊂ F : Ai ∩ Aj = ∅ víi ∞ ∞ i = j; i, j = 1, ∞ th× µ( Ai ) = µ(Ai )).   i=1 i=1 - µ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n (ký hiÖu µ < ∞) nÕu: µ(Ω) < ∞. - µ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu: ∀{Ai }i=1,n ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅ víi i = j; i, j = 1, n, ta cã: n n µ( Ai ) = µ(Ai ).   i=1 i=1 ∞ -µ lµ σ - h÷u h¹n nÕu: ∃{An }n∈N ⊂ F : An = Ω vµ µ(An ) < ∞, ∀n = 1, n.  n=1 Cho kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F) vµ µ lµ mét ®é ®o trªn (Ω, F). Khi ®ã (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o (hay kh«ng gian ®o). §Æc biÖt: Khi µ(Ω) = 1 th× (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt. TÝnh chÊt 1.3.1. a) NÕu ∃A ∈ F sao cho µ(A) < ∞ (µ(A) h÷u h¹n) th× µ(∅) = 0. b) TÝnh céng tÝnh h÷u h¹n cña ®é ®o. c) NÕu A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(A)  µ(B). d) Gi¶ sö µ < ∞, A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(B\A) = µ(B) − µ(A). e) NÕu µ < ∞ th× ∀A, B ∈ F ta cã: µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B). ∞ ∞ f) ∀{An }n ⊂ F ta cã µ( An )  µ(An ) (BÊt ®¼ng thøc Boole).   n=1 n=1 Chøng minh. a) Ta cã A ∈ F : A = A + ∅ + ∅ + . . . ∞ ⇒ µ(A) = µ(A + ∅ + ∅ + . . .) = µ( An ) trong ®ã A1 = A, Ai = ∅ ∀i  2.  n=1 ∞ ∞ ∞ V× µ lµ σ - céng tÝnh nªn µ( An ) = µ(An ) = µ(A) + µ(An )    n=1 n=1 n=2 ∞ ∞ V× µ(A) < ∞ suy ra 0 = µ(A) − µ(A) = µ(An ) = µ( An ) = µ(∅).   n=2 n=2 n ∞ b) Ta cã Ai = Ai , Ai = ∅ ∀i = n + 1, ∞.   i=1 i=1 n ∞ ∞ n ⇒ µ( Ai ) = µ( Ai ) = µ(Ai ) = µ(Ai ) (do tÝnh σ - céng tÝnh).     i=1 i=1 i=1 i=1 9 matheducare.com
  11. MATHEDUCARE.COM c) V× A ⊂ B suy ra B = B\A + A. V× µ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ(B) = µ(B\A + A) = µ(B\A) + µ(A). V× A, B ∈ F nªn B\A ∈ F suy ra µ(B\A)  0. ⇒ µ(B)  µ(A). d) Sö dông kÕt qu¶ ë c©u c) vµ thªm tÝnh chÊt µ < ∞ ta cã µ(B\A) = µ(B) − µ(A). e) Ta cã A ∪ B = A + B\A vµ B = B\A + B ∩ A. Sö dông tÝnh céng tÝnh h÷u h¹n sÏ ®−îc µ(A∪B) = µ(A)+µ(B\A) vµ µ(B) = µ(B\A)+µ(B ∩A). MÆt kh¸c do µ < ∞ vµ A, B ∈ F nªn ta cã kÕt qu¶ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B). f) §Æt B1 = A1 B2 = A2 \(A2 ∩ A1 ) B3 = A3 \(A3 ∩ (A1 ∪ A2 )) .. . k−1 Bk = Ak \(Ak ∩ ( Ai ))  i=1 Lóc nµy, ∞ ∞ An = Bi vµ Bi ∩ Bj = ∅ víi i = j; i, j = 1, ∞.   n=1 i=1 Bi ⊂ Ai ∀ i = 1, ∞. Ta cã: ∞ ∞ ∞ µ( An ) = µ( Bn ) = µ(Bn )(do tÝnh σ - céng tÝnh).    n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ Vµ µ(Bn )  µ(An ) (v× Bn ⊂ An , ∀n).   n=1 n=1 Tõ ®ã cho ra kÕt qu¶. §Þnh lý 1.3.1 (Sù liªn tôc cña ®é ®o). 1. NÕu An ↑n A th× µ(An ) ↑n µ(A) (tÝnh liªn tôc d−íi). 2. NÕu An ↓n A vµ µ(A1 ) < ∞ th× µ(An ) ↓n µ(A) (tÝnh liªn tôc trªn). Chøng minh. Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {An }n∈N lµ dQy c¸c tËp trong F ®o ®−îc tháa mQn: ∞ 1. An ↑n A ⇒ A = An .  n=1 §Æt B1 = A1 , Bn = An \An−1 vµ do An ↑n A nªn cã thÓ viÕt A = A1 + (A2 \A1 ) + (A3 \A2 ) + . . . = B1 + B2 + . . . ∞ ∞ MÆt kh¸c µ(A) = µ( An ) = µ( Bn )   n=1 n=1 ∞ n Do tÝnh σ - céng tÝnh suy ra µ(A) = µ(Bn ) = limn [ µ(Bi )] = limn µ(An ).   n=1 i=1 VËy µ(An ) ↑n µ(A). 2. Ta cã An ↓n A ⇒ (A1 \An ) ↑n (A1 \A) ⇒ µ(A1 \An ) ↑n µ(A1 \A) (do tÝnh liªn tôc d−íi cña ®é ®o) ⇒ [µ(A1 )\µ(An )] ↑n [µ(A1 )\µ(A)] (v× µ(A1 ) < ∞) 10 matheducare.com
  12. MATHEDUCARE.COM ⇒ −µ(An ) ↑n −µ(A) ⇒ µ(An ) ↓n µ(A). §Þnh lý 1.3.2. Cho F lµ σ - ®¹i sè, µ lµ hµm tËp, µ : F → [0, ∞]. µ céng tÝnh h÷u h¹n. Khi ®ã: a) NÕu µ liªn tôc d−íi th× µ lµ σ - céng tÝnh. b) NÕu µ liªn tôc t¹i ∅ th× µ lµ σ - céng tÝnh. (Ta nãi µ liªn tôc t¹i ∅ nÕu An ↓n ∅ th× µ(An ) ↓n 0). Chøng minh. ∞ ∞ a) Cho A = An , {An }n∈N ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅, i = j. Chøng minh µ(A) = µ(Ai ).   n=1 n=1 n n Ta cã Ak ↑n A. V× µ liªn tôc d−íi nªn µ( Ak ) ↑n µ(A).   k=1 k=1 n n MÆt kh¸c v× µ lµ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ( Ak ) = µ(Ak ) ↑n µ(A).   k=1 k=1 ∞ ⇒ µ(A) = µ(An ) (do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n).  n=1 ∞ b) Gi¶ sö A = An , {An }n∈N ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅, i = j.  n=1 n n §Æt Bn = (A\ Ak ) ↓n ∅, do vËy A = Bn + Ak .   k=1 k=1 n ⇒ µ(A) = µ(Bn ) + µ(Ak ) (do µ céng tÝnh h÷u h¹n).  k=1 n ∞ Cho n → ∞ th× µ(Bn ) + µ( Ak ) → 0 + µ(An ).   k=1 n=1 ∞ VËy µ(A) = µ(An ).  n=1 §Þnh lý 1.3.3 (B§T Fatou d−íi d¹ng ®é ®o). Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {An }n∈N ®o ®−îc. Khi ®ã ta cã: 1. µ(lim n An )  lim n µ(An ). ∞ 2. NÕu µ( An ) < ∞ th× lim n µ(An )  µ(lim n An ).  n=1 Chøng minh. ∞  ∞ 1. Ta cã lim n An = Ak .  n=1 k=n ∞ ∀ n ®Æt Bn = Ak ({Bn }n∈N lµ dQy t¨ng theo n).  k=n ∞ ∞ Bn = ( A k ) ↑n Bn = lim n An .   k=n n=1 Tõ tÝnh liªn tôc d−íi cña µ ta cã µ(Bn ) ↑n µ(lim n An ). 11 matheducare.com
  13. MATHEDUCARE.COM MÆt kh¸c Bn ⊂ An , ∀ n ⇒ µ(Bn )  µ(An )∀ n. ⇒ lim n µ(Bn )  lim n µ(An ). Hay µ(lim n An )  lim n µ(An ). ∞  ∞ 2. Ta cã lim n µ(An ) = Ak  n=1 k=n ∞ ∞ §Æt Bn = Ak ↓n Bn = lim n An .   k=n n=1 ∞ ∞ MÆt kh¸c B1 = An ⇒ µ(B1 ) = µ( An ) < ∞.   n=1 n=1 Tõ ®Þnh lý vÒ sù liªn tôc ta cã: µ(Bn ) ↓ µ(lim n A). (1) n L¹i cã An ⊂ Bn ∀n ⇒ µ(An )  µ(Bn ), ∀n. ⇒ lim n µ(An )  lim n µ(Bn ). KÕt hîp víi (1) suy ra lim n µ(An )  µ(lim n An ). HÖ qu¶. Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ), µ < ∞. NÕu An → A khi n → ∞ th× ta cã µ(An ) → µ(A). Chøng minh. V× An → A khi n → ∞ nªn µ(A) = µ(limn An ) = µ(lim n An ) = µ(lim n An ). Sö dông B§T Fatou ta cã: µ(A) = µ(lim n An )  lim n µ(An )  lim n µ(An )  µ(lim n An ) = µ(A) (do µ < ∞). VËy limn µ(An ) = µ(A). §Þnh lý 1.3.4 (§Þnh lý Borel - Cantelli). ∞ Cho kh«ng gian (Ω, F, µ), {An }n∈N ⊂ F. NÕu µ(An ) < ∞ th× µ(lim n An ) = 0.  n=1 Chøng minh. ∞  ∞ Ta cã lim n An = Ak  n=1 k=n ∞ Víi Bn = Ak ↓n lim n An .  k=n ∞ ∞ MÆt kh¸c B1 = Ak ⇒ µ(B1 ) = µ( Ak ).   k=1 k=1 ∞ ∞ Sö dung B§T Boole µ(B1 ) = µ( Ak )  µ(Ak ) < ∞ (theo gi¶ thiÕt).   k=1 k=1 Tõ ®Þnh lý liªn tôc ⇒ µ(Bn ) ↓n µ(lim n An ). ∞ ∞ L¹i cã 0  µ(Bn ) = µ( Ak )  µ(Ak ) (B§T Boole), ∀n.   k=n k=n Cho n → ∞ th× 0  µ(lim n An )  0 hay µ(lim n An ) = 0. 12 matheducare.com
  14. MATHEDUCARE.COM 1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) vµ tËp A ⊂ Ω. Ta nãi A lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ, hay µ - kh«ng) nÕu ∃B ∈ F sao cho A ⊂ B vµ µ(B) = 0. Gäi N lµ líp c¸c tËp N ⊂ Ω lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ. N = {N ⊂ Ω : N lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ}. NÕu N ⊂ F th× (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ. Khi ®ã µ ®−îc gäi lµ ®é ®o ®ñ. VËy trong kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ, c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ ®Òu ®o ®−îc. TÝnh chÊt 1.3.2. 1. NÕu N1 ⊂ N vµ N lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ th× N1 kh«ng ®¸ng kÓ. 2. TËp N ∈ F vµ µ(N ) = 0 th× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ. 3. Hîp ®Õm ®−îc c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ lµ kh«ng ®¸ng kÓ. Chøng minh. 1. V× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ nªn ∃B ∈ F sao cho N ⊂ B, µ(B) = 0. V× N1 ⊂ N nªn N1 ⊂ B. ⇒ N1 lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ. 2. HiÓn nhiªn. 3. XÐt {Ni }i∈N ⊂ F, Ni lµ µ - kh«ng ∀i. ⇒ ∃{Bi }i∈N ⊂ F, Ni ⊂ Bi vµ µ(Bi ) = 0, ∀i. ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ Ni ⊂ Bi vµ µ( Bi )  µ(Bi ) = 0.     i=1 i=1 i=1 i=1 ∞ VËy Ni lµ µ - kh«ng.  i=1 §Þnh lý 1.3.5 (Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o). Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) vµ N lµ líp c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng). a) NÕu F = {A ∪ N : A ∈ F, N ∈ N} th× F = σ(F ∪ N). b) µ : F → [0, ∞] ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: ∀(A ∪ N ) ∈ F, µ(A ∪ N ) = µ(A). ∀A ∈ F, µ(A) = µ(A). Khi ®ã µ lµ ®é ®o níi réng duy nhÊt cña µ lªn F (µ|F = µ). c) (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ. Chó ý: Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ch−a ®ñ. Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o (Ω, F, µ) nghÜa lµ ®i x©y dùng (Ω, F, µ). Khi ®ã F ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè bæ sung cho σ - ®¹i sè F, µ gäi lµ ®é ®o ®ñ. 13 matheducare.com
  15. MATHEDUCARE.COM Chøng minh. Ta cÇn chøng minh c¸c ®iÒu sau: 1. F = σ(F ∪ N). 2. KiÓm chøng µ lµ ¸nh x¹. 3. µ lµ ®é ®o. 4. µ lµ duy nhÊt. 5. µ lµ ®é ®o ®ñ. 1. F = σ(F ∪ N) ∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N ⇒ B ∈ σ(F ∪ N) ⇒ F ⊂ σ(F ∪ N). MÆt kh¸c: ∀B ∈ (F ∪ N) ta cã B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N ⇒ B ∈ F . Do vËy (F ∪ N) ⊂ F ⊂ σ(F ∪ N). Ta chøng minh F lµ σ - ®¹i sè. - Ω ∈ F ⇒ Ω = Ω ∪ N (N ∈ N) ∈ F ⇒ Ω ∈ F. - ∀B ∈ F, B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N. Do N ∈ N nªn ∃N1 ∈ F, N ⊂ N1 vµ µ(N1 ) = 0. Ta cã B = A ∪ N = (A ∪ N1 ) ∪ ((A ∪ N ) ∩ N1 ).
  17. ∈ F ⊂ N1 vµ µ(N1 )=0 V× thÕ ((A ∪ N ) ∩ N1 ) lµ tËp µ - kh«ng. Suy ra B ∈ F. ∞ - Cho {Bn }n∈N ⊂ F ta chøng minh Bn ∈ F.  n=1 V× {Bn }n∈N ⊂ F ⇒ Bn = An ∪ Nn . Trong ®ã: An ∈ F, Nn ∈ N, ∀n. ∞ ∞ ∞  ∞  ⇒ Bn = (An ∪ Nn ) = ( An ) ∪ ( Nn ) ∈ F.   n=1 n=1 n=1
  18. n=1
  19. ∈ F ∈ N VËy F lµ σ - ®¹i sè. Sö dông tÝnh chÊt cña σ - ®¹i sè cho ta σ(F ∪ N) ⊂ F ⊂ σ(F ∪ N). 2. µ lµ ¸nh x¹ Gi¶ sö A1 ∪ N1 = A2 ∪ N2 (Ai ∈ F, Ni ∈ N). ⇒ (A1 ∪ N1 )\A2 ⊂ N2 (A2 ∪ N2 )\A1 ⊂ N1 MÆt kh¸c ta cã: A1 \A2 ⊂ A1 ∪ N1 \N2 A2 \A1 ⊂ A2 ∪ N2 \N1 Tõ ®ã suy ra A1 \A2 ⊂ N2 vµ A2 \A1 ⊂ N1 ⇒ A1 A2 = (A1 \A2 ) ∪ (A2 \A1 ) ⊂ (N1 ∪ N2 ). Do N1 , N2 lµ tËp µ - kh«ng nªn N1 ∪ N2 còng lµ tËp µ - kh«ng, nghÜa lµ ∃B ∈ F, N1 ∪ N2 ⊂ B, µ(B) = 0 14 matheducare.com
  20. MATHEDUCARE.COM ⇒ µ(A1 A2 )  µ(B) = 0 ⇒ µ(A1 A2 ) = 0 ⇒ µ(A1 ) = µ(A2 ). Theo ®Þnh nghÜa µ: µ(A1 ) = µ(A1 ∪ N1 ) µ(A2 ) = µ(A2 ∪ N2 ) ⇒ µ(A1 ∪ N1 ) = µ(A2 ∪ N2 ) VËy µ lµ ¸nh x¹. 3. µ lµ ®é ®o Chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh. XÐt {Bn }n∈N ⊂ F, Bi ∩ Bj = ∅ vµ i = j. ∞ ∞ Ph¶i chøng minh µ( Bn ) = µ(Bn ).   n=1 n=1 Ta cã: {Bn }n∈N ⊂ F ⇒ Bn = An ∪ Nn , An ∈ F, Nn ∈ N, ∀n ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ Bn = (An ∪ Nn ) = ( An ) ∪ ( Nn )     n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ µ( Bn ) = µ[( An ) ∪ ( Nn )] = µ( An ) (theo ®Þnh nghÜa).     n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ MÆt kh¸c Ai ∩ Aj = ∅ nªn µ( An ) = µ(An ).   n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ Còng vËy, dùa vµo ®Þnh nghÜa cña µ th× µ(An ) = µ(An ∪ Nn ) = µ(Bn ).    n=1 n=1 n=1 VËy µ lµ σ - céng tÝnh, hay µ lµ ®é ®o trªn F. 4. µ lµ duy nhÊt Gi¶ sö µ1 còng lµ mét níi réng cña µ. Ta chøng minh µ1 chÝnh lµ µ. Thùc vËy, ∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N ⇒ µ(B) = µ(A) = µ1 (B) (theo ®Þnh nghÜa cña ®é ®o níi réng) ⇒ ∀B ∈ F : µ(B) = µ1 (B), hay µ = µ1 . VËy µ lµ duy nhÊt. 5. µ lµ ®é ®o ®ñ µ lµ ®é ®o ®ñ ⇔ (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®ñ ⇔ F chøa tÊt c¶ c¸c tËp µ - kh«ng. V× F = σ(F ∪ N) nªn tÊt c¶ c¸c tËp µ - kh«ng ®Òu chøa trong F. SÏ chøng minh mäi tËp µ - kh«ng ®Òu lµ tËp µ - kh«ng. ThËt vËy, víi M lµ tËp µ - kh«ng bÊt kú ⇒ M ⊂ B ∈ F vµ µ(B) = 0. V× B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N. 15 matheducare.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2