Bài giảng Độ đo và tích phân (dành cho sinh viên khoa Toán) - Thái Thuần Quang

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

636
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Độ đo và tích phân (dành cho sinh viên khoa Toán) gồm 2 chương, trình bày về độ đo và tích phân Lebesgue. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Độ đo và tích phân (dành cho sinh viên khoa Toán) - Thái Thuần Quang

thái thuần quang Bài giảng ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Mục lục Chương 1. Độ đo 1 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Độ đo trên không gian Rk , (k > 1) . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26 1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Tích phân Lebesgue 33 2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Tích phân các hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Tính chất cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4 Tính chất khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Các kết quả về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46 2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54 2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chỉ mục 60
Chương 1 Độ đo 1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1. Đại số tập hợp Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập X cho trước. Một lớp các tập con của X gọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó. 1.1.1 Đại số Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng). Định lý 1.1.1.1. Một lớp C là một đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điều kiện a) A, B ∈ C =⇒ A ∪ B ∈ C, b) A ∈ C =⇒ Ac = X \ A ∈ C.
1.1. Đại số tập hợp 2 Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện đủ. Với A, B ∈ C, theo b) ta có Ac , B c ∈ C. Khi đó theo a) Ac ∪ B c ∈ C và theo b) A ∩ B = (Ac ∪ B c )c ∈ C. Bằng quy nạp ta chứng minh được C đóng kín đối với phép giao hữu hạn. Vì A \ B = A ∩ B c nên A \ B ∈ C. Do đó A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C. Do C 6= ∅ nên có A ∈ C như vậy ∅ = A \ A ∈ C và X = ∅c ∈ C. Vậy C là một đại số. Ví dụ 1.1.1.1. 1) P(X) = {A : A ⊂ X} là một đại số. 2) Nếu A ⊂ X thì C = {X, A, Ac , ∅} là một đại số. Định lý 1.1.1.2. Cho trước một lớp M = 6 ∅. Khi đó tồn tại một đại số duy nhất C(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các đại số bao hàm M. C(M) gọi là đại số sinh bởi M. Chứng minh. Bao giờ cũng có một đại số bao hàm M đó là P(X). Gọi C(M) là giao của tất cả các đại số trên X bao hàm M. Dễ thấy C(M) là một đại số. C(M) nhỏ nhất vì nó chứa trong mọi đại số bao hàm M, và nó là duy nhất vì nếu có một đại số C 0 (M) cũng có tính chất như C(M) thì ta sẽ có C(M) ⊂ C 0 (M) và C 0 (M) ⊂ C(M). Vì vậy C 0 (M) = C(M). 1.1.2 σ-đại số Một σ-đại số (hay σ-trường) là một lớp chứa X, ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập hợp. Một σ-đại số hiển nhiên là một đại số. Định lý 1.1.2.1. Một lớp C là một σ-đại số và chỉ khi C 6= ∅ và thỏa mãn hai điều kiện S∞ a) Ai ∈ C (i ∈ N) =⇒ i=1 Ai ∈ C, b) A ∈ C =⇒ Ac ∈ C. Chứng minh. Giả sử C 6= ∅ thỏa mãn a) và b). Khi đó tồn tại A ∈ C nên Ac ∈ C. ∞ [ c Xét A1 = A , Ai = A (i ≥ 2). Khi đó X = Ai ∈ C. Do đó ∅ = X \ X ∈ C. i=1 Nếu Ai ∈ C thì Aci ∈ C, nên theo a) ∞ \ c ∞ [ Ai = Aci ∈ C. i=1 i=1 Dễ dàng chứng minh điều ngược lại. Tương tự như đối với một đại số ta có
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 3 Định lý 1.1.2.2. Cho trước một lớp M = 6 ∅. Khi đó tồn tại một σ-đại số duy nhất F(M) bao hàm M và chứa trong tất cả các σ-đại số bao hàm M. F(M) gọi là σ-đại số sinh bởi M. 1.1.3 σ-đại số Borel Một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric X gọi là σ-đại số Borel của không gian X. Mỗi phần tử của σ-đại số này gọi là tập hợp Borel. Như vậy tập hợp Borel là những tập thu được bằng cách xuất phát từ những tập mở và thực hiện một số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp trên các tập đó. Tập H trong không gian metric X được gọi là tập dạng Fσ nếu H là hợp của một số đếm được các tập đóng. Tập G trong không gian metric X được gọi là tập dạng Gδ nếu G là giao của một số đếm được các tập mở. Các tập dạng Fσ , Gδ đều là các tập Borel. Tập các số hữu tỷ trên đường thẳng là tập dạng Fσ . Tập các số vô tỷ là tập dạng Gδ . Định lý 1.1.3.1. Một σ-đại số Borel trong một không gian metric X cũng là một σ-đại số nhỏ nhất bao hàm các tập đóng. Chứng minh. Gọi M, N tương ứng là lớp các tập mở và lớp các tập đóng trong X. Mỗi tập đóng là tập Borel nên N ⊂ F(M), do đó F(N ) ⊂ F(M). Ngược lại, mỗi tập mở là phần bù của một tập đóng nên M ⊂ F(N ), do đó F(M) ⊂ F(N ). Vậy F(M) = F(N ). Vì mỗi một tập mở trên đường thẳng là hợp không quá đếm được những khoảng mở nên một σ-đại số trên R là σ-đại số nhỏ nhất chứa lớp các khoảng mở. 1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 1.2.1 Hàm tập hợp Cho M ⊂ P(X). Một hàm f : M → R được gọi là một hàm tập hợp. Hàm tập f được gọi là cộng tính nếu n [ n [ Xn A1 , . . . , An ∈ M, Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j), Ai ∈ M =⇒ f Ai = f (Ai ). i=1 i=1 i=1 Hàm tập f được gọi là σ-cộng tính nếu ∞ [ ∞ [ ∞ X {Ai }i∈N ⊂ M, Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j), Ai ∈ M =⇒ f Ai = f (Ai ). i=1 i=1 i=1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 4 Nếu f là σ-cộng tính và f (∅) = 0 thì f cũng cộng tính. 1.2.2 Độ đo Định nghĩa 1.2.2.1. Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C → R được gọi là một độ đo trên C nếu a) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C; b) µ(∅) = 0; c) µ là σ-cộng tính. Hiển nhiên µ cũng là cộng tính. Khi đó (X, C, µ) được gọi là một không gian độ đo. Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ(X) < +∞. ∞ [ Độ đo µ được gọi là σ-hữu hạn nếu tồn tại dãy {Xn }n∈N ⊂ C sao cho X = Xn n=1 và µ(Xn ) < +∞ với mọi n ∈ N. Ví dụ 1.2.2.1. 1) µ : C → R cho bởi µ(A) = 0 với mọi A ∈ C là một độ đo trên C. Ta gọi độ đo này là tầm thường. Từ nay về sau để cho gọn ta sẽ viết µA thay cho µ(A). 2) Cho X là tập đếm được và µ : P(X) → R cho bởi ( n nếu A có n phần tử µA = +∞ nếu A có vô hạn phần tử thì µ là một độ đo. Ta gọi độ đo này là độ đo đếm. 3) Cho X là tập hợp khác rỗng. Cố định a ∈ X và định nghĩa δa : P(X) → [0, +∞] bởi δa (A) = 1 nếu a ∈ A và δa (A) = 0 nếu a ∈ / A. Khi đó δa là một độ đo và gọi là độ đo Dirac tại điểm a ∈ X. Định lý 1.2.2.2. Nếu µ là một độ đo trên đại số C thì a) A, B ∈ C, A ⊂ B =⇒ µA ≤ µB. Nếu thêm điều kiện µA < +∞ thì µ(B \ A) = µB − µA. ∞ [ ∞ X b) {Ai }i∈N ⊂ C, A ∈ C, A ⊂ Ai ⇒ µA ≤ µAi . i=1 i=1 ∞ [ ∞ X c) {Ai }i∈N ⊂ C, Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j), A ∈ C, Ai ⊂ A ⇒ µAi ≤ µA. i=1 i=1 Chứng minh. a) Vì B = A ∪ (B \ A) và A ∩ (B \ A) = ∅ nên µB = µA + µ(B \ A). Vì µ(B \ A) ≥ 0 nên µA ≤ µB.
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 5 Nếu µA < +∞ thì ta có thể chuyển vế trong đẳng thức trên và thu được µ(B \ A) = µB − µA. ∞ [ ∞ [ [∞ ∞ [ b) Vì A ⊂ Ai nên A = A∩ Ai = (A∩Ai ), A = Bi với Bi = A∩Ai . i=1 i=1 i=1 i=1 Đặt n−1 [ B10 = B1 , B20 = B2 \ B1 , . . . , Bn0 = Bn \ Bi . i=1 Khi đó Bi0 ∈ C và đôi một rời nhau thỏa mãn ∞ [ ∞ [ Bi = Bi0 . i=1 i=1 ∞ [ ∞ X Như vậy A = Bi0 nên µA = µBi0 . Ta có i=1 i=1 µBi0 ≤ µBi = µ(A ∩ Ai ) ≤ µAi . ∞ X Vậy µA ≤ µAi . i=1 ∞ [ n [ n [ n [ c) Vì Ai ⊂ A nên Ai ⊂ A với mọi n ∈ N. Vì A, Ai ∈ C nên µ Ai ≤ i=1 i=1 i=1 i=1 ∞ [ µA với mọi n ∈ N. Cho n → ∞ ta được µ Ai ≤ µA. i=1 Hệ quả 1.2.2.3. Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn thì mọi A ∈ C đều có thể phân tích thành hợp của một số đếm được tập hợp có độ đo hữu hạn. Thật vậy, vì µ là σ-hữu hạn nên ∞ [ ∞ [ [∞ X= Xn , Xn ∈ C, µXn < +∞; A=A∩ Xn = (A ∩ Xn ). i=1 i=1 i=1 Và ta lại có µ(A ∩ Xn ) ≤ µXn < +∞. Định lý 1.2.2.4. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó ∞ [ [∞ a) µAi = 0, Ai ∈ C =⇒ µ Ai = 0. i=1 i=1 b) A ∈ C, µB = 0 =⇒ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µA. ∞ [ ∞ X Chứng minh. a) Đặt A = Ai . Khi đó 0 ≤ µA ≤ µAi = 0. Vậy µA = 0. i=1 i=1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 6 b) Vì A ⊂ A ∪ B nên µ(A ∪ B) ≤ µA + µB = µA ≤ µ(A ∪ B). Do vậy µ(A ∪ B) = µA. Mặt khác, vì 0 ≤ µ(A ∩ B) ≤ µB nên µ(A ∩ B) = 0. Từ đó µ(A \ B) = µ(A \ A ∩ B) = µA − µ(A ∩ B) = µA. Định lý 1.2.2.5. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó ∞ [ [∞ a) Ai ∈ C, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , Ai ∈ C =⇒ µ Ai = lim µAi . i→∞ i=1 i=1 ∞ \ ∞ \ b) Ai ∈ C, A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , µA1 < +∞, Ai ∈ C =⇒ µ Ai = lim µAi . i→∞ i=1 i=1 Chứng minh. a) Đặt B1 = A1 , B2 = A2 \ A1 , . . . , Bn = An \ An−1 , . . . ∞ [ ∞ [ Lúc đó các Bi ∈ C, rời nhau và Bi = Ai . Từ đó i=1 i=1 ∞ [ X∞ n X n [ µ Ai = µBi = lim µBi = lim µ Bi = lim µAn . n→∞ n→∞ n→∞ i=1 i=1 i=1 i=1 b) Theo công thức de Morgan ∞ \ ∞ [ A1 \ Ai = (A1 \ Ai ). i=1 i=1 Áp dụng phần a) cho các tập A0i = A1 \ Ai ∈ C ta được ∞ [ µ A0i = lim µA0i . i→∞ i=1 T ∞ Do µA1 < +∞ nên µAi < +∞ và µ i=1 Ai < +∞. Ta có ∞ \ ∞ \ ∞ [ µA1 − µ Ai = µ A1 \ Ai = µ A0i = lim µA0i = µA1 − lim µAi . i→∞ i→∞ i=1 i=1 i=1 ∞ \ Như vậy µ Ai = lim µAi . i→∞ i=1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp 7 Định lý 1.2.2.6. (Đảo của định lý 1.2.2.5) Cho µ là một hàm tập không âm, cộng tính trên đại số C sao cho µ(∅) = 0. Khi đó µ sẽ là một độ đo nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: ∞ [ [∞ a) Ai ∈ C, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , Ai ∈ C =⇒ µ Ai = lim µAi . i→∞ i=1 i=1 \∞ b) Ai ∈ C, A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , Ai = ∅ =⇒ lim µAi = 0. i→∞ i=1 Chứng minh. Chỉ cần chứng tỏ µ là σ-cộng tính. ∞ [ a) Giả sử B = Bi , Bi , B ∈ C và các Bi đôi một rời nhau. Đặt i=1 n [ A1 = B1 , A2 = B1 ∪ B2 , . . . , Bn = Bi , . . . i=1 ∞ [ Khi đó vì B = An , A1 ⊂ A2 ⊂ . . . nên µB = lim µAn . Do µ là cộng tính nên ta i→∞ n=1 n X có µAn = µBi . Vậy i=1 n X ∞ X µB = lim µBi = µBn . n→∞ i=1 n=1 b) Giả sử µBi < +∞ với mọi i (vì nếu có một µBi = +∞ thì đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng). Với các ký hiệu như trên ta có ∞ [ ∞ \ ∅=B\ An = (B \ An ) n=1 n=1 với A0n = B \ An ∈ C và A01 ⊃ A02 ⊃ . . . . Vậy lim µ(B \ An ) = lim µA0n = 0. n→∞ n→∞ n X Nhưng do An ⊂ B và µAn = µBi < +∞ nên ta có µ(B \ An ) = µB − µAn . Từ i=1 đó n X ∞ X µB = lim µAn = lim µBi = µBn . n→∞ n→∞ i=1 n=1
1.3. Thác triển độ đo 8 1.3. Thác triển độ đo Ta sẽ mở rộng một độ đo µ trên một đại số C thành một độ đo trên một σ-đại số chứa C. 1.3.1 Độ đo ngoài Định nghĩa 1.3.1.1. Hàm tập µ∗ : P(X) → R được gọi là độ đo ngoài nếu: a) µ∗ A ≥ 0 với mọi A ⊂ X; b) µ∗ ∅ = 0; ∞ [ ∞ X c) A ⊂ Ai =⇒ µ∗ A ≤ µ ∗ Ai . i=1 i=1 Từ c) suy ra c’) Nếu A ⊂ B thì µ∗ A ≤ µ∗ B. Định lý 1.3.1.2. (Carathéodory) Cho µ∗ là độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X sao cho µ∗ E = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X. (1.1) Khi đó L là một σ-đại số và hàm tập µ = µ∗
L là một độ đo trên L.
Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ . Tập A thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là tập µ∗ -đo được. Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng điều kiện (1.1) tương đương với µ∗ E ≥ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) với mọi E ⊂ X (1.1’) vì bất đẳng thức ngược lại luôn đúng theo tính chất của độ đo ngoài. Ta tiến hành chứng minh theo các bước sau: • Bước 1. L là một đại số. Ta có L = 6 ∅ vì ∅ ∈ L. Thật vậy µ∗ E = µ∗ E + µ∗ ∅ = µ∗ (E ∩ ∅) + µ∗ (E \ ∅) với mọi E ⊂ X. Vì với mọi A ∈ L ta có (1.1) nên suy ra µ∗ E = µ∗ (E \ Ac ) + µ∗ (E ∩ Ac ). Vậy L kín đối với phép toán lấy phần bù. Ta kiểm tra L kín đối với phép hợp hữu hạn.
1.3. Thác triển độ đo 9 Xét A, B ∈ L. Với E ⊂ X ta có µ∗ E = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) µ∗ (E ∩ A) = µ∗ (E ∩ A ∩ B) + µ∗ ((E ∩ A) \ B) (do B ∈ L) ∗ ∗ ∗ µ (E \ A) = µ ((E \ A) ∩ B) + µ ((E \ A) \ B) (do B ∈ L). Do đó µ∗ E = µ∗ (E ∩ A ∩ B) + µ∗ ((E ∩ A) \ B) + µ∗ ((E \ A) ∩ B) + µ∗ ((E \ A) \ B). (1.2) Nhưng (E \ A) \ B = E \ (A ∪ B) và (E ∩ A ∩ B) ∪ ((E ∩ A) \ B) ∪ ((E \ A) ∩ B) = E ∩ (A ∪ B) nên từ (1.2) ta suy ra µ∗ E ≥ µ∗ (E ∩ (A ∪ B)) + µ∗ (E \ (A ∪ B)). Vậy A ∪ B ∈ L. • Bước 2. Hàm tập µ = µ∗
L là cộng tính.
Giả sử A, B ∈ L và A ∩ B = ∅. Với mọi E ⊂ X và G = E ∩ (A ∪ B) ta có µ∗ G = µ∗ (G ∩ A) + µ∗ (G \ A). Mặt khác, G ∩ A = E ∩ A và G \ A = E ∩ B nên µ∗ G = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ B). (1.3) Chọn E = X ta sẽ được µ(A ∪ B) = µA + µB. • Bước 3. L là một σ-đại số và µ là σ-cộng tính. ∞ [ Xét {Ai }i∈N đôi một rời nhau. Ta chứng minh Ai ∈ L và với mọi E ⊂ X thì i=1 ∞ [ ∞ X ∗ µ E∩ Ai = µ∗ (E ∩ Ai ). (1.4) i=1 i=1 Theo (1.3) ta có µ∗ (E ∩ (A1 ∪ A2 )) = µ∗ (E ∩ A1 ) + µ∗ (E ∩ A2 ). Bằng quy nạp ta suy ra với mọi n n [ n X ∗ µ E∩ Ai = µ∗ (E ∩ Ai ). i=1 i=1
1.3. Thác triển độ đo 10 ∞ [ n [ Đặt A = Ai ta có Ai ∈ L và i=1 i=1 n [ n [ ∗ ∗ ∗ µ E=µ E∩ Ai +µ E\ Ai i=1 i=1 n X n [ ∗ ∗ = µ (E ∩ Ai ) + µ E\ Ai i=1 i=1 n X n [ ∗ ∗ ≥ µ (E ∩ Ai ) + µ (E \ A) (do E \ A ⊂ E \ Ai ). i=1 i=1 Do n tùy ý ta suy ra ∞ X ∗ µ E≥ µ∗ (E ∩ Ai ) + µ∗ (E \ A) ≥ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) i=1 ∞ [ ∞ X (vì E ∩ A = (E ∩ Ai ) nên µ∗ (E ∩ A) ≤ µ∗ (E ∩ Ai ).) i=1 i=1 Vậy A ∈ L. Chọn E = A ta có ∞ X ∗ µ A≥ µ ∗ Ai . i=1 ∞ X Bất đẳng thức ngược lại luôn đúng nên µ∗ A = µ∗ Ai . i=1 Cuối cùng, nếu {Ai }i∈N ⊂ L thì đặt n−1 [ A01 = A1 , A02 = A2 \ A1 , . . . , A0n = An \ Ai , i=1 ta sẽ có các A0i ∈ L đôi một rời nhau và ∞ [ ∞ [ A0n = An . n=1 n=1 ∞ [ ∞ [ Theo trên A0n ∈ L nên An ∈ L. i=1 n=1 Vậy L là một σ-đại số và µ là độ đo trên L.
1.3. Thác triển độ đo 11 1.3.2 Định lý thác triển Định lý 1.3.2.1. Cho m là một độ đo trên một đại số C ⊂ P(X). Với mỗi A ⊂ X ta đặt ∞ nX ∞ [ o µ∗ A = inf mAi : {Ai }i∈N ⊂ C, Ai ⊃ A (1.5) i=1 i=1 thì µ∗ là một độ đo ngoài trên X và µ∗ A = mA với mọi A ∈ C, đồng thời mọi tập thuộc σ-đại số F(C) đều µ∗ -đo được. Chứng minh. Dễ thấy µ∗ ∅ = 0 và nếu A ⊂ B thì mỗi phủ của B bởi một họ đếm được các phần tử của C cũng là một phủ của A nên µ∗ A ≤ µ∗ B. Giả sử {An }n∈N ⊂ P(X), ta chứng minh ∞ [ ∞ X ∗ µ An ≤ µ ∗ An (lúc đó c’) sẽ đúng). n=1 n=1 ∞ [ Với mỗi ε > 0, theo định nghĩa của µ∗ An tồn tại họ {Pni }i∈N ⊂ C, Pni ⊃ An sao i=1 cho ∞ X ε mPni ≤ µ∗ An + . 2n i=1 ∞ [ [ ∞ ∞ [ Khi đó Pni ⊃ An nên n=1 i=1 n=1 ∞ ∞ X ∞ ∞ ∞ [ X X X ε µ∗ An ≤ mPni ≤ µ ∗ An + 2n n=1 n=1 i=1 n=1 n=1 hay ∞ [ ∞ X ∗ µ An ≤ µ∗ An + ε. n=1 n=1 Do ε tùy ý nên ∞ [ X∞ µ∗ An ≤ µ ∗ An . n=1 n=1 Vậy µ∗ là một độ đo ngoài. Bây giờ ta chứng minh µ∗ A = mA với A ∈ C. ∞ [ X∞ Nếu {Pi }i∈N ⊂ C và Pi ⊃ A thì mA ≤ mPi nên mA ≤ µ∗ A. i=1 i=1 Hơn nữa ta có A = A ∪ ∅ ∪ ∅ . . . nên µ∗ A ≤ mA + m∅ + m∅ + . . . , tức là µ∗ A ≤ mA. Vậy µ∗ A = mA. Do định nghĩa mi sao A
1.3. Thác triển độ đo 12 Để chứng minh F(C) ⊂ L ta chỉ cần chứng minh C ⊂ L. Xét A ∈ C. Với ε > 0 và E ⊂ X tồn tại {Pi }i∈N ⊂ C để ∞ [ ∞ X Pi ⊃ E, mPi ≤ µ∗ E + ε. i=1 i=1 Ta có ∞ [ ∞ [ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) ≤ µ∗ Pi ∩ A + µ ∗ Pi \ A i=1 i=1 ∞ X ∞ X ∞ X ≤ µ∗ (Pi ∩ A) + µ∗ (Pi \ A) ≤ ∗ µ (Pi ∩ A) + µ∗ (Pi \ A) i=1 i=1 i=1 Do Pi \ A, Pi ∩ A ∈ C nên µ∗ (Pi ∩ A) = m(Pi ∩ A) và µ∗ (Pi \ A) = m(Pi \ A). Như vậy ∞ X X∞ ∗ ∗ µ (E ∩ A) + µ (E \ A) ≤ m(Pi ∩ A) + m(Pi \ A) ≤ mPi ≤ µ∗ E + ε. i=1 i=1 Do ε tùy ý nên µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) ≤ µ∗ E với mọi E ⊂ X. Vậy A ∈ L. Định nghĩa 1.3.2.2. Ta nói rằng một độ đo µ trên một σ-đại số L là đủ nếu mọi tập con của một tập bất kỳ thuộc L có độ đo 0 đều thuộc L và có độ đo 0, nghĩa là nếu N ⊂ E, µE = 0 =⇒ N ∈ L, µN = 0. Định lý 1.3.2.3. Độ đo µ cảm sinh bởi một độ đo ngoài µ∗ bao giờ cũng là độ đo đủ (trên σ-đại số L các tập µ∗ -đo được) và họ các tập có độ đo µ bằng 0 trùng với họ các tập có độ đo ngoài µ∗ bằng 0. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh mọi tập A có µ∗ A = 0 đều µ∗ -đo được. Lúc đó với mọi E ⊂ X thì µ∗ (E ∩ A) ≤ µ∗ A = 0 nên µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A) ≤ µ∗ (E \ A) ≤ µ∗ E. Theo (1.10 ) ta suy ra A ∈ L. Từ các kết quả trên ta suy ra định lý sau.