Bài giảng Đổi biến trong tích phân kép

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

448
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đổi biến trong tích phân kép bao gồm những nội dung về tọa độ cực; tích phân kép trong tọa độ cực; công thức đổi biến sang tọa độ cực; một số đường cong và miền D trong tọa độ cực; đổi biến tổng quát; tính đối xứng của miền D trong tính tích phân kép.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đổi biến trong tích phân kép

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP
TỌA ĐỘ CỰC M y 2 2 r r = x +y 0 x x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ϕ �[0,2π ] hay ϕ �[−π , π ]
TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC a r b D: α ϕ β ϕj ϕ j −1 ϕ=β Dij ( ri* ,ϕ *j ) D ∆ϕ ϕ =α
Tổng tích phân Sn = f (ri * cos ϕ *j , ri * sin ϕ *j )ri *∆r ∆ϕ i, j � � D f ( x , y )dxdy = lim Sn d 0 lim Sn = d 0 � �D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ
Công thức đổi biến sang tọa độ cực x = r cos ϕ , y = sin ϕ � � D �f ( x , y )dxdy = � � D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ
Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực x = r cos ϕ , y = r sin ϕ R R -R D R -R R 2 2 2 2 2 2 x +y R x +y =R 0 r R r =R 0 ϕ 2π
x 2 + y 2 = 2Rx x2 + y 2 2Rx R 2R r = 2R cos ϕ 0 r 2R cos ϕ π π − ϕ 2 2
2 2 2 2 x + y = 2Ry x +y 2Ry 2R r = 2R sin ϕ R 0 r 2R sin ϕ 0 ϕ π
r = r2 (ϕ ) D r1 (ϕ ) r r2 (ϕ ) D: r = r1 (ϕ ) α ϕ β (0 < β − α 2π ) � � D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ β r2 (ϕ ) � α � = dϕ ϕ r1 ( ) f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr
VÍ DỤ 2 2 x +y 1 1/ Tính: I = � � 2 2 x + y dxdy với D : D y 0 r=1 x = r cos ϕ , y = r sin ϕ 0 r 1 D: 1 0 ϕ π -1 π 1 π 1 π � � �� 2 I= r .rdrdϕ = dϕ r dr = dϕ = 3 3 0 D 0 0
2/ Tính: I= � � D2 ( x − y )dxdy 2 1 x +y 4 D: y x, y −x x = r cos ϕ , y = r sin ϕ r=1 r=2 1 r 2 D: π 3π y ϕ =- 4 4 x x = y
I= � � D ( x − y )dxdy 1 r 2 D: π 3π ϕ = � � D (r cos ϕ − r sin ϕ ).rdrdϕ 4 4 3π 4 2 � � 2 = dϕ r (cos ϕ − sin ϕ )dr π 1 4 3π 4 �8 1� 7 = (cos ϕ − sin ϕ ) � − �dϕ = − 2 π �3 3 � 3 4
2 2 3/ Tính: I = �xdxdy với x +y 2y � D: D y −x r = 2sin x = r cos ϕ , y = r sin ϕ 0 r 2sin ϕ D : 3π ϕ π 4 π 2sin ϕ 1 � � � � 2 I= r cos ϕ rdrdϕ = dϕ r cos ϕ rdr = − D π 3 0 6
4/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 2 2 2 2 x + y = 4x, x + y = 2x, y = x, y = 0 r = 4cos x = r cos ϕ , y = r sin ϕ π 0 ϕ D 4 x = y 2cos ϕ r 4cos ϕ r = 2cos
π 0 ϕ S (D ) = � � D 1dxdy D 4 2cos ϕ r 4cos ϕ = � �D rdrdϕ π 4 4cos ϕ = dϕ � � 0 ϕ 2cos rdr 3π 3 = + 4 2
2 2 x +y −x 5/ Tính: I = � � D xydxdy với D : 3x y 0 y = 3x 4π 0 ϕ 3 0 r − cos ϕ r = - cos
ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT y ( x , y ) �D � (u , v ) �D x = x(u,v), y= y(u,v) D( x , y ) xu xv D J= = D(u , v ) y u yv x 1 J = D (u , v ) Công thức đổi biến D( x , y ) � � D f ( x , y )dxdy = � � D f ( x (u , v ), y (u , v )) J dudv
Áp dụng đổi biến tổng quát Tọa độ cực: x = r cos ϕ , y = r sin ϕ xr xϕ cos ϕ −r sin ϕ J= = =r yr yϕ sin ϕ r cos ϕ � � D f ( x , y )dxdy = � � D f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ
Hình tròn tâm tùy ý: D: (x – a)2 + (y – b)2 R2 v y Dời gốc tọa độ đến u tâm b x = u + a, y = v + b a xu xv 1 0 x J= = =1 yu yv 0 1 � � f ( x , y )dxdy = � � g (u , v ).1dudv D u 2 +v 2 R 2 Đổi tiếp sang u = r cos ϕ , v = r sin ϕ tọa độ cực:
Tóm tắt: D: (x – a)2 + (y – b)2 R2 v x = a + rcos , y = b + rsin y r J=r u b a 0 r R x D: 0 ϕ 2π � �f ( x , y )dxdy = � �f (a + r cos ϕ , b + r sin ϕ )rdrdϕ D D