Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 3 - Chương 1 Tích phân kép, cung cấp cho người học những kiến thức như: Bài toán tính thể tích vật thể; Định nghĩa tích phân kép; Điều kiện khả tích; Các tính chất cơ bản; Cách tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes; Công thức đổi biến tổng quát; Đổi biến sang toạ độ cực. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 1

TOÁN CAO CẤP 3 Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP BỘ MÔN TOÁN-CƠ-TIN HỌC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngày 14 tháng 9 năm 2020 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 1 / 35
Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 1 Bài toán tính thể tích vật thể 2 Định nghĩa tích phân kép 3 Điều kiện khả tích 4 Các tính chất cơ bản 5 Cách tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes 6 Công thức đổi biến tổng quát 7 Đổi biến sang toạ độ cực 8 Ứng dụng BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 2 / 35
1. Bài toán tính thể tích vậtDouble Integrals and thể You already know that a defini Surface: measures to quantities such as z z = f(x, y) will use a similar process to de over a region in the plane. Cho hàm hai abiến z = fun Consider continuous y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, f (x,in the xy-plane. The goal is to trong đó D là miền phẳng surface given by trong mặt phẳng Oxy . Tính z f x, y Surf thể tích của vật thể nằm giữaand the xy-plane,fas shown in mặt cong z = (x, y) và gular grid over the region, as mặt phẳng Oxy . y within R form an inner partit x R D longest diagonal of the n recta form the rectangular prism w Figure 14.8 Because the area of the ith rec BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP A 14/9/2020 Area 3 / 35
z Surface: z z = f (x, y) f (xi , yi ) (xi , yi) y x x R D The rectangles lying within R form an inner Chia nhỏ miền D thành n Rectangular prism whose base has an area partition of R. Ai and whose height is f xi, yi miền con Figure 14.9 hình chữ nhật Di Figure 14.10 với diện tích ∆si . Trong miền Di lấy một điểm (xi , yi ). BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 4 / 35
Surface: z z Surface: z z z = f= f (x, y) z (x, y) f (xfi(xi i,)yi ) ,y (xi(xyi,)yi) , i y y y x x x x RR D The rectangles lying within R form anan inner The rectangles lying within R form inner Chia nhỏ miền D thành n Rectangular prism whose base has anan area Rectangular prism whose base has area of partition of R. partition ofcon hình chữ nhật D Ai Ai and whose height f xi,xy, yi and whose height is is f ii miền R. Figure 14.9 i Figure 14.10 Figure 14.9 Figure 14.10 với diện tích ∆si . Trong miền Di lấy một điểm (xi , yi ). BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 4 / 35
Surface: z z Surface: z z z = f= f (x, y) z (x, y) f (xfi(xi i,)yi ) ,y (xi(xyi,)yi) , i y y y x x x x RR D The rectangles lying within R form anan inner The rectangles lying within R form inner Chia nhỏ miền D thành n Khi đó giáprism whose base has an area Rectangular trị Rectangular prism whose base has an area of partition of R. partition ofcon hình chữ nhật D Ai Ai and whose height f xi,xy, yi and whose height is is f ii miền R. Figure 14.9 i Figure 14.10 Figure 14.9 Figure 14.10 i , yi ).∆si f (x với diện tích ∆si . Trong miền Di lấy một điểm là thể tích của một khối lăng (xi , yi ). trụ con thứ i. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 4 / 35
gles, as shown in Example 1. z y x Volume approximated by rectangular prisms Figure 14.11 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 5 / 35
gles, as shown in Example 1. z Thể tích của vật thể có thể được tính xấp xỉ bằng cách lấy tổng của n khối lăng trụ con này n V (Ω) f (xi , yi ).∆si . y i=1 x Volume approximated by rectangular prisms Figure 14.11 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 5 / 35
gles, as shown in Example 1. z Thể tích của vật thể có thể được tính xấp xỉ bằng cách lấy tổng của n khối lăng trụ con này n V (Ω) f (xi , yi ).∆si . y i=1 x Giá trịapproximated by rectangular Volume xấp xỉ này càng chính xác khi ta chia miền D càng "mịn". prisms Figure 14.11 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 5 / 35
2. Định nghĩa tích phân kép Cho hàm hai biến z = f (x; y) xác định trong miền đóng, bị chặn D ⊆ R2 . BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 6 / 35
2. Định nghĩa tích phân kép Cho hàm hai biến z = f (x; y) xác định trong miền đóng, bị chặn D ⊆ R2 . Chia miền D thành n miền nhỏ D1 , D2 , . . ., Dn không giẫm nhau, có diện tích tương ứng là ∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn . BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 6 / 35
2. Định nghĩa tích phân kép Cho hàm hai biến z = f (x; y) xác định trong miền đóng, bị chặn D ⊆ R2 . Chia miền D thành n miền nhỏ D1 , D2 , . . ., Dn không giẫm nhau, có diện tích tương ứng là ∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn . Trong mỗi miền Dk , lấy một điểm bất kỳ Mk (xk ; yk ). BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 6 / 35
2. Định nghĩa tích phân kép Cho hàm hai biến z = f (x; y) xác định trong miền đóng, bị chặn D ⊆ R2 . Chia miền D thành n miền nhỏ D1 , D2 , . . ., Dn không giẫm nhau, có diện tích tương ứng là ∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn . Trong mỗi miền Dk , lấy một điểm bất kỳ Mk (xk ; yk ). n Lập tổng tích phân: Sn = f (xk , yk ).∆sk . k=1 Sn phụ thuộc vào cách chia D và cách lấy Mk . BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 6 / 35
Đặt d(Dk ) là đường kính của Dk , tức d(Dk ) là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trong Dk . Nếu giới hạn n S= lim Sn = lim f (xk , yk ).∆sk n→+∞ n→+∞ ( max d(Dk )→0) ( max d(Dk )→0) k=1 1≤k≤n 1≤k≤n tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D, không phụ thuộc vào cách lấy Mk thì ta nói f khả tích trên D, và tích phân kép của f trên D có giá trị S , ký hiệu f (x, y)ds = S. D trong đó ds là yếu tố diện tích. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 7 / 35
Chú ý. Giá trị f (x, y)ds có thể âm, dương hoặc bằng 0. D BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 8 / 35
o biến x. y = ϕ1 (x) Chú ý. O a b x Giá trị f (x, y)ds có thể âm, dương hoặc bằng 0. D y u ý. Vì tích phân kép không ụ thuộc vào cách chia miền D Ta có thể chia D bởi n có thể chia D bởi các đường các đường thẳng song ng song song với các Ox và Oy . ∆yk song các trục trục tọa Dk Ox và Oy. Khi đó ∆Sk = k .∆yk , suy ra dS = dx.dy. Dok Khi đó ∆sk = ∆xk .∆y . tích phân kép thường ký hiệu x ¨ O ∆xk f (x, y)dxdy. D ứng minh. (a) Trước hết ta xét f (x, y) ≥ 0 và f liên tục trên miền D BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 8 / 35
o biến x. y = ϕ1 (x) Chú ý. O a b x Giá trị f (x, y)ds có thể âm, dương hoặc bằng 0. D y u ý. Vì tích phân kép không ụ thuộc vào cách chia miền D Ta có thể chia D bởi n có thể chia D bởi các đường các đường thẳng song ng song song với các Ox và Oy . ∆yk song các trục trục tọa Dk Ox và Oy. Khi đó ∆Sk = k .∆yk , suy ra dS = dx.dy. Dok Khi đó ∆sk = ∆xk .∆y . tích phân kép ds = dx.dy hiệu Suy ra thường ký . x ¨ O ∆xk f (x, y)dxdy. D f (x, y)ds = f (x, y)dxdy. ứng minh. (a) Trước hết ta xét f (x, y) ≥ 0 và f liên tục trên miền D D D BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 8 / 35
3. Điều kiện khả tích Đường cong (C) có phương trình tham số x = x(t), y = y(t) được gọi là → − → − → − đường cong trơn nếu hàm vector →(t) = x (t) i + y (t) j khác 0 . − r BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 9 / 35
D 3. Điều kiện y)dS = tích Vậy f (x, khả lim ¨ n f (xk , yk ).∆Sk . max d(Dk )→0 D k=1 Đường cong Hàm fcó hàm dưới dấu tích thammiền x = miền , y tíchy(t) được gọi là (C) là phương trình phân, số D là x(t)lấy = phân, dS → − → − → − đường cong trơn nếu hàm vector →(t) = x tích + y (t) j − là yếu tố diện tích. Khi đó ta nói hàm f khả (t) itrên miền D. khác 0 . r Cho đường cong (C) với phương trình tham số Đường cong trơn từng khúc là đường cong có thể chia thành hữu hạn cung cong trơn. x = x(t) y = y(t) Đường cong trơn Đường cong trơn từng khúc Đường cong (C) được gọi là trơn nếu hàm − (t) = x (t).− + y (t).− → r → i → j là một hàm vector liên tục khác 0 (nghĩa là các hàm x (t), y (t) là liên tục và không đồng thời bằng 0). Đường cong (C) được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành BM Toán-Cơ-Tinhữu hạn cung trơn. Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP học (Khoa KHCB) 14/9/2020 9 / 35
D 3. Điều kiện y)dS = tích Vậy f (x, khả lim ¨ n f (xk , yk ).∆Sk . max d(Dk )→0 D k=1 Đường cong Hàm fcó hàm dưới dấu tích thammiền x = miền , y tíchy(t) được gọi là (C) là phương trình phân, số D là x(t)lấy = phân, dS → − → − → − đường cong trơn nếu hàm vector →(t) = x tích + y (t) j − là yếu tố diện tích. Khi đó ta nói hàm f khả (t) itrên miền D. khác 0 . r Cho đường cong (C) với phương trình tham số Đường cong trơn từng khúc là đường cong có thể chia thành hữu hạn cung cong trơn. x = x(t) y = y(t) Đường cong trơn Đường cong trơn từng khúc Đường cong (C) được gọi là trơn nếu hàm Điều kiện khả tích − (t) = x (t).− + y (t).− → r → i → j Nếu hàm một hàm vector liên tục trên miền D ⊆xR2 yđóng, bị chặn là hai biến f liên tục khác 0 (nghĩa là các hàm (t), (t) là liên và có biên và không đồngcong trơn từng khúc thì f khả tích trên D. tục là đường thời bằng 0). Đường cong (C) được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành BM Toán-Cơ-Tinhữu hạn cung trơn. học (Khoa KHCB) Chương 1. TÍCH PHÂN KÉP 14/9/2020 9 / 35