Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 3

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 3 - Chương 3 Tích phân đường, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa tích phân đường loại; Tính chất; Công thức tính tích phân đường loại; Định nghĩa tích phân đường loại; Công thức tính tích phân đường loại; Tích phân không phụ thuộc đường đi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 3

TOÁN CAO CẤP 3 Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG BỘ MÔN TOÁN-CƠ-TIN HỌC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngày 16 tháng 10 năm 2020 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 1 / 33
Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 Định nghĩa tích phân đường loại 1 Tính chất Công thức tính tích phân đường loại 1 2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 Định nghĩa tích phân đường loại 2 Tính chất Công thức tính tích phân đường loại 2 Tích phân không phụ thuộc đường đi BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 2 / 33
1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 3 / 33
1.1. Định nghĩa tích phân đường loại 1 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 4 / 33
Cho hàm hai biến f xác định trên cung AB trong mặt phẳng ˆ Oxy . Chia cung AB thành n cung cong con bởi các điểm chia ˆ A ≡ A0 , A1 , . . . , Ak−1 , Ak , . . . , An ≡ B. Gọi ∆sk là độ dài cung cong con Ak−1 Ak . ˚ Trên Ak−1 Ak lấy điểm Mk (xk ; yk ) tuỳ ý. ˚ n Lập tổng tích phân Sn = f (xk ; yk )∆sk . k=1 Cho n → +∞ sao cho max ∆sk → 0. Nếu Sn có giới hạn tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc cách chia AB và cách ˆ lấy các điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 1 của f (x; y) dọc theo AB . ˆ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 5 / 33
Tích phân đường loại một của hàm hai biến f (x; y) dọc theo cung cong phẳng AB được cho trong Oxy : ˆ f (x; y)ds, AB ˜ trong đó ds là yếu tố độ dài. Tích phân đường loại một của hàm ba biến f (x; y; z) dọc theo cung cong AB được cho trong không gian Oxyz : ˆ f (x; y; z)ds. AB ˜ Điều kiện khả tích. Nếu hàm f liên tục trên cung cong AB ˆ trơn từng khúc thì f khả tích trên AB . ˆ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 6 / 33
1.2. Tính chất i f (x; y)ds = f (x; y)ds. AB ˜ BA ˜ ii Độ dài cung AB : (AB) = ˆ ˆ 1.ds. AB ˜ iii [f (x; y) + α.g(x; y)]ds = f (x; y)ds + α. g(x; y)ds, AB ˜ AB ˜ AB ˜ (α = const). iv Cho C ∈ AB : ˆ f (x; y)ds = f (x; y)ds + f (x; y)ds. AB ˜ AC ˜ CB ˜ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 7 / 33
1.3. Công thức tính tích phân đường loại 1 Công thức chung Cho hàm hai biến f liên tục trên cung cong trơn từng khúc AB trong mặt phẳng Oxy được cho bởi phương trình tham số ˆ x = x(t), (t ∈ [a; b]). y = y(t), Khi đó b f (x; y)ds = f (x(t); y(t)). (x (t))2 + (y (t))2 dt. AB ˜ a BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 8 / 33
Các trường hợp riêng i Cung AB được cho bởi y = y(x), (a ≤ x ≤ b): ˜ b f (x; y)ds = f (x; y(x)). 1 + (y (x))2 dx. AB ˜ a BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 9 / 33
Các trường hợp riêng i Cung AB được cho bởi y = y(x), (a ≤ x ≤ b): ˜ b f (x; y)ds = f (x; y(x)). 1 + (y (x))2 dx. AB ˜ a ii Cung AB được cho bởi x = x(y), (c ≤ y ≤ d): ˜ d f (x; y)ds = f (x(y); y). (x (y))2 + 1dy. AB ˜ c BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 9 / 33
Các trường hợp riêng i Cung AB được cho bởi y = y(x), (a ≤ x ≤ b): ˜ b f (x; y)ds = f (x; y(x)). 1 + (y (x))2 dx. AB ˜ a ii Cung AB được cho bởi x = x(y), (c ≤ y ≤ d): ˜ d f (x; y)ds = f (x(y); y). (x (y))2 + 1dy. AB ˜ c iii Cung AB có phương trình trong toạ độ cực là ˜ r = r(ϕ), (α ≤ ϕ ≤ β ): β f (x; y)ds = f (r(ϕ) cos ϕ; r(ϕ) sin ϕ). (r(ϕ))2 + (r (ϕ))2 dϕ. AB ˜ α BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 9 / 33
Trường hợp hàm ba biến Cho hàm ba biến f liên tục trên cung cong trơn từng khúc AB trong không gian Oxyz được cho bởi phương trình tham ˆ số   x = x(t), y = y(t), (t ∈ [a; b]). z = z(t),  Khi đó f (x; y; z)ds = AB ˜ b f (x(t); y(t); z(t)). (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt. a BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 10 / 33
Ví dụ Tính các tích phân sau 1 x2 + y 2 ds với (C) là nửa đường tròn (C) x2 + y 2 = 2x, y ≥ 0. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 11 / 33
Ví dụ Tính các tích phân sau 1 x2 + y 2 ds với (C) là nửa đường tròn (C) x2 + y 2 = 2x, y ≥ 0. 2 (x2 + y 2 + z 2 )ds trong đó (C) là cung của đường xoắn ốc (C) √ x = 3 cos(t), y = 3 sin(t), z = 4t, (0 ≤ t ≤ 2). BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 11 / 33
2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 12 / 33
2.1. Định nghĩa tích phân đường loại 2 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 13 / 33
Cho hàm hai biến P xác định trên cung AB trong mặt phẳng ˆ Oxy . Chia cung AB thành n cung cong con bởi các điểm chia ˆ A ≡ A0 , A1 , . . . , Ak−1 , Ak , . . . , An ≡ B. Giả sử Ak (xk ; yk ), (0 ≤ k ≤ n). Gọi ∆sk là độ dài cung cong con Ak−1 Ak và ∆xk = xk − xk−1 , (1 ≤ k ≤ n). ˚ Trên Ak−1 Ak lấy điểm Mk (xk ; yk ) tuỳ ý. ˚ n Lập tổng tích phân Sn = f (xk ; yk )∆xk . k=1 Cho n → +∞ sao cho max ∆sk → 0. Nếu Sn có giới hạn tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc cách chia AB và cách ˆ lấy các điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 2 của P (x; y) theo biến x dọc theo AB . ˆ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 14 / 33
Tích phân đường loại hai của hàm P (x; y) theo biến x dọc theo cung cong phẳng AB được cho trong Oxy : ˆ P (x; y)dx. AB ˜ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 15 / 33
Tích phân đường loại hai của hàm P (x; y) theo biến x dọc theo cung cong phẳng AB được cho trong Oxy : ˆ P (x; y)dx. AB ˜ Tương tự, tích phân đường loại hai của hàm Q(x; y) theo biến y dọc theo cung cong phẳng AB được cho trong Oxy : ˆ Q(x; y)dy. AB ˜ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 15 / 33
Tích phân đường loại hai của hàm P (x; y) theo biến x dọc theo cung cong phẳng AB được cho trong Oxy : ˆ P (x; y)dx. AB ˜ Tương tự, tích phân đường loại hai của hàm Q(x; y) theo biến y dọc theo cung cong phẳng AB được cho trong Oxy : ˆ Q(x; y)dy. AB ˜ Ta có thể ký hiệu: P (x; y)dx + Q(x; y)dy = P (x; y)dx + Q(x; y)dy. AB ˜ AB ˜ AB ˜ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 16/10/2020 15 / 33