SỐ 59/2020
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI
VÉC TƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ PHI TUYẾN CỰC TRỊ
Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh
Email: halongxanh82@gmail.com
Lê Thanh Tuyền
Từ khóa:
Tel: +84-xxxxxxxxxx; Mobile: 0989844610
Tóm tắt
Trong bài báo này trước hết chúng tôi đưa ra các định nghĩa: Toán tử lõm chính quy, toán tử cực trị, đạo hàm tiệm cận. Thứ hai chúng ta nghiên cứu một vài tính chất của đạo hàm tiệm cận và cuối cùng nghiên vê sự tồn tại véc tơ riêng của toán tử cực trị.
Véc tơ riêng; Toán tử lõm chính quy; Toán tử phi tuyến cực trị; Toán tử cực trị 1. GIỚI THIỆU
gọi là toán tử cực trị
đơn điệu và dương trên nón ;
Nhận xét. Toán tử lõm chính quy có thể không có tính chất u0- đo được tức là có thể không là toán tử lõm. Định nghĩa 4[1]. Toán tử (hay đơn giản là cực trị), nếu: i) Toán tử ii) Đối với dãy bất kì tăng, bị chặn trên và bị chặn theo chuẩn : nghĩa là:
,
,
đồng thời với dãy bất kì giảm, bị chặn dưới và bị chặn theo chuẩn , nghĩa là:
,
,
các phần tử , tồn tại và thuộc .
Trong toán học, vật lý và kỹ thuật có rất nhiều vấn đề mà việc giải quyết chúng đều dẫn đến việc xét bài toán tìm véctơ riêng và giá trị riêng của các toán tử. Đặc biệt, M.A. Craxnoxenxki, I.A. Baxtin và nhiều nhà toán học khác đã đưa ra và xét các toán tử lõm. Tuy nhiên, một trong những điều kiện quan trọng nhất trong định nghĩa toán tử lõm lại phức tạp, do đó, việc ứng dụng các kết quả đã đạt được theo hướng này gặp khó khăn đối với những lớp toán tử không thỏa mãn điều kiện kể trên nhưng lại có tính chất phổ dụng như toán tử lõm. Một trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tử phi tuyến cực trị. 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1[1]. E là một không gian Banach thực, là véc tơ gốc của E. Ta nói, K là một nón của E Định nghĩa 5[1]. Toán tử tuyến tính liên tục Q gọi trên nón K, nếu là đạo hàm tiệm cận của toán tử
, trong đó . nếu : +) K là tập đóng, khác rỗng. +) .
+)
dương trên nón thì và cũng dương trên nón .
2.2 Tính chất của đạo hàm tiệm cận Định lí 1[2]. Nếu toán tử toán tử Chứng minh Với ta có: (
kí hiệu phần tử không). Suy ra,
, Ví dụ. Cho Khi đó K là một nón trên E. Định nghĩa 2[1]. Cho E là một không gian Banach thực, K là một nón trên E. Ta có thể chỉ ra được quan hệ “<” là một quan hệ sắp thứ tự nghiêm ngặt trong không gian E. Lúc này ta nói không gian Banach thực E cùng với nón K là một không gian Banach nửa sắp thứ tự. Cho không gian Banach E nửa sắp thứ tự với
hay , . được gọi là lõm chính
nón và toán tử Định nghĩa 3[1]. Toán tử quy, nếu: i) dương và đơn điệu trên nón . hoặc . ii)
Cho ta được ta có .
23
KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI
SỐ 59/2022
. . , nên . □ Do Định lí 2[2]. Nếu A là toán tử lõm chính quy thì Hay (1)
Chứng minh * Ta chứng minh là toán tử lõm Định lí hiển nhiên đúng khi .
Giả sử . Do là toán tử lõm, nên
chính quy. Thật vậy: Hiển nhiên, toán tử A1 đơn điệu và dương trên nón K. Với và . tồn tại sao cho Ta có
.
Nên A1 là toán tử lõm chính quy.
* Tiếp theo ta chứng minh là đạo Cho ta được . hàm tiệm cận của toán tử A1 và có bán kính phổ
□ . Thật vậy:
Hiển nhiên, Q1 là toán tử tuyến tính liên tục tác dụng trong không gian E. Theo giả thiết, Q là đạo hàm tiệm cận của toán tử A theo nón K, nên Vì vậy, 2.3. Sự tồn tại véc tơ riêng của toán tử cực trị Định lí 3[3]. Giả sử toán tử lõm chính quy A thoả mãn điều kiện: i) Toán tử cực trị, bị chặn theo chuẩn và bị : chặn trên bởi phần tử trên nón ;
sao cho , tiệm cận của A và có trong ii) Toán tử tuyến tính liên tục Q là đạo hàm vectơ riêng xq nên bằng bán kính
có trong véctơ riêng.
tương ứng với giá trị riêng phổ r(Q) của toán tử Q. Khi đó toán tử Chứng minh . Giả sử t0 là một số cố định tuỳ ý thuộc
khoảng . Đặt .
Theo Định lí 2, .
Do đó Q1 là đạo hàm tiệm cận của toán tử A1 theo nón K. Theo định nghĩa, bán kính phổ r(Q) của toán tử tuyến tính bị chặn Q là: Với số bất kì ta có
(theo giả thiết), . nên
Tồn tại số sao cho
Nhờ (1) ta có
(2) với
.
KH&CN QUI
24
SỐ 59/2020
3. KẾT LUẬN
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI Do
, tìm được số sao cho
.
. Do đó: Theo điều kiện i),
(3)
(4) Trong bài báo chúng tôi đã trình bày cụ thể các khái niệm: toán tử lõm chính quy, toán tử phi tuyến cực trị, đạo hàm tiệm cận, đó đưa ra một vài tính chất của đạo hàm tiệm cận. Từ đó đã chứng minh được các định lý về sự tồn tại véctơ riêng của toán tử phi tuyến cực trị.
chứng (2), (3), tỏ Hiển nhiên A1 cũng là toán tử cực trị. Các hệ dãy (4) thức tăng, bị chặn trên bởi phần
và bị chặn theo chuẩn. Từ đó và từ tử tính cực trị của toán tử A1 suy ra phần tử tồn tại và thuộc
Các điều kiện của Định lí 1 thoả mãn tất cả các điều kiện của Định lí 2. Vì vậy, toán tử A1 có điểm và khác không: thuộc bất động TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các điểm bất động của toán tử chính quy”, Tạp chí toán học, tập 15 (số 1), (tr 27 –32). [2] Nguyễn Phụ Hy (1989), “Về một lớp phương trình phi tuyến”, Thông tin khoa học ĐHSP Hà Nội II, (số 2), (tr23 – 30). [3] Nguyễn Phụ Hy (1991), “Một số định lí về nón trong không gian định chuẩn”, Thông tin khoa học ĐHSP Hà Nội II, (số 2), (tr2 – 8).
, nghĩa là toán tử A có
véctơ riêng.
