Tính chất đặc trưng của hàm lồi xấp xỉ: Một số thông tin cần biết

Journal of Science – Phu Yen University, No.34 (2024), 95-102 95

ạ ọ Trường Đạ ọ ố

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI XẤP XỈ

Phùng Xuân Lễ

Trường Đại học Phú Yên

Email: phungxuanle@gmail.com

Ngày nhận bài: 02/05/2024; Ngày nhận đăng: 03/06/2024

Tóm tắt

Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số kết quả của hàm lồi xấp xỉ định nghĩa

trên không gian Banach

Các kết quả này đã được đưa ra bởi các tác giả Huỳnh Văn Ngãi,

Nguyễn Hữu Trọn và Michel Théra. Tuy nhiên, hầu hết chứng minh vắn tắt hoặc không chứng

minh. Ở đây, chúng tôi trình bày với chứng minh chặt chẽ và chi tiết.

Từ khóa: Hàm lồi xấp xỉ, hàm





lồi, hàm





liên hợp.

Some characteristic properties of the convex approximate function

Phung Xuan Le

Phu Yen University

Received: May 02, 2024; Accepted: June 03, 2024

Abstract

In this article, we present some results of approximate convex functions defined on

Banach X space. These results were given by Huynh Van Ngai, Nguyen Huu Tron and Michel

Théra. However, most of them were not proved in full detail. In here, we present them in more

detail with proof.

Keywords: Approximate convex function,





convex function,





conjugate function.

1. Đặt vấn đề

Lớp các hàm lồi đóng một vai trò quan trọng trong Toán học và các ngành khoa học

ứng dụng. Suốt thập kỷ qua, nhiều kết quả được mở rộng dựa vào tính lồi. Tuy nhiên, tính

lồi thường là những giả thiết quá mạnh trong việc ứng dụng, chẳng hạn như trong Toán kinh

tế. Nhiều vấn đề trong thực tiễn, ta phải làm việc với những đối tượng nói chung không lồi

theo nghĩa chính thống. Vì vậy, việc khảo sát những đối tượng (tập hợp, hàm) không lồi

nhưng vẫn giữ được một số tính chất đẹp của tính lồi là có ý nghĩa quan trọng. Những đối

tượng như thế được gọi là lồi tổng quát.

Gần đây, người ta quan tâm nhiều đến các lớp hàm lồi tổng quát như lớp các hàm

dưới

,C

dưới

C

; hàm nửa trơn; hàm lồi xấp xỉ. Trong bài báo này chỉ khảo sát, nghiên

cứu một số tính chất đặt trưng của hàm lồi xấp xỉ.

2. Các khái niệm và định lý

Một số khái niệm liên quan đến trong phần này mà không nhắc đến trong bài báo,

có thể tìm thấy trong (Aubin & Frankowska, 1990; Yên, 2007; Tuy, 1997).

2.1. Một số khái niệm về hàm lồi và hàm





lồi.

Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 34 (2024), 95-102

Phần này trình bày một số khái niệm sẽ được dùng ở phần sau.

Định nghĩa 2.1.1 (Aubin & Frankowska, 1990). Hàm

được gọi là hàm lồi nếu thỏa mãn

bất đẳng thức sau

 

     

1 1,f x y fx fy

  

  

với mọi

 

, , 0,1 .xy X





Định nghĩa 2.1.2 (Aubin & Frankowska, 1990). Giả sử

là không gian Banach. Hàm

:fX

được gọi là Lipschitz địa phương tại

,xX

nếu tồn tại lân cận

của

,xX

số

0K

sao cho

   

,fx fx Kx x



 

với mọi

, .xx U



Định nghĩa 2.1.3 (Aubin & Frankowska, 1990). Hàm

được gọi là nửa liên tục dưới tại

,xX

nếu với mọi





tồn tại lân cận

của

sao cho

   

,fx fy





với mọi

.yU

Định nghĩa 2.1.4 (Hoang Tuy, 1997). Hàm

được gọi là hàm





lồi nếu thỏa mãn bất

đẳng thức sau

 

       

1 1 1,f x y fx fy x y

     

     

 

, , 0,1 .xy X





Ví dụ. Hàm

:f

xác định bởi

 

fx x 

là hàm

2

lồi.

Định nghĩa 2.1.5 (Hoang Tuy, 1997). Cho

là hàm





lồi,

yX

cố định. Hàm





liên

hợp

   

, . :





 

của

tại

được định nghĩa bởi

   

 

, : sup , .

f x fx x y

  





  

2.2. Một số khái niệm về hàm lồi xấp xỉ

Phần này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của hàm lồi xấp xỉ trên không gian

Banach.

Cho

 

:fX 

là hàm nửa liên tục dưới. Với mỗi





ta định nghĩa hàm



như sau

   

 

, ,

, , .

f x x Bx

fx x Bx













Định nghĩa 2.2.1. Hàm

gọi là lồi xấp xỉ tại

xX

nếu với mỗi





tồn tại





sao cho



là hàm





lồi, tức là với mỗi





tồn tại





sao cho

 

       

1 1 1,f x y fx fy x y

     

     

 

, , , 0,1 .xy Bx





Hàm

lồi xấp xỉ trên một tập khác rỗng

CX

nếu

là hàm lồi xấp xỉ tại mọi

.xC

Khi

CX

ta nói

là hàm lồi xấp xỉ.

Nhận xét 2.2.2. Từ định nghĩa ta thấy, một hàm lồi là lồi xấp xỉ điều ngược lại nói chung

không đúng. Chẳng hạn, lấy hàm

:f

xác định bởi

 

.fx x 

Khi đó,

là hàm

lồi xấp xỉ nhưng không là hàm lồi. Thật vậy,





, chọn







Khi đó, với mọi

Journal of Science – Phu Yen University, No.34 (2024), 95-102 97

ạ ọ Trường Đạ ọ ố

 

0,1 ,





, , , ,xy x y





ta có

 

     

22 2

1 1 1 21 ,fxyxyx y xy

    



      



       

22 2

1 1.fx fy x y

  

  

Do đó

 

       

1 11f x y fx fy x y

     

     

       

   

22 2 2 2

1 1 21 1

1 0, , .

x x y y xy x y

x y xy x y

xy xy x y

     

   

  

        

      



      



Điều này chứng tỏ

là hàm lồi xấp xỉ. Nhưng

không là hàm lồi, vì với mọi

 

0,1 ,





với mọi

,xy

ta có

  

10xy



 

nên

 

       

1 1 , 0,1 ,f x y fx fy

   

   

với mọi

.xy

2.3. Một số tính chất đặt trưng của hàm lồi xấp xỉ

Phần này, tôi trình bày một số tính chất cơ bản nhất có thể gọi là đẹp của hàm lồi

xấp xỉ trên không gian Banach.

Định nghĩa 2.3.1 (Aubin & Frankowska, 1990; Yên, 2007). Dưới vi phân của hàm

tại

ký hiệu

 

,fx

được định nghĩa như sau

     

 

: ,, .fx x X fx fx xx x x X

 

      

Định nghĩa 2.3.2 (Yên, 2007). Dưới vi phân Clarke của hàm

tại

,x domf

ký hiệu

 

Cfx

được định nghĩa như sau

   

 

: , ,, .

Cf x x X x v f xv v X

  

    

Định nghĩa 2.3.3 (Yên, 2007). Dưới vi phân Fréchet của hàm

tại

,x domf

ký hiệu

 

Ffx

được định nghĩa như sau

     

: lim inf 0 .

fx h fx xh

fx x X h









 



 







Định nghĩa 2.3.4 (Yên, 2007).





dưới vi phân của hàm

tại

,x domf

ký hiệu

 

Ffx





được định nghĩa như sau

     

: lim inf .

fx h fx xh

fx x X h











 



   







Định nghĩa 2.3.5 (Yên, 2007). Dưới vi phân Mordu Khovich của hàm

tại

,x domf

ký

Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 34 (2024), 95-102

hiệu

 

Mfx

được định nghĩa như sau

   

lim sup .

f x seq f y





 

trong đó,

" limsup"seq 

ký hiệu giới hạn trên Pailevé-Kuratowski của một tập, tức là

 

 

lim sup : , , .

nn n n

seq fyxXxxxxx fx



   



       

Định lý 2.3.6 (Ngai, Tron, & Thera, 2000). Giả sử

 

:fX 

là hàm nửa liên tục

dưới, chính thường. Nếu

là hàm lồi xấp xỉ tại

 

x Int domf

thì

Lipschitz địa

phương tại

Chứng minh. Vì

là hàm lồi xấp xỉ tại

nên tồn tại





và





sao cho

 

0,B x domf





và

 

       

 

1 1 1 , , , , 0,1f x y f x f y x y xy Bx

       

        

Trước hết ta chứng tỏ

bị chặn địa phương tại

. Lấy

 

 

: , / , 1, 2... .

U x B x f x nn



 

Khi đó,

 

Bx U







và

đóng

n

Thật vậy, hiển nhiên

 

U Bx





, vì

 

0,B x domf





nên ta có bao hàm thức

ngược lại. Cố định

, lấy dãy

 

m nm

u Uu u

Ta chứng tỏ

uU

. Vì

 

u Bx





nên

ux m



 

. Do đó





, với

đủ lớn. Vì

là hàm

nửa liên tục dưới nên với mọi





, tồn tại

U

lân cận của

sao cho

 

0,.fu f y y U



  

uu

nên với

đủ lớn ta có

   

fu fu n



 

Cho





ta được

 

,fu n

với

đủ lớn. Điều này chứng tỏ

uU

Vậy

đóng

n

Theo Định lý Baire,

0:.

n IntU 

Giả sử

z IntU

do đó





sao cho

 

Bx U





Chọn





sao cho

 

0 0 00

y x z Bx









và chọn







 

Khi đó,

   

000

, ,: .

x B x z y x y IntU



    

Thật vậy,

     

0 00 0 00 0 0 1

,zz y z xy y x xy xx

     

 

tức là

 

z Bz U





Vì

 

,,zy Bx





nên theo (1) ta có

 

1fx f z y





 

(1)

Journal of Science – Phu Yen University, No.34 (2024), 95-102 99

ạ ọ Trường Đạ ọ ố

 

1 1 11

1 1 2.

fz fy y z

n fy

   

    

  

    

   

Như vậy,

bị chặn trên

 

0,Bx



, do đó tồn tại

0M

sao cho

 

fx M

 

,.x Bx





Với mọi

   

00 0

, , 2 ,x Bx x x Bx



 

nên ta có

   

fx f x x x









 

22 2

11 .

2 22

fx f x x x x

fx M





   

 

Suy ra

 

   

2 2, , .fx fx M x Bx

 

   

Với

xy B x









thì

 

   

: , , , .

z x x y Bx Bx x y

 





   





Khi đó,

       

22 2

22 2 2 2

fx f z y fz fy z y

    

    



    



   



Vì

 

,,f x M x Bx



 

nên

       

 

fx fy fz fy x y





   



   

 

fz fy xy xy

 





     





Đổi vai trò

và

ta được

   

fy fx x y







 





Do đó

   

fy fx x y







 





Vậy

là hàm Lipschizt địa phương tại

Định lý 2.3.7 (Ngai, Tron, & Thera, 2000; Yên, 2007). Nếu

 

:fX 

là hàm nửa

liên tục dưới, lồi xấp xỉ tại

x domf

thì mọi

,vX

đạo hàm theo phương của

     

, lim

fx tv fx

f xv t







tồn tại và tuyến tính dưới trên

Chứng minh. Vì

lồi xấp xỉ tại

0,x

với mọi





tồn tại





và một hàm lồi nửa liên

tục dưới

 

sao cho

(2)

(3)

Một số tính chất đặc trưng của hàm lồi xấp xỉ

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi