Bài giảng Vi tích phân 2B: Giải tích vector

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vi tích phân 2B: Giải tích vector, cung cấp cho người học những kiến thức như tích phân đường loại 1; tích phân đường loại 2; định lý Green; trường bảo toàn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vi tích phân 2B: Giải tích vector

HCMUS Giải tích vector -Vector Calculus-
BẢNG NỘI DUNG 01 Tích phân đường 02 Trường bảo toàn 03 Định lý Green
01 Tích phân đường
BẢNG NỘI DUNG 01 Tích phân đường 02 Định lý Green 03 Trường bảo toàn
Tích phân đường loại 1
Tích phân đường loại 1 𝑦 𝐶 𝑓 𝑥; 𝑦 𝑀 𝑥; 𝑦 𝑆 = න 𝑓 𝑥; 𝑦 d𝑠 𝐶 𝑥
Tích phân đường loại 1 d𝑥 2 + d𝑦 2 𝑏 𝑥= 𝑔 𝑦 2 ቊ ⇒ 𝑆=න 𝑓 𝑔 𝑦 ; 𝑦 𝑔′ 𝑦 + 1d𝑦 𝑎< 𝑦< 𝑏 𝑎 𝑑 𝑆 = න 𝑓 𝑥; 𝑦 d𝑠 𝑦=ℎ 𝑥 2 ቊ ⇒ 𝑆 = න 𝑓 𝑥; ℎ 𝑥 1 + ℎ′ 𝑥 d𝑥 𝐶 𝑐< 𝑥< 𝑑 𝑐 𝑛 𝑥= 𝑔 𝑡 ; 𝑦=ℎ 𝑡 2 2 ቊ ⇒ 𝑆 = න 𝑓 𝑔 𝑡 ;ℎ 𝑡 𝑔′ 𝑡 + ℎ′ 𝑡 d𝑡 𝑚< 𝑡< 𝑛 𝑚
Tích phân đường loại 2
Tích phân đường loại 2 𝑦 Ԧ 𝑥; 𝑦 = 𝐹 𝑃 𝑥; 𝑦 ; 𝑄 𝑥; 𝑦 𝐴 𝑆 = න Ԧ 𝑥; 𝑦 ⋅ d Ԧ 𝐹 𝑟 𝑀 𝑥; 𝑦 𝐴𝐵 𝐵 𝑆 = න 𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝑄 𝑥; 𝑦 d𝑦 𝐴𝐵 𝑥
Tích phân đường loại 2 𝑆 = න 𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝑄 𝑥; 𝑦 d𝑦 𝐴𝐵 𝑦𝐵 𝑥= 𝑔 𝑦 ⇒ 𝑆=න 𝑃 𝑔 𝑦 ; 𝑦 𝑔′ 𝑦 + 𝑄 𝑔 𝑦 ; 𝑦 d𝑦 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝑦=ℎ 𝑥 ⇒ 𝑆=න 𝑃 𝑥; ℎ 𝑥 + 𝑄 𝑥; ℎ 𝑥 ℎ′ 𝑥 d𝑥 𝑥𝐴 𝑡𝐵 𝑥= 𝑔 𝑡 ; 𝑦=ℎ 𝑡 ⇒ 𝑆=න 𝑃 𝑔 𝑡 ;ℎ 𝑡 𝑔′ 𝑡 + 𝑄 𝑔 𝑡 ; ℎ 𝑡 ℎ′ 𝑡 d𝑡 𝑡𝐴
02 Định lý Green
(𝑃, 𝑄 và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền 𝐷) 𝑦 Ԧ 𝑥; 𝑦 = 𝐹 𝑃 𝑥; 𝑦 ; 𝑄 𝑥; 𝑦 𝐶 ර 𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝑄 𝑥; 𝑦 d𝑦 𝐶 𝐷 = ඵ 𝑄′𝑥 − 𝑃′ d𝐴 𝑦 𝐷 𝑥
03 Trường bảo toàn
4 mệnh đề sau tương đương (𝑃, 𝑄 và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền 𝐷) 𝑃′ = 𝑄 ′𝑥 (sử dụng nhiều) 𝑦 𝐶 Ԧ 𝑥; 𝑦 𝐹 ර 𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝑄 𝑥; 𝑦 d𝑦 = 0 = 𝑃 𝑥; 𝑦 ; 𝑄 𝑥; 𝑦 𝐷 𝐶 là trường bảo toàn 𝑃 = 𝑢′𝑥 ∇𝑢 = Ԧ 𝐹 ∃𝑢: 𝑑𝑢 = 𝑃d𝑥 + 𝑄d𝑦 ⇒ ൝ ⇒ 𝑢 là hàm thế với ∇𝑢 = 𝑢′𝑥 , 𝑢′𝑦 𝑄 = 𝑢′𝑦 (vi phân toàn phần) 𝐴 𝐷 න 𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝑄 𝑥; 𝑦 d𝑦 = 𝑢 𝐴 − 𝑢 𝐵 𝐴𝐵 (tích phân không phụ thuộc vào 𝐵 đường lấy tích phân)
Cách tìm hàm thế ∇𝑢 = Ԧ 𝐹 𝑢′𝑥 = 𝑃 𝑥; 𝑦 1 Cách 1: ൝ ′ 𝑢 𝑦 = 𝑄 𝑥; 𝑦 2 𝜕 1 ⇒ 𝑢 = න𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝐶 𝑦 ⇒ 𝑢′𝑦 = න𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝐶 ′ 𝑦 3 𝜕𝑦 𝜕 2 , 3 ⇒ න𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + 𝐶 ′ 𝑦 = 𝑄 𝑥; 𝑦 ⇒ 𝐶 ′ 𝑦 ⇒ 𝐶 𝑦 ⇒ 𝑢 𝜕𝑦 Cách 2: 𝑥 𝑦 𝑢 = න 𝑃 𝑥; 𝑦 d𝑥 + න 𝑄 𝑥; 𝑦 d𝑦 𝑥0 𝑦0