Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 3 - Chương 2 Tích phân bội ba, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa tích phân bội ba; Các tính chất cơ bản; Cách tính tích phân bội ba; Công thức đổi biến trong tích phân bội ba; Công thức đổi biến sang toạ độ trụ; Công thức đổi biến sang toạ độ cầu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 2

TOÁN CAO CẤP 3 Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA BỘ MÔN TOÁN-CƠ-TIN HỌC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngày 28 tháng 9 năm 2020 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 1 / 25
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 1 Định nghĩa tích phân bội ba 2 Các tính chất cơ bản 3 Cách tính tích phân bội ba 4 Công thức đổi biến trong tích phân bội ba 5 Công thức đổi biến sang toạ độ trụ 6 Công thức đổi biến sang toạ độ cầu BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 2 / 25
1. Định nghĩa tích phân bội ba BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 3 / 25
Cho hàm ba biến w = f (x; y; z) xác định trong miền đóng, bị chặn Ω ⊆ R3 . Chia miền Ω thành n miền nhỏ Ω1 , Ω2 , . . ., Ωn không giẫm nhau, có diện tích tương ứng là ∆v1 , ∆v2 , . . . , ∆vn . Trong mỗi miền Ωk , lấy một điểm bất kỳ Mk (xk ; yk ; zk ). n Lập tổng tích phân: Sn = f (xk , yk ; zk ).∆vk . k=1 Sn phụ thuộc vào cách chia Ω và cách lấy Mk . BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 4 / 25
Đặt d(Ωk ) là đường kính của Ωk . Nếu giới hạn n S= lim Sn = lim f (xk ; yk ; zk ).∆vk n→+∞ n→+∞ ( max d(Ωk )→0) ( max d(Ωk )→0) k=1 1≤k≤n 1≤k≤n tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền Ω, không phụ thuộc vào cách lấy Mk thì ta nói f khả tích trên Ω, và tích phân bội ba của f trên Ω có giá trị S , ký hiệu f (x; y; z)dv = S. Ω trong đó dv là yếu tố thể tích. Ta cũng có thể viết d v = dx d y dz . BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 5 / 25
2. Các tính chất cơ bản i Điều kiện khả tích. Mặt cong (S) có phương trình F (x; y; z) = 0 được gọi là mặt cong trơn nếu Fx , Fy , Fz liên tục và không đồng thời bằng 0 trên (S). Mặt cong trơn từng khúc là mặt cong có thể chia thành hữu hạn mặt cong trơn. Điều kiện khả tích Nếu hàm ba biến f liên tục trên miền Ω ⊆ R3 đóng, bị chặn và có biên là mặt cong trơn từng khúc thì f khả tích trên Ω. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 6 / 25
Cho f , g là hai hàm ba biến khả tích trên miền Ω ⊆ R3 . Khi đó ii Thể tích vật thể Ω: V (Ω) = 1.dv (đvtt). Ω iii C.f (x; y; z)dv = C f (x; y; z)dv , (C = const). Ω Ω iv [f (x; y; z) + g(x; y; z)] dv = Ω f (x; y; z)dv + g(x; y; z)dv . Ω Ω v Nếu Ω = Ω1 ∪ Ω2 , với Ω1 và Ω2 không giẫm nhau, thì f (x; y; z)dv = f (x; y; z)dv + f (x; y; z)dv . Ω Ω1 Ω2 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 7 / 25
vi Nếu f (x; y; z) ≥ g(x; y; z), ∀(x; y; z) ∈ Ω thì f (x; y; z)dv ≥ g(x; y; z)dv . Ω Ω Đặc biệt, nếu f (x; y; z) ≥ 0, ∀(x; y; z) ∈ Ω thì f (x; y; z)dv ≥ 0. Ω vii Định lý giá trị trung bình. Cho f liên tục trên Ω đóng, bị chặn, liên thông. Khi đó, tồn tại điểm M (x0 , y0 ; z0 ) ∈ Ω sao cho f (x; y; z)dv = f (x0 ; y0 ; z0 ).V (Ω). Ω 1 Đại lượng f (x; y; z)dv được gọi là giá trị trung V (Ω) Ω bình của hàm f trên Ω. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 8 / 25
3. Cách tính tích phân bội ba Trong không gian Oxyz , cho vật thể Ω xác định như sau: Giới hạn dưới là mặt cong z = ϕ1 (x; y). Giới hạn trên là mặt cong z = ϕ2 (x; y). Giới hạn xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song Oz , đường chuẩn là biên của miền D, với D là hình chiếu vuông góc của Ω lên Oxy . BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 9 / 25
Công thức tính tích phân bội ba   a ≤ x ≤ b, Miền Ω : ψ1 (x) ≤ y ≤ ψ2 (x) ϕ1 (x; y) ≤ z ≤ ϕ2 (x; y).  ϕ2 (x;y) f (x; y; z)dxdy dz = dx d y f (x; y; z)dz Ω D ϕ1 (x;y) b ψ2 (x) ϕ2 (x;y) = dx dy f (x; y; z)dxdy dz. a ψ1 (x) ϕ1 (x;y) BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 10 / 25
Ví dụ Tính các tích phân sau: 1 (6 − 3x − 2y)dxdy dz trong đó Ω là khối tứ diện giới Ω hạn bởi mặt phẳng 3x + 2y + z − 6 = 0 và các mặt phẳng toạ độ. 2 xdxdy dz trong đó Ω là phần vật thể giới hạn bởi Ω mặt paraboloid z = x2 + y 2 , mặt phẳng z = 4, lấy trong miền x ≥ 0, y ≥ 0. 3 Tính thể tích của vật thể Ω giới hạn bởi hai mặt paraboloid z = x2 + y 2 và z = 2 − x2 − y 2 . BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 11 / 25
MỘT SỐ MẶT BẬC HAI Ellipsoid: x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1, (a, b, c > 0). a2 b c Mặt cầu: x2 + y 2 + z 2 = R2 , (R > 0). BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 12 / 25
Hyperboloid hai tầng: x2 y 2 z 2 Hyperboloid một tầng: + 2 − 2 = −1, (a, b, c > 0). x2 y 2 z 2 a2 b c + 2 − 2 = 1, (a, b, c > 0). a2 b c BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 13 / 25
Elliptic Parapoloid: Mặt nón bậc hai: x2 y 2 x2 y 2 z2 z = 2 + 2 , (a, b > 0). + 2 = 2 , (a, b, c > 0). a b a2 b c BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 14 / 25
Mặt trụ f (x; y) = 0: Là mặt trụ có đường sinh song song trục Oz và đường chuẩn là đường con f (x; y) = 0 trong mặt phẳng Oxy . x2 y 2 x2 + 2 =1 x2 y 2 y= a2 b − 2 =1 a2 a2 b BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 15 / 25
Bài tập 1 Hãy vẽ vật thể Ω được giới hạn bởi các mặt paraboloid z = 2 + x2 + y 2 , mặt trụ x2 + y 2 = 1 và mặt phẳng Oxy . 2 Hãy vẽ vật thể Ω được giới hạn bởi các mặt nửa nón z = x2 + y 2 , mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4, lấy miền phía trên mặt phẳng Oxy . 3 Hãy vẽ vật thể Ω được giới hạn bởi các mặt paraboloid z = 4 − x2 − y 2 , mặt trụ x2 + y 2 = 1 và mặt phẳng Oxy . 4 Hãy vẽ vật thể Ω được giới hạn bởi các mặt nón z = x2 + y 2 , mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 và mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4, lấy miền ở phần không gian z ≥ 0. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 16 / 25
4. Công thức đổi biến trong tích phân bội ba Giả sử miền Γ trong không gian O uvw được biến thành miền Ω trong không gian Oxyz qua ánh xạ 1 − 1 xác định bởi hệ các hàm khả vi liên tục   x = x(u; v; w), y = y(u; v; w), thoả mãn Định thức Jacobi z = z(u; v; w),  xu xv xw D(x; y; z) J= = yu yv yw = 0, ∀(u; v; w) ∈ Γ. D(u; v; w) zu zv zw Khi đó f (x; y; z)dxdy dz = Ω f (x(u; v; w); y(u; v; w); z(u; v; w))|J|dudv dw. Γ BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 17 / 25
5. Đổi biến sang toạ độ trụ Trong không gian Oxyz , cho điểm P (x; y; z). Gọi P là hình chiếu của P lên mặt phẳng Oxy . −→− Đặt r = |OP | và ϕ = − −→ → − (Ox, OP ), (r > 0 và ϕ ∈ [0; 2π]). Ta có công thức đổi biến:   x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z.  Khi đó P (x; y; z) P (r; ϕ; z). BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 18 / 25
CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SANG TOẠ ĐỘ TRỤ TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA   x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z.  x2 + y 2 = r2 ; |J| = r. f (x; y; z)dxdy dz = f (r cos ϕ, r sin ϕ; z)rdrdϕdz. Ω Ω BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 19 / 25
Ví dụ Tính các tích phân sau 1 ez dxdy dz với Ω là vật thể được giới hạn bởi các Ω mặt z = 1 + x2 + y 2 , x2 + y 2 = 5 và mặt phẳng Oxy . 2 z dxdy dz với Ω là vật thể được giới hạn bởi mặt nửa Ω nón z = x2 + y 2 và mặt phẳng z = a > 0. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI BA 28/9/2020 20 / 25