TÍCH PHÂN BỘI BA
ĐỊNH NGHĨA
đóng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z)
Cho (cid:0) xác định trong (cid:0)
.
thành những miền con (cid:0)
Phân hoạch (cid:0) thể tích V((cid:0)
k với k), d là đường kính phân hoạch.
Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân là
n
k
k
= 1
= W (cid:0) ) ( ) S n f M V ( k
n
k
k
= 1
= W (cid:0) ) ( ) S n f M V ( k
=
(cid:0)
��� f x y z dxdydz ( , , )
gọi là tp bội ba của f trên (cid:0)
.
S lim n d 0 W
Tính chất hàm khả tích
là miền đóng và bị chận
(thể tích (cid:0)
)
Cho (cid:0) W = ��� dxdydz ) 1
( 1 V /
=
=
+
c
f
f
2 /
c f .
)
.
,
+ ��� ��� ��� ������ f g g (
W
W W W W W
,
W W W
� � khong dam nhau
1
2
1
=
f
f
W = W U � 3 / va 2 +��� ������ f
U
1
2
1
2
W W W W
Cách tính tích phân bội ba
•Giả sử (cid:0)
là vật thể hình trụ được giới hạn
trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z
= z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên
của miền D đóng và bị chận trong Oxy. •Hình chiếu của (cid:0)
lên Oxy là D.
)
=
f x y z dz dxdy ( ,
, )
��� f x y z dxdydz ( , , )
( ,
)
z x y ( , � 2 � �� � � � D z x y 1
� � � �
W
Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D
1.Biến tính trước được chọn tương ứng với biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa (cid:0)
.
2. Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích.
VÍ DỤ
1/ Tính:
I ydxdydz
= ���
W
2, x z y
Là miền ghạn bởi :
Cách 1: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z (z1, z2 là 1 trong 2 hàm z = 1 – y, z = 0).
= + = = (cid:0) y z 1, 0
2,1
W = y x - = y : 0
D hc= Oxy
2
1
= x - = y z D y : ,1 0 = - 1 0 = y z ,
ydxdydz
���
y
=
-1
1
D
� � ydz dxdy � �
W
-� 1 ��� � � � 0 -�� y (1
D 1
1
1
6
= y dxdy )
4 x + 2
2
1
x
0
= = - y dy ) 2 (cid:0) -�� dx y (1 x 3 8 35 - � 1 � 6 � � = dx � �
y
-
1
ydxdydz
= ��� ���
D
Lưu ý: có thể viết dưới dạng tp lặp 1 � � � � 0
W � � ydz dxdy � �
y
1
1
-
ydz
1
0
1 = � � � dx dy 2 x
-1
1
-
2
Cách 2: y xuất hiện 2 lần, biến tính trước là y
W = y + = x z y = z : , 1, 0
2,
x
= y x y z = - 1
1
2
= W z - = z x 0,1 :
D hc= Oxz
1
ydxdydz
z
W
=
-1
2
��� -� 1 z ��� � � � D x
� � ydy dxdz � �
2
x
1
1
2
4
-
) x dz
( � � dx (1
= - - z )
1
0
-� 1 z ��� � � � 2 D x x
1 2 - � � ydy dxdz � �
1
1
6
4
= -
1
(cid:0)
1
z
1 2 x 3 8 35 � 1 2 + � 3 � � = x dx � � -
-1
y
z+ =
1
:
D hc= Oxz
2
y
x=
W
:
z = 0 D hc= Oxy
W
2/ Tính:
gh bởi:
= (cid:0) I y dxdydz ) , +��� x (
W
z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z :
z = 3 – y – x và z = 0
+ + = + = = = x y z x + = y x y y z 2 6, 0, 0 3, 3 3, 3
W :
3
3
D hc= Oxy
x
=
+
y
2
3
+
y
–
=
x
x
–
+ = = x y y x y 3,3 2 6, 0, 3
6
3
y
=
0
- + = - = x y (3 0)
= I y dxdydz ) , +��� x (
3
3
x
=
+
y
2
3
+
y
–
=
x
x
–
6
3
y
=
W
x y
0
-
D
0
-� 3 ��� � ( � �
= + x y dz dxdy )
� � � �
2
3
y 2 3
-
= - - + x y = x y dx )(3 )
� � dy (
0
11 4
1
y 3
-
3/ Vẽ miền lấy tp cho tp sau:
x
2
2
4 = �� � dy zdz
0
0
0
sau đó viết lại I theo thứ tự :I
dx I
x (cid:0)
Mặt trên: z = 4, mặt dưới: z = 0 (các hàm xác định trên R2 và 2 mặt không có giao tuyến) Hình chiếu lên Oxy của miền :0 (cid:0) 2, 0 (cid:0)
x/2
y (cid:0)
= ��� dy dz zdx
x (cid:0)
Hình chiếu lên Oxy của miền :0 (cid:0) 2, 0 (cid:0)
x/2
y (cid:0)
Vậy miền lấy tp gh bởi các mặt sau:
/ 2
x
=
y
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
2
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
I dy dz zdx = � � �
W :
1
4
2
= = = = D hc Oyz = y y z z 0, 1, 0, 4
I dy dz zdx
0
0
= � � � 2y
3/ Tính:
I zdxdydz , = ���
W
: x2 + y2 (cid:0)
2z, x2 + y2 + z2 (cid:0)
3
(cid:0)
Là miền nằm trong
paraboloid.
2
2
(cid:0)
W + 2 x + 2 y + 2 x y : �� 3 � 2
2 �+ 2 y � 2 �
= D hc Oxy � x � �
2
2
+
x
y
2
2
=
=
Mặt trên:
z
Mặt dưới:
z
x
y
3
2
- -
I zdxdydz
= ���
2
2
W
y
x
=
zdz
2
2
2
2
+
- -
x
y
x
2
+ y D (
)
� 3 � �� � � � � �
� � � � � �
2
2
2
2
2
(cid:0)
= - - x y 3
) � x - � �
2 �+ 2 y � 2 �
D
( � 1 �� � 2 � �
� � dxdy � �
2
2
2
2
- - x y 3
) � x - � �
2 �+ 2 y � 2 �
D
( � 1 �� � 2 � �
� � dxdy � �
2
p 2
2
4
2
2
= = x r y r j cos , j sin
= - - I r
0
0
r 4 p 5 3 j � � � d 3 � � � = rdr � �
4/ Tính:
I xdxdydz , = ���
W
: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0
(cid:0)
W = x = + y 1 : = 2 x y , 5,(3 0)
5
= D hc Oxy
D1
D2
= I
D 1
� � xdz dxdy � �
1
-2
2
+
x 3 � � ��� � � 0 0 � ��� � � � 3D x 2
� � xdz dxdy � �
: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0
(cid:0)
