ÀBÀI 2 TÍCH PHÂN BỘI BA TÍCH PHÂN BỘI BA
Giảng viên: ThS. Nguyễn Hải Sơn Giảng viên: ThS Nguyễn Hải Sơn
1
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI
??????
THỂ TÍCH CỦA HÌNH ELIPSOID
Thể tích của hình cầu bán kính R Thể tích của hình cầu bán kính R
Diện tích của hình elip có độ dài các bán trục là a và b Diện tích của hình tròn bán kính R:
2
S
ab
S
R
2
R b a
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo)
??????
THỂ TÍCH CỦA HÌNH ELIPSOID
Thể tích của hình cầu bán kính R Thể tích của hình cầu bán kính R
V
R
4 3
3
??????
V ... V
3
Thể tích của elipsoid có các bán trục là a, b, c
MỤC TIÊU BÀI HỌC
Sau khi học xong bài này, sinh viên có thể:
• Trình bày được khái niệm tích phân bội ba và các ứng dụng của nó, thấy được tích phân bội ba là sự phát triển tự nhiên của tích phân kép.
4
ộ • Vận dụng được các kĩ thuật tính tích phân bội ba và làm được các bài tập liên quan đến tích phân bội ba.
CÁC KIẾN THỨC CẦN CÓ
• Giống như đối với tích phân kép, sinh viên cần có các kiến thức cơ bản về giải tích, đặc biệt là phép tính tích phân hàm một biến số.
• Bên cạnh đó, sinh viên cũng cần có các kiến thức
5
về hình học phẳng, hình học không gian.
HƯỚNG DẪN HỌC
• Xem bài giảng đầy đủ và tóm tắt những nội dung
chính của từng bài. chính của từng bài
• Tích cực thảo luận trên diễn đàn và đặt câu hỏi ngay
nếu có thắc mắc.
•
6
Làm bài tập và luyện thi trắc nghiệm theo yêu cầu từng bài.
CẤU TRÚC NỘI DUNG
1. Định nghĩa – Tính chất 1 Đị h Tí h hất hĩ
2. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề các 2 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề các
3. Phép đổi biến số trong tích phân bội ba
7
4. Ứng dụng của tích phân bội ba
1. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT
1.1. Định nghĩa tích phân bội ba
8
1.2. Tính chất
1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA
.
• • f = f(x,y,z) xác định trên vật thể đóng, bị chặn f
n
), V(
V(
,..., 2 ).
f(x y z) xác định trên vật thể đóng bị chặn , 1 ),..., V(
một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: • Chia
1
2
• Thể tích tương ứng mỗi khối
n M (x , y , z ). i
i
i
i
i
I I
) )
• Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm
n n
f (M ) V( f (M ) V( i i
i i
n i 1
• • Lập tổng tích phân: Lập tổng tích phân:
0
I
I
n
{ } i
n
Max d i 1,n i 1 n
• Cho sao cho , nếu xác định không phụ thuộc
thì I được gọi là tích phân bội ba của , và cách lấy điểm Mi
f (x, y, z)dxdydz
I
cách chia miền f=f(x,y,z) trên khối.
9
• Khi đó, f gọi là khả tích trên
1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA (tiếp theo)
dxdydz dxdydz
V V
• Nhận xét: Thể tích vật thể • Nhận xét: Thể tích vật thể là là
thì f(x,y,z) khả tích trên
.
là một miền đóng, bị chặn, có biên trơn từng mảng và f(x,y,z)
10
• Định lý: Nếu liên tục trên
1.2. TÍNH CHẤT
dxdydz
f (x, y,z)dxdydz
f (x, y,z)dxdydz
2.
1. V
(f g)dxdydz (f g)dxdydz
fdxdydz fdxdydz
gdxdydz gdxdydz
3.
2
1
fdxdydz
fdxdydz
fdxdydz
1
2
4. Nếu được chia làm hai khối và không dẫm lên nhau:
fdxdydz
gdxdydz
(x, y,z)
,f (x, y,z) g(x, y,z)
11
5.
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
ặp) Cách tính: đưa về 3 tích phân xác định theo từng biến (tích phân lặp) p g p ( ị
Tích phân bội ba Tích phân kép Tích phân lặp
a x b : c y d : c y d m z n
Trường hợp miền là hình hộp chữ nhật Trường hợp miền là hình hộp chữ nhật
f (x, y, z)dxdydz f ( )d d d
dx dy f (x, y, z)dz d )d f (
d
b a
d n c m
12
Khi đó
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo)
0
x 1
2
xy dxdydz
I
:
2
1 y 1 z 3
2 2
Ví dụ 1: Tính , với
I
dx d
dy xy dz d
d
2 2 xdx. y dy. dz
d
d
d
1 0
3 1
1 0
3 1
2 1
2 1
2 2
1 1
2
2
3 2
3
z
3 1
1 2
x 2
y 3
0 0
1 1
13
Ta có:
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo)
b b
a a
x x
y z
y (x) 2 z (x, y) 2
: y (x) 1 z (x, y) 1
I
f (x, y, z)dxdydz
dx
dy
f (x, y, z)dz
b a
y (x) 2 y (x) 1
z (x,y) 2 z (x,y) 1
2
x
Trường hợp miền xác định bởi
zdxdydz
I
xy
y y y y : 1 y 2 0 z
Ví dụ 2: Tính , với
2
xy
2
2
9
6
8 8
5 5
I
dy
dx
zdz
dy
dx
...
y
y
dy
Ta có:
y y 6
1 1 6
2 1
2y y
xy 0
2 1
2 y y
0
1 y 1 y 6 9
1
z z 2
1
14
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo)
z
z ( x , y )
2
z
z (x, y)
z
2
Trường hợp miền được giới hạn bởi: Mặt dưới và z (x, y) mặt trên là các mặt và , có 1
z
z (x, y) 1
hình chiếu lên mặt phẳng Oxy là miền D. hì h h ế lê hẳ là ề ặ
Khi đó
f (x, y, z)dxdydz
dxdy
f (x, y, z)dz
D
2z ( x , y) y) ( 2 z ( x , y) 1
15
Hình chiếu D
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo)
2
2
2
x
y y
zdxdydz
I
2
2
x
y
z z
Ví dụ 3: Tính , với được giới hạn bởi
2
2
2
2
2
x
y
x
y
0
2 2
2 2
2 2
x
y
2 z
z
z z
z
2
2
z 1 z 1
y y
1 1
x x
2
Trước hết ta xác định giao tuyến của 2 mặt cong. Trước hết ta xác định giao tuyến của 2 mặt cong
y
1
2 2
y
2 1 2 1
Vậy giao tuyến của 2 mặt cong là đường tròn 2 x
D :
0
2
y
2 x
2
2 2
2 2
x z 2 2
2 2
dxdy d d
zdz d
...
y
x
y
hình chiếu của lên mặt phẳng Oxy là hình tròn
11 11 12
1 1 2
dxdy 2 x d d
I I D
2
D
x
y
2 2
16
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo)
zdxdydz d d d
I I
V
2
y 1 x,z 1 x
Ví dụ 4: Tính tích phân bội ba trong đó V là vật thể giới hạn bởi ể
z 0 )
và các mặt phẳng tọa độ, (phần
2
2z (x, y) 1 x
Tam giác OAB Hình chiếu của V xuống 0xy:
B B
I I
OAB
A
2
21 x
1 x
2
dxdy d d
Mặt phía trên: Mặt phía dưới: z=0
2z z 2
2
OAB
OAB
0
21 x 0
A
2
B B
zdz dxdy d d d d d dxdy 2 2
1 x
dx
dy
11 60
2
1 0
1 x 0
17
O
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo)
2
2
4 4
2
2
z dxdydz
x
I
x z z x : y 0 y 2
2
2
Ví dụ 5: Tính , với
x
z
4
z
y
2
2
2
2
2
x
z dxdz
dxdz
x
2 z dy
I
D
D
0
Hình chiếu của V xuống 0xz là D: Mặt phía trên: y=2 Mặt phía dưới: y=0 2 x
2 2
2 2
r
dr d
I I
32 32 3
2 2 d d 0
0
18
Đổi sang tọa độ cực, ta có
3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
3.1. Phép đổi biến số 3 1 Phép đổi biến ố tổng quát
3.2. Phép đổi biến số trong tọa độ trụ
19
3.3. Phép đổi biến số trong tọa độ cầu trong tọa độ cầu
3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT
I I
f (x, y, z)dxdydz f (x y z)dxdydz
x(u, v, w)
Xét tích phân Xét tí h hâ
y(u, v, w) z(u, v, w)
x y z
x '
x '
x ' u
v
w
J
y y '
y y '
y y ' u u
v v
w w
D(x, y, z) D(u, v, w)
z '
z '
z ' u
v
w
1 1
I
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)). J dudvdw
Đặt
1
20
Khi đó
3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo) 2
2
2
1 1
2dxdydz
I
y 4
z 1
x : 9 z 0
u
v
w
Ví dụ: Tính với
v
J
3 2 1 6
v
w
x ' y ' z '
x ' y ' z '
3 0 0 0 2 0 0 0 1
x ' u y ' u z ' u
v
w
w
x 3 y y 2 z z 1
2.6dudvdw 12
V
I
8
Đặt
1 1 2
3 3 12 4 12 4 r 3 2
21
3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo)
f (x, y, z)dxdydz f (x y z)dxdydz
I I
ố O
• Khi là một miền đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ hoặc các trục tọa độ hoặc
ả
2
, 1
2
với rời nhau.
2 2
I
( ,y,
y
)
( ,y, ) f (x, y, z)dxdydz khi f(x,y,-z) = f(x,y,z) ( , y, )
1
0 khi f(x,y,-z) = -f(x,y,z) 2
đối xứng nhau qua Oxy thì Nếu ó kế gốc O, ta có kết quả sau: 1 , 1 1
, 1
2
I
f (x, y, z)dxdydz khi f(-x,y,z) = f(x,y,z)
0 khi f(-x,y,z) = -f(x,y,z) 2 1
22
đối xứng nhau qua Oyz thì Nếu
3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo)
, 1
2
I I
f (x, y, z)dxdydz khi f(x,-y,z) = f(x,y,z) f (x y z)dxdydz khi f(x y z) = f(x y z)
1
0 khi f(x,-y,z) = -f(x,y,z) 2 2
đối xứng nhau qua Ozx thì đối xứng nhau qua Ozx thì Nếu Nếu
, , 1 1
2 2
I
f(x,y,z) f (x, y, z)dxdydz khi f(x,-y,-z) = f(x,y,z) f (x, y, z)dxdydz khi f(x, y, z)
1
0 khi f(x,-y,-z) = -f(x,y,z) 2 2
đối xứng nhau qua Ox thì g q Nếu
, , 1 1
I
f (x, y, z)dxdydz khi f(-x,y,-z) = f(x,y,z)
2 2 0 khi f(-x,y,-z) = -f(x,y,z) 2 1
23
đối xứng nhau qua Oy thì Nếu
3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo)
, 1
2
I I
f (x, y, z)dxdydz khi f(-x,-y,z) = f(x,y,z) f (x y z)dxdydz khi f( x y z) = f(x y z)
1
0 khi f(-x,-y,z) = -f(x,y,z) 2 2
đối xứng nhau qua Oz thì đối xứng nhau qua Oz thì Nếu Nếu
, , 1 1
2 2
I
f(x,y,z) f (x, y, z)dxdydz khi f(-x,-y,-z) = f(x,y,z) f (x, y, z)dxdydz khi f( x, y, z)
1
0 khi f(-x,-y,-z) = -f(x,y,z) 2 2
24
đối xứng nhau qua gốc O thì g g q Nếu
3.2. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ TRỤ
Tọa độ trụ
Điể M( hệ t t
)
độ 0 (r, • Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. ) t , z) • M được xác định duy nhất bởi bộ
z là tọa độ cực của hình chiếu M1
(r, của M lên Oxy. của M lên Oxy Z là độ cao của M. được gọi
( , y, ) M(x, y,z)
, z) (r, điểm M. điểm M
là tọa độ trụ của
Công thức đổi biến từ tọa độ
z
y
r
x r cos y r sin z z
Decasters sang tọa độ trụ:
1M (x, y,0)
25
x
3.2. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ TRỤ (tiếp theo)
z
)
z ( r , 2
f (x, y,z)dxdydz
I
Đổi biến số trong tọa độ trụ (khi là hình trụ tròn hoặc trụ elip)
z
)
z ( r , 1
x r cos y r sin , z z
Đặt
z z (r, ) ) z z (r 1 z z (r, ) 2
1 1
D: D:
Jacobi j=r Mặt phía dưới: Mặt phía dưới: Mặt phía trên:
1 2 r r r 2 1
2
1 2 : r ( ) r ( ) ( ) ( ) r 1 2 2 1 z (r, ) z z (r, ) 1
I
dr
f (rcos ,rsin ,z) r dz
2 1
r 2 d r 1
z (r, ) 2 z (r, ) 1
26
Hình chiếu: Hình chiếu:
3.2. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ TRỤ (tiếp theo)
2
2 y dxdydz Ví dụ 1: Tính tích phân trong đó V là vật thể giới hạn bởi:
x
I
2
2
z 4, z 1 x
2 y , x
2 y
1.
V
x x y
J
r
r cos cos r sin , z
z
2
2
Đặt
1 1
1 r 2 y y
V
2
4
z
I
r r dz
2
1 d dr 0 0
2 0 0
2
I
2
42 d dr r z 1 r
2 r (3 r ) dr
2 y z 1 x 2 Hình chiếu xuống 0xy: D: x D: x Hình chiếu xuống 0xy: 2 0 0 r 1 V : 1 1 r 4 1 r 1 r
1 2 0 0
27
12 5
1 d 0
2 0
Mặt phía trên: z 4 Mặt phía dưới:
3.2. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ TRỤ (tiếp theo)
zdxdydz
I
2
2
2 y ,z 2 x
2 y ,x
2 y
1.
V 2
z x
Ví dụ 2: Tính tích phân trong đó V là vật thể giới hạn bởi:
J
r
y r sin ,
z
z
2
x r cos x r cos Mặt phía trên:
Đặt
Mặt phía dưới:
z 2 r 2 z r 2 2 D: x D
2 2 y
1 1
2
V
2
2
0 0 r 1 V : 1 z r 2 r
22 r
2 2
2 2
dr 3
I
z r dz
z 2
2
2 0
1 d r 0
2 0
1 d dr 0
2 r 2 r
r
28
Hình chiếu xuống 0xy: Hình chiếu xuống 0xy:
3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ CẦU
Tọa độ cầu Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz. Điểm M(x y z) trong hệ trục tọa độ 0xyz
, )
M được xác định duy nhất bởi bộ (r,
r OM r OM
M(x, y,z)
r
(r,
z
, )
z rcos z rcos
được gọi là tọa độ cầu của điểm M.
0
0
2
r
rsin
y Chú ý:
0 r
or
1M (x,y,0) 1M (x,y,0)
29
x
3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ CẦU (tiếp theo)
f (x, y,z)dxdydz
I
cos
Đổi biến số trong tọa độ cầu (khi có dạng một hình cầu hay một phần hình cầu hay elipsoid)
J
sin
2 r
x r sin y r sin sin , z r cos
:
) )
( (
( (
) )
1
r
,
)
)
,
2 r ( 2
2 1 1 r ( 1
Đặt
2
I I
dr dr
f (rsin cos ,rsin sin ,rcos ) r sin f (rsin cos rsin sin rcos ) r sin
2 1
2r 2 d d d d 1r 1
30
Khi đó
3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ CẦU (tiếp theo)
2
x
2 y
2 z dxdydz
I
V
2
2
2
z
x
2 y ,x
2 y
z
z.
cos
Ví dụ 1: Tính tích phân trong đó V là vật thể giới hạn bởi:
2 r sin
y r sin sin , J r cos r cos
z
x r sin
1/2
0
2
V
V : 0
1
4 0 r c os
I
dr
d
2 r r sin
1 10 10
2 80 80
/ 4 0 0
2 d 0 0
cos 0 0
31
Đặt
3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ CẦU (tiếp theo)
(y z)dxdydz (y z)dxdydz
I I
V
2
2
2 y
z
2y (z 0)
z 0,x
cos
Ví dụ 2: Tính tích phân trong đó V là vật thể giới hạn bởi: Ví dụ 2: Tính tích phân trong đó V là vật thể giới hạn bởi:
z
2 r sin 2 r sin
J y r sin sin , J r cos
z
Đặt:
y Cách 1 Cách 1 x r sin
0
V
V : 1
sin
0 2 0 r 2 sin
2
I I
dr dr
(rsin sin (rsin sin
rcos ) r sin rcos ) r sin
2sin sin d d 0
d d / 2 0
32
x
3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ CẦU (tiếp theo)
z
Cách 2: Đổi sang tọa độ cầu suy rộng
cos cos
x r sin x r sin y 1 r sin sin , z r cos
Gốc tọa độ dời về đây
y y
2
0
V
V : 1
Xác định cận:
2 0 r 1
2
I
) rcos ) r sin
d
2 d 0
1 ( d (1 rsin sin 0
/ 2
33
x
4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA
:
V
1 d x d y d z
• Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể
34
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu. • Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể. • Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn. •
4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA
2
2
2
2
2
x
2 y
z
1;x
2 y
z
4,z
x
2 y
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
V V
d dyd dxdydz
E
2 r sin r sin
x r sin cos Đặt: y r sin sin , J J y r sin sin Đặt: z
r cos
0 0
2 2
E
0
E : 1
4
1 r 2
V V
dr dr
14 3
7 2 3
2 0
/ 4 d d 0
2 2 d r sin d r sin 1
35
Thể tích
4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA
2
2
1
x 2 a
2 y 2 b
z 2 c
dxdydz
V
E
Ví dụ 2: Tính thể tích của hình elipsoid (E)
cos
Sử dụng tọa độ cầu suy rộng
2 abcr sin
x ar sin y br sin sin , J z cr cos
2
0
E
0
E : 1
0 r 1
2
V
dr
2 0
1 d d abcr sin 0 0
4 abc 3
36
v1.0013110216
Đặt:
4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA
2
x
2 y
2x;x z 3,x z 3
dxdydz
V
E
Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
r
Sử dụng tọa độ trụ z
y
E E
x rcos x rcos y rsin ,J z z 2 0 r 2 co s 0 2
2
E : E 1
r c o s
3 z 3 r c o s
2c
V
dr
d
r dz 4
os 0
/ 2 / 2
3 rcos rcos 3
37
x O O
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Khái niệm tích phân bội ba;
• Cách tính tích phân bội ba;
• Ứng dụng tích phân bội ba để tính thể tích vật thể.
38
Trong bài này chúng ta đã xem xét các nội dung chính sau: Trong bài này chúng ta đã xem xét các nội dung chính sau:
