1. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
2. Hệ tọa độ trụ
3. Hệ tọa độ cầu
4. Ứng dụng hình học
5. Ứng dụng cơ học
Định nghĩa
xác định trên vật thể đóng, bị chặn .
Chia E một cách tùy ý ra thành n khối hình hộp nhỏ:
Thể tích tương ứng mỗi khối:
Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm
Lập tổng Riemann:
, không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
được gọi là tích phân bội ba của f = f(x,y,z) trên khối E.
Tính chất
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, thì khả tích trên miền này.
2)
5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 rời nhau:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
6)
Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp
Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là 𝑂𝑥𝑦.
Mặt phía dưới:
Hình chiếu:
Mặt phía trên:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Hình chiếu: 𝐷𝑥𝑦
Cách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp)
Chú ý
• Tương tự ta có 2 công thức tích phân lặp khác, khi chiếu khối E
lên 2 mặt phẳng Oxz, Oyz.
• Thông thường, miền hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 sẽ có biên là phương trình
Ta sẽ khử 𝑧 ở trong phương trình của biên khối E, hoặc tìm
của biên khối E nhưng không chứa 𝑧.
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
phương trình nào không chứa 𝑧 của biên khối E.
Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể:
Hình chiếu của E xuống Oxy:
Mặt phía trên:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Mặt phía dưới:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi sang hệ tọa độ cực.
Ví dụ
, nằm trong góc phần tám thứ nhất.
Tính tích phân bội ba , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Hình chiếu của E xuống Oxy:
Tam giác OAB.
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
A
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
B
Ví dụ
A
B
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
O
Ví dụ
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Hình chiếu của E xuống Oxy:
Ví dụ
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Hình chiếu của E xuống Oxy:
Ví dụ
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Định lý:
Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤); sao cho phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số điểm hữu hạn), khi đó:
𝐸𝑥𝑦𝑧
= 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝐸𝑢𝑣𝑤
𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)). 𝐽 . 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤
𝑢
𝑣
𝑤
Trong đó:
𝑤
𝐽 = =
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)
𝑢
𝑣
𝑤
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ 𝑥′ 𝑢 𝑦′ 𝑧′ 𝑥′ 𝑣 𝑦′ 𝑧′
Định nghĩa
Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ Oxyz. z
M được xác định duy nhất bởi bộ
được gọi là hệ tọa độ trụ của điểm M.
Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ:
y
z
r
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
Đổi biến sang tọa độ trụ.
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên:
Hình chiếu:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Xác định cận của D:
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Hình chiếu xuống Oxy:
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
Hình chiếu của E xuống O𝑥𝑦:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cận của D:
Tính tích phân , trong đó E:
Chiếu xuống O𝑥𝑧.
Mặt trên:
Mặt dưới:
Hình chiếu:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
19
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
y
Định nghĩa
Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) trong hệ trục tọa độ O𝑥𝑦𝑧.
M được xác định duy nhất bởi bộ
z
được gọi là hệ tọa độ cầu của điểm M.
Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:
y
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
Định nghĩa
Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
21
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Chú ý:
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Đổi sang tọa độ cầu:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
22
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ta có:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
23
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Xác định cận:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
24
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
z
Xác định cận:
y
Đổi sang tọa độ cầu:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
25
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Cách 1:
z
Đổi sang tọa độ cầu:
y
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
26
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Xác định cận: x
Cách 2:
z
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng:
Gốc tọa độ dời về đây
y
Xác định cận:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
27
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Đổi sang tọa độ cầu:
z
Xác định cận:
y
28
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Đổi sang tọa độ cầu:
Xác định cận:
TS. Nguyễn Văn Quang
29
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Phải chia khối E ra làm 2 khối. Việc tính toán rất phức tạp. 23-Mar-21
Đổi sang tọa độ cầu mở rộng:
Xác định cận:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
30
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Gốc tọa độ dời về đây
Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi:
Sử dụng tọa độ cầu, việc tính toán phức tạp hơn nhiều.
Đổi sang tọa độ trụ:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
31
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Xác định cận:
Ví dụ
Đổi sang tọa độ cầu rồi tính:
y z Xác định vật thể E: Vẽ khối E:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
32
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
z
Đổi biến sang tọa độ cầu:
y
x
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
33
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Xác định cận:
Đổi sang tọa độ trụ rồi tính:
Xác định vật thể E: Vẽ khối E: z
y
y
x
34
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
Đổi biến sang tọa độ trụ:
z
Xác định cận:
y
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
35
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x
Ứng dụng hình học của tích phân bội ba
Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:
Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể.
Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn,
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
36
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi:
Sử dụng tọa độ cầu:
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
37
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp !!!
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi:
z
Sử dụng tọa độ trụ:
x
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
38
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
y
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi:
Sử dụng tọa độ trụ:
y
x
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
39
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều.
23-Mar-21
TS. Nguyễn Văn Quang
40
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi:
