1. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba
2. Hệ tọa độ trụ
3. Hệ tọa độ cầu
4. Ứng dụng hình học
5. Ứng dụng cơ học
TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm
( , , )f f x y z
xác định trên vật thể đóng, bị chặn .
E
Chia E một cách tùy ý ra thành n khối hình hộp nhỏ:
12
, ,..., .
n
E E E
Thể tích tương ứng mỗi khối:
12
( ), ( ),..., ( ).
n
V E V E V E
Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm
( , , ).
i i i i
M x y z
i
E
Lập tổng Riemann:
1
( ) ( )
n
n i i
i
I f M V E

, không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi
được gọi là tích phân bội ba của f = f(x,y,z) trên khối E.
( , , )
E
I f x y z dxdydz
Định nghĩa
23-Mar-21 2 TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, thì khả tích trên miền này.
3) ( , , ) ( , , )
EE
f x y z dxdydz f x y z dxdydz


2)
E
E
V dxdydz
4) ( )
E E E
f g dxdydz fdxdydz gdxdydz
5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 rời nhau:
12
E E E
fdxdydz fdxdydz fdxdydz
6)
( , , ) , ( , , ) ( , , )
EE
x y z E f x y z g x y z fdxdydz gdxdydz
Tính chất
23-Mar-21 3 TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính (Định lý
Fubini): tích phân lặp
( , , )
E
I f x y z dxdydz
Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là 𝑂𝑥𝑦.
Mặt phía trên:
2
( , )z z x y
1( , )z z x y
Mặt phía dưới:
Hình chiếu:
Hình chiếu: 𝐷𝑥𝑦
2
1
( , )
( , )
( , , )
xy
z x y
D z x y
dxdy f x y z dz
( , , )
E
I f x y z dxdydz
2
( , )z z x y
1( , )z z x y
PrOxy xy
ED
23-Mar-21 4 TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
•Tương tự ta có 2 công thức tích phân lặp khác, khi chiếu khối E
lên 2 mặt phẳng Oxz, Oyz.
•Thông thường, miền hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 sẽ có biên là phương trình
của biên khối E nhưng không chứa 𝑧.
Ta sẽ khử 𝑧 ở trong phương trình của biên khối E, hoặc tìm
phương trình nào không chứa 𝑧 của biên khối E.
Cách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp)
23-Mar-21 5 TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Chú ý