ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA

x = x(u,v,w)

f(x,y,z) xác định trong , đặt

y = y(u,v,w)

(x,y,z)    (u,v,w)  ’

z = z(u,v,w)

x

J y y y  

D x y z , ) ( , D u v w ) , ( ,

 x u  u  z u  y  v  z v  x w  w  z w





 

g u v w J dudvdw f x y z dxdydz ( , , )  ( , ) | , |

Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của 

Nếu  gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau qua mp z = 0

f x y z dxdydz ( , , )

1.f chẵn theo z :



2

f x y z dxdydz , ) ( ,



 1

f x y z dxdydz ( , , )

0

2.f lẻ theo z :



Lưu ý:

• Mp z = 0 là mp Oxy

• Kết quả áp dụng tương tự nếu  đối xứng qua mp

• y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y)

• x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)

TỌA ĐỘ TRỤ

x = rcos, y = rsin, z = z

z

z

M

2

2

y

r

r x y  

x

M’

cố định z

đổi sang tọa độ trụ hình

chiếu D đổi sang tọa độ cực.

TỌA ĐỘ TRỤ

x = rcos, y = rsin, z = z

J = r

drdr

dz

f x y z dxdydz ( , , )

z r f r ( cos , sin , )

 





 

Điều kiện giới hạn:

1.r  0

2. [0, 2] hay  [- , ]

TỌA ĐỘ CẦU

x = sincos,

z

y = sinsin,

M

z = cos

y

J = 2 sin

x

Điều kiện giới hạn:

1.  0

2. [0, 2] hay  [- , ]

3.  [0, ]

Lưu ý:

2

2

2

x

y

z

2

2

x

y

  sin

Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn

bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.

Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu

2

2

2

2

R 

x

y

z

R

2

2

2

2

  2

R 2 cos

2

2

2

x

y

z

Rz 2

   0

 2   2

 

0

R   0        0     0       

x y z R   

2

2

Nón trên.

x y  tan  

2

2

2

Trụ tròn.

z   a 1 a

x y R     

R sin 

VÍ DỤ

1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ

2

4

4

x x 

I

dx

 

2  dy xzdz

0

0

0

0 x   4

2

:

2

D hc Oxy

x = rcos, y = rsin, z = z

x x 0 y   4    

 2

: 0  r  4cos, 0    /2, 0  z  2

z = 2

y =0

x2 + y2 = 4x

2

z = 0

4

4

x x 

I dx

2  dy xzdz

0

0

0

2

4cos

2

 

r

z rd cos . . z

d 

0

0

0

 dr

2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa

độ trụ, cầu:

2

y

2

4

0

I

dy

dx

xzdz

 

2

2

0

0

x

y

4

2

y

2

4

0

x = rcos,

y = rsin,

I dy dx xzdz

2

2

0

0

x

y

4

z = z

0

2

2

 

dr

z rd cos . . z I 

0

0

4 r 

d  r 2

2

y

2

4

0

I

dy

dx

xzdz

 

2

2

0

0

x

y

4

2

2  s .

  sin cos . co   s i n d   I 

2 d  

0

2

0

d 

3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu:

zdxdydz

I

 

2

2

 Là miền bên trong nón

2

2

2

x

y

z

2

và bị chắn bởi mặt cầu

z x y  

2

2

2

2

2

x

y

z

2,

x = rcos,

y = rsin,

z x y  

1

z = z

J = r

Giao tuyến:

1z  2

1

x

y

2 1 

2

2 r 

 2

1

r

0

0

I zdxdydz  .z rdz    d  dr  2

2

2

2

2

x = sincos,

2 ,

x

y

z

2

y = sinsin,

z x y  

1

z = cos.

J = 2 sin

2

4

 2

2 s

 d 

d 

0

0

0

  os c i n d   I 

4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu:

zdxdydz I

2

2

2

2

  

:

2 ,

x y z z    2 z x y  

2

2

2

2

2 ,

x

y

z

z

2

Giao tuyến của mặt cầu và trụ

2

2

z x y  

x y 

1

z  2   z   22 z 

 4

2

1

z  2 x y   1   

1

2

2

2

2

x = sincos,

2 ,

x

y

z

z

2

y = sinsin,

z = cos.

z x y  

1

J = 2 sin

2

2

2

x

y

z

z

2

 4

  2cos 

1

2 cos

 2

 2

2 s i

d 

zdxdydz    os c n d  

 

0

0

4

d 

I

zdxdydz



2cos

d

d

2    

cos

sin

  2 2  d  

 

4

0

0

 6

2

2

2

2

:

2 ,

Cách 2:

2

z x y   x y z z    2

Biểu diễn lại :

 cos sin    sin 

2

2cos   2      

 cos sin    sin 

2cos    ( cos   0)  2      

0    2cos  0    2cos 

/ 2)  2

     (0   1 tan             4       0 2 

5/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu:

xdxdydz I

2

2

2

2

2

:

  

x = cos, y = sincos, z = sinsin

J = 2 sin

x y z x y z 2     4,  

2

2

2

2

2

4

2

2

I

xdxdydz

d

d

  2 d       cos

sin



0

0

2

3

2 4

 1  2 

   

x y z x y z 2     4,  

2

2

2

2

2

Cách 2:

x

y

z

x

y

z

2

4,

2

:

2 

sin      ) sin (0     cos

  2 4  2      

tan   1

2    2    

0  2

0     4

2    2    

6/ Đổi tp sau sang tọa độ cầu:

2

2

2

y

x

y

 1

4

1

2

2

I

dy

dx

x

y

2 z dz

2

1

0

y

  1

2

2

x y 4  

y x   1    z 0    : 2 2 

 6

2

2

Giao tuyến:

3 z x y  4  

2

2

2

x y   1 x y   1   z   2       

 6

  0    2

2

    6  1  :

   2   : 0    0     2

1   0   sin       2 6    0  

2

2

x y 4  

2

y x   1    z 0    : 2 2 

2 

2

  cos  4  sin 

sin   1

  2,

      0   0 2

 0  

  0    2      0  cos     1  sin

  

2

nên  được chia làm 2 miền:

vì

1 sin

 6

   2    

6

 

 1

2

  

2

 :

0   : 0    0 

   2

2

2

2

2

2

2

1   0   sin       2 6    0  

  1

  2

6

2

3

I x y z dxdydz x y z dxdydz      

  2 3 d        0 0

2  0

  2  d         0

1 sin  0

6

d d d d  sin  sin

Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:

2

2

x

y

y z y

y

z

2 ,

 

2,

2

2

z y 

2

dxdydz V

y

2



 1

2

2

   

 dz dxdy   

y 2

x

y

y

2

2

2 2sin

 

z 2

2sin d 

2

y  2 Dùng tọa độ trụ

dr r

sin

rdz   1

0

0

Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid

 : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2  R2

x = a +sincos ,

y = b + sinsin,

Đổi biến:

z = c + cos

J = 2 sin

R      

  

2

0   : 0    0 

2

2

2

 là ellipsoid:

2

2

2

   1

x = a sincos,

y = b sinsin,

Đổi biến:

z = c cos

J = abc2sin

1

0

 

 

  

2

  : 0    0 

x a y b z c

VÍ DỤ

Tính thể tích vật thể giới hạn bên trong mặt nón và mặt ellipsoid:

2

2

2

2

2

z

y

y

z

,

1

x 3

x 3