ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
x = x(u,v,w)
f(x,y,z) xác định trong (cid:0)
, đặt
y = y(u,v,w)
(x,y,z) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(u,v,w) (cid:0)
(cid:0)
’
z = z(u,v,w)
y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x u x w
u
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = = J y y y
D x y z , ) ( , D u v w ) , ( , (cid:0) (cid:0) (cid:0)
v z v
w z w
z u
= g u v w J dudvdw ) | , |
��� f x y z dxdydz ( , , )
��� ( ,
(cid:0) W W
Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của (cid:0)
gồm 2 phần (cid:0)
1 và (cid:0)
2 đối xứng nhau
Nếu (cid:0) qua mp z = 0
1.f chẵn theo z :
��� f x y z dxdydz ( , , )
=
2
W
��� f x y z dxdydz ( , , )
1
=
0
2.f lẻ theo z :
W
��� f x y z dxdydz ( , , )
W
Lưu ý:
• Mp z = 0 là mp Oxy
đối xứng
• Kết quả áp dụng tương tự nếu (cid:0) qua mp
• y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y)
• x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)
TỌA ĐỘ TRỤ
x = rcos(cid:0)
, y = rsin(cid:0)
, z = z
z
z
M
2
2
y
= + r x y
)
(
r
x
M’
cố định z
hình
đổi sang tọa độ trụ (cid:0) chiếu D đổi sang tọa độ cực.
(cid:0)
TỌA ĐỘ TRỤ
x = rcos(cid:0)
, y = rsin(cid:0)
, z = z
J = r
=
j
j
j
drdr
dz
��� f x y z dxdydz ( , , )
��� f r z r ( cos , sin , )
Điều kiện giới hạn:
1.r (cid:0)
0
2.(cid:0)
(cid:0) [0, 2(cid:0) ] hay (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) [- (cid:0) ,
(cid:0) (cid:0) ]
(cid:0) W W
TỌA ĐỘ CẦU
x = (cid:0) sin(cid:0) cos(cid:0)
,
z
y = (cid:0) sin(cid:0) sin(cid:0)
,
M
(cid:0)
z = (cid:0) cos(cid:0)
y
(cid:0)
J = (cid:0) 2 sin(cid:0)
x
Điều kiện giới hạn:
1.(cid:0) (cid:0)
0
2.(cid:0)
(cid:0) [0, 2(cid:0) ] hay (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) [- (cid:0) ,
(cid:0) (cid:0) ]
3.(cid:0) (cid:0)
[0, (cid:0) ]
(cid:0)
Lưu ý:
2
2
2
r
=
+
+
x
y
z
2
2
+
=
r
x
y
q sin
Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới
hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.
Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu
2
2
2
2
Rr =�
+ + = x y z R
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
2
(cid:0)
+ + (cid:0) x y z R (cid:0)� (cid:0)
(cid:0) Rr p q j (cid:0) (cid:0) (cid:0) p 2
0 0 0 r (cid:0) (cid:0)
2
(cid:0) q R 2 cos p (cid:0)
q (cid:0) (cid:0) x + + y (cid:0)� � 2 2 z Rz 2 0
(cid:0)
j (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 2 p 2
2
2
Nón trên.
+ = q = x y � tan
2
2
2
z a 1 a
Trụ tròn.
+ = x y R =� r
R q sin
VÍ DỤ
1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ
2
x x
4
4
-
2 = � � � dy xzdz
0
0
0
dx I
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4 0 (cid:0)
2
2
W (cid:0) :
D hc= Oxy (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) y x x 0 4
x = rcos(cid:0)
, y = rsin(cid:0)
, z = z
(cid:0)
2
r (cid:0)
4cos(cid:0)
, 0 (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
0 (cid:0)
z (cid:0)
2
: 0 (cid:0) (cid:0) /2,
(cid:0)
z = 2
y =0
x2 + y2 = 4x
2
z = 0
x x
4
4
-
2 = � � � dy xzdz
0
0
0 p
j
2
4cos
2
dx I
j
r
z rd cos . . z
0
0
0
= j dr d(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa
độ trụ, cầu:
2
y
4
0
2
-
I dy xzdz
2
2
0
0
= � � � dx
x
y
4
- - -
2
y
4
0
2
,
-
,
I dy xzdz
2
2
0
0
= � � � dx
x
y
4
x = rcos(cid:0) y = rsin(cid:0) z = z
0
p
2
2
j
- - -
z rd cos . . z
r 2
j dr (cid:0) I = d(cid:0) (cid:0)
0
0
4 r
- -
2
y
4
0
2
-
I dy xzdz
2
2
0
0
= � � � dx
x
y
4
p
p
2
2
2
r
q
q
r
r
- - -
j r sin cos . co
s
.
q n d
s
i
p
0
2
0
j I = d(cid:0) d(cid:0) q (cid:0)
3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu:
I
zdxdydz
= ���
2
2
W
Là miền bên trong nón
2
2
2
= + (cid:0) z x y
và bị chắn bởi mặt cầu
+ = + x y z 2
2
2
2
2
2
x = rcos(cid:0)
,
y = rsin(cid:0)
,
+ + = = + x y z z x y 2,
1
z = z
J = r
Giao tuyến:
1
2
1z = y+ 2 x = 2 1
2 r
p 2
1
-
I
zdxdydz
.z rdz
= ���
p = j = dr (cid:0) d(cid:0) (cid:0)
r
0
0
2 W
2
2
2
2
x = (cid:0) sin(cid:0) cos(cid:0)
,
2 ,
y = (cid:0) sin(cid:0) sin(cid:0)
,
= + + + = z x y x y z 2
1
z = (cid:0) cos(cid:0) .
J = (cid:0) 2 sin(cid:0)
p
2
p 2
4
2 s
0
0
0
j r rq r os c i q n d I = (cid:0) d(cid:0) d(cid:0) q
4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu:
I zdxdydz = ���
2
2
2
2
W
+
z
x
y
:
2 ,
+ + (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z z 2
2
2
2
2
2 ,
Giao tuyến của mặt cầu và trụ
+ (cid:0) + + (cid:0) z x y x y z z 2
2
2
(cid:0) + = (cid:0) x y
(cid:0)
1
p
= (cid:0) (cid:0) z z 22 z 2
= (cid:0) z
4
2
2
(cid:0) (cid:0)
1 + = (cid:0) x y 1
1
2
2
2
2
x = (cid:0) sin(cid:0) cos(cid:0)
,
2 ,
y = (cid:0) sin(cid:0) sin(cid:0)
,
z = (cid:0) cos(cid:0) .
+ (cid:0) + + (cid:0) z x y x y z z 2
1
p
2
2
2
J = (cid:0) 2 sin(cid:0) + +
(cid:0)
4
= y z x z 2
(cid:0) =� r q 2cos
1
p
q
2cos
p 2
2
2 s
���
j = r rq r zdxdydz os c i q n d (cid:0) d(cid:0) q d(cid:0)
p
0
0
4
W
=
I
=��� zdxdydz
p
p 2
2
q 2cos r
q r 2
j d
d
cos
sin
= � � � q qr d
p
0
4
0 p
=
6
W
2
2
2
2
+
z
x
y
(cid:0) (cid:0) + + (cid:0)
:
2 ,
Cách 2:
x y z z 2
2
Biểu diễn lại (cid:0)
:
(cid:0) (cid:0) r r 2 q = r (cid:0) q cos q sin sin (cid:0)
r (cid:0) (cid:0) (cid:0) q 2cos
2
(cid:0) (cid:0) r r r 2 q = (cid:0) sin (cid:0)
r (cid:0) (cid:0) q cos q (cid:0) � 2cos q sin q cos ( 0)
r r (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 q 2cos
(cid:0) (cid:0)
q p q 0 p q 2cos p (cid:0)� (cid:0) (cid:0)� (cid:0) / 2) 2
(cid:0) (cid:0) q 4 j (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (0 tan 1 0 p 2
5/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu:
I xdxdydz = ���
2
2
2
2
2
W
:
x = (cid:0) cos(cid:0) , y = (cid:0) sin(cid:0) cos(cid:0)
, z = (cid:0) sin(cid:0) sin(cid:0)
J = (cid:0) 2 sin(cid:0)
(cid:0) + + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z x y z 2 4,
2
2
2
2
2
p
p 2
4
2
+ + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z x y z 2 4,
= j r q r 2 I d cos sin
=��� xdxdydz qr q � � � d d
0
0
2
W
= 3
2 4 � 1 -� 2 � � p � �
2
2
2
2
2
Cách 2:
+ + + (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z x y z 2 4,
2
:
(cid:0) (cid:0) r 2 = q r r (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) q sin p q sin (0 )
2
(cid:0)
q cos r (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 4
q (cid:0) (cid:0) tan 1
(cid:0) (cid:0)
r (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2
q p (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 4
0 (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) 2(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
r (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2
6/ Đổi tp sau sang tọa độ cầu:
2
2
2
y
x
y
1
4
1
2
2
- - -
2 z dz
= + + I x y
� � � dy dx
2
0
1
y
1
- - -
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) z x y 0 4 W (cid:0) :
+ (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1
p
6
2
2
Giao tuyến:
2
(cid:0) (cid:0) = = - - x y
2
3 2 4 2 + = (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) z �(cid:0) � x y 1 (cid:0) z � � x y 1
p
6
(cid:0)
r (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 q
1
2
(cid:0) (cid:0) p W (cid:0) (cid:0) (cid:0) q p W (cid:0) (cid:0) 6 (cid:0) 2 :
(cid:0) (cid:0) r q j (cid:0) (cid:0) 6 j (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 : 0 0 p 2 0 1 sin p p 2 (cid:0)
(cid:0)
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) z x y 0 4 W (cid:0) :
+ (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1
2
2
2
(cid:0) r (cid:0) (cid:0) - (cid:0) r 4 q sin (cid:0) (cid:0)
0 r (cid:0) (cid:0) (cid:0) q cos q 2 sin 1
(cid:0)
(cid:0) r (cid:0) (cid:0) 0 2,
(cid:0)
q q p (cid:0) (cid:0)۳�(cid:0) 0 cos 0 2
(cid:0)
r (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0
(cid:0) q 1 sin
p
q
nên (cid:0)
được chia làm 2 miền:
(cid:0)� 2
vì
q
1 sin
6
(cid:0)
2
r (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) q
r q
p
(cid:0) (cid:0)
0 : 0
6
1
2
W (cid:0) (cid:0) q p W (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 :
j
0
p 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 j (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 1 sin p p 2 (cid:0)
2
2
2
2
2
2
(cid:0)
= + + + + + I y z dxdydz y z dxdydz x ��� x ���
2
1
p
2
3
W W
p +
q 1 sin q r
p d
p
p 2 6 q r 3 sin � � � 0 0
0
2 2 q r d � � � 0 6
0
= j q r d j d d d sin
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:
2
2
+
=
+ =
=
+
x
y
y z y
y
z
2 ,
2,
2
2
z y+ =
2
V
dxdydz
W
y
2
= ��� =
-
1
2
2
� dz dxdy � � �
� �� � � y � � 2
+
-
y
y
x
2
2
j
(cid:0)
2 2sin
j
p
2sin
-
+
z= 2
=
2
j
(cid:0) d(cid:0) j (cid:0)
y 2 Dùng tọa độ trụ
sin
rdz 1
0
0
- dr r
Đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid
: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 (cid:0)
R2
x = a +(cid:0) sin(cid:0) cos(cid:0)
,
y = b + (cid:0) sin(cid:0) sin(cid:0)
,
Đổi biến:
z = c + (cid:0) cos(cid:0)
J = (cid:0) 2 sin(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
W (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Rr p q j
0 : 0 0
p 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
2
+
+
là ellipsoid:
1
2
2
2
x a
z y c b x = a (cid:0) sin(cid:0) cos(cid:0)
,
y = b (cid:0) sin(cid:0) sin(cid:0)
,
Đổi biến:
z = c (cid:0) cos(cid:0)
J = abc(cid:0) 2sin(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
p
(cid:0)
W (cid:0) (cid:0) (cid:0)
r q j
0 : 0 0
p 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
VÍ DỤ
Tính thể tích vật thể giới hạn bên trong mặt nón và mặt ellipsoid:
2
2
2
2
2
+
+
+
z
y
y
z
,
1
x 3
x 3
(cid:0) (cid:0)
