CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
I. Định nghĩa và Cách tính
§1: TÍCH PHÂN KÉP
II. Đổi biến trong tích phân kép
III. Ứng dụng của tích phân kép
§2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng của tích phân bội ba
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
I. Mặt Ellipsoid:
2. Cách gọi tên mặt:
1. Phương trình:
Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = 0 ta đều nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ là các đường Ellipse. Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid
3. Cách vẽ hình
Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
Vẽ đường ellipse
trên mặt phẳng z = 0
Vẽ đường ellipse
Vẽ mặt ellipsoid trên mặt phẳng x = 0
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
x2+z2=1, y=0
y2+z2=1,x=0
x2+y2=1,z=0
Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh ellipsoid(a,b,c)
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
II. Mặt Paraboloid Elliptic:
2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và cho z=c, c>0 ta được đường còn lại là 1 đường Ellipse.
1. Phương trình :
Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Paraboloid Elliptic
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
3. Vẽ hình
Vẽ đường parabol y2 = z trên mặt phẳng x = 0
Vẽ đường ellipse x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1
Vẽ mặt parabolid z = x2+y2
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
z=x2, y=0
x2+y2=1,z=1
z=y2, x=0
Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
III. Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa):
2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và cho z=c ta được đường còn lại là 1 đường Hyperbol.
1. Phương trình :
Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Hyperbol thì ta gọi mặt S là Paraboloid Hyperbolic
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
Vẽ parabol trên mp y=0 Vẽ parabol trên mp x=0
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
IV. Mặt Hyperbolic Elliptic:
2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Hyperbol
Khi cho z=0: có 2 trường hợp
1. Phương trình :
TH1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse
TH 2: Nếu vế phải bằng -1 thì khi mới có giao tuyến là ellipse
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
VP là 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0 VP là - 1: 2 giao tuyến với x=0, y=0
§0. Một số mặt bậc hai thường gặp
Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Hyperbol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Hyperboloid Elliptic
Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid Elliptic trên mà ta gọi tên 2 mặt là:
Mặt hyperboloid 2 tầng
Mặt hyperboloid 1 tầng
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP V. Mặt Trụ bậc 2:
Mặt trụ bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng song song với 1 phương cố định và tựa lên 1 đường cong bậc 2 cố định.
Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ.
Định nghĩa mặt trụ bậc 2:
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt sẽ thiếu biến đó, còn phương trình bậc 2 chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn
Ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ.
Ví dụ: Mặt x2+y2 = 1 Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 Ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn
Vẽ đường tròn x2+y2=1, trên mặt z=0
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Mặt trụ tạo bởi các đường thẳng song song với Oz và tựa lên đường tròn trên
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh cylinder
Ví dụ : Mặt z=x2
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Phương trình không chứa y nên nó biểu diễn mặt trụ đường chuẩn là parabol z=x2 song song với trục Oy, trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol
Vẽ parabol z=x2 trong mặt phẳng y=0
Vẽ mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy, tựa lên đường chuẩn là parabol z=x2 ở trên
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
IV. Mặt nón bậc 2 :
Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua 1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón
Ví dụ: Mặt nón x2+y2=z2
Cắt dọc mặt nón bởi các mặt x=0 hoặc y=0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, ngang cắt bởi mặt z=c và z=-c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2 đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Vẽ giao tuyến x2+y2=1, z=1
Và giao tuyến x2=z2, y=0
Vẽ mặt nón x2+y2=z2, lấy phần z > 0
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau z = x2+y2-2x
NHẬN DẠNG
Giải:
Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến của mặt đã cho với 3 mặt tọa độ
x = 0 : z = y2 là phương trình parabol
z = 0 : 0 = x2+y2-2x là pt đường tròn (ellipse)
y = 0 : z = x2-2x là phương trình parabol
Suy ra mặt đã cho là mặt Paraboloid Elliptic
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
VẼ HÌNH:
Vẽ 2 giao tuyến với 2 mặt z = 0, y = 0
x=0:.1:2; z=0*x; y=sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z) hold on y=-sqrt(2*x-x.^2); plot3(x,y,z)
Ta được giao tuyến với z=0
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
hold on y=-2:.2:2; x=1+0*y; z=-1+y.^2; plot3(x,y,z)
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
>> [r p]=meshgrid(linspace(0,1,20),linspace(0,2*pi,20)); >> mesh(r.*cos(p),r.*sin(p),r.^2)
Vẽ mặt
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau x2+y2+z2-2z=0
NHẬN DẠNG
Giải:
Ta lần lượt cho x = 0, y = 0, z = 0 để tìm 3 giao tuyến của mặt đã cho với 3 mặt tọa độ
x = 0 : y2+z2-2z=0 là pt đường tròn (ellipse)
z = 0 : 0 = x2+y2là pt đường tròn (ellipse)
y = 0 : x2+z2-2z=0 là pt đường tròn (ellipse)
Suy ra mặt đã cho là mặt Ellipsoid
>> theta=linspace(0,pi,20); >> phi=linspace(0,2*pi,20); >> [t p]=meshgrid(theta,phi); >> mesh(sin(t).*cos(p),sin(t).*sin(p),1+cos(t))
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
Ví dụ: Nhận dạng và vẽ mặt bậc 2 sau y2-z2+2y=0
NHẬN DẠNG
Giải:
Pt không chứa x nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh song song với trục Ox
Suy ra mặt đã cho là mặt Trụ Hyperbol
Trong mp x = 0 : y2 - z2 + 2y = 0 là pt đường hyperbol tức là đường chuẩn là đường hyperbol.
§0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP
>> [x y1] =meshgrid(linspace(- 1,1,20),linspace(-4,- 2,20));
>> z1=sqrt(y1.^2+2*y1);
>> mesh(x,y1,z1)
>> hold on
Tương tự, ta vẽ nửa còn lại ứng với 0 >> mesh(x,y1,-z1) §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ: Nhận dạng và vẽ các mặt bậc 2 sau: 1. 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3
là ellipse nên ta có mặt nón ellipse 1. y2-z2+2x2=0
2. x2+2x+2z2-3y=0
3. xy=z2 2. 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ
3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic 3. Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt
u2-v2=z2 <==> u2=v2+z2 là pt của mặt nón §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Bài toán đặt ra: Cho trong không gian 3 chiều một
hình trụ cong giới hạn trên bởi mặt cong S có
giới hạn xung quanh bởi
phương trình z = f(x,y)≥0,
mặt trụ với đường sinh song song với trục Oz
và đường chuẩn là
biên của miền D trong
mặt phẳng Oxy, giới
hạn dưới là mp z=0. D Sau đây, ta sẽ vẽ
hình khi D là hình
chữ nhật §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính M(xi,yj) Dij yj xi Chia miền D thành n phần tùy ý Dij bởi các đường
thẳng song song với 2 trục Ox, Oy. Tại mỗi miền Dij
lấy 1 điểm M(xi,yj) tùy ý Dij Thể
tích các
hình hộp nhỏ
với đáy dưới là
là
Dij,
trên
mặt
phần
z=f(x,y)
sẽ
được tính xấp
xỉ với hình hộp
chữ nhật đáy
là Dij, chiều
cao là f(xi,yj). Tổng thể tích
của tất cả các
hình hộp nhỏ
tính được là
xấp xỉ với thể
tích hình trụ
cong cần tính Cho số các phần chia tăng lên, tổng thể tích các
hình hộp nhỏ tính được so với thể tích hình trụ cong
cần tính càng chính xác §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta cho , nếu tổng có giới hạn hữu hạn thì giới
hạn đó được gọi là thể tích hình trụ cong cần tính Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y)) Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia
miền D và cách lấy điểm Mk §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định
trong miền đóng, bị chặn D
Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1,
D2, D3, …(các phần không có phần chung) tương ứng
có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, …
Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S mà
không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như
cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích
phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là Tức là §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi
các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Lúc đó
Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyj nên
ΔSij = Δxi. Δyj và ds được thay bởi dxdy. Vì vậy, ta
thường dùng kí hiệu Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là
miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Khi ấy, ta
nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có
biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Điều kiện khả tích :
Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương
trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các
đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0.
Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể
chia nó thành hữu hạn các cung trơn. 1. Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D (S(D) là diện tích miền D) 2. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tính chất 4. Chia D thành 2 miền không dẫm lên nhau là E, F 3. 5. Nếu f(x,y)≤g(x,y) trên D thì: 6. Trên D, hàm f(x,y) đạt fmax=M, fmin=m thì thì §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Định lý: (Về giá trị trung bình ) Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên
thông D. Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao
cho : Đại lượng được gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D Ý nghĩa hình học của tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc
hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình
vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi
4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2. Ước lượng thể
tích của vật thể trong các trường hợp sau : §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính a)Chia D thành 4 phần bằng nhau;
b)Chia D thành 16 phần bằng nhau;
c) Chia D thành 64 phần bằng nhau;
d)Chia D thành 256 phần bằng nhau;
e)Tính thể tích vật thể §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 D2 D4 1 D1 D3 1 2 Chọn các điểm Mi là
điểm góc trên bên phải
mỗi hình vuông nhỏ §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính b. Chia thành 16 phần, V≈ 41,5 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính c. Chia thành 64 phần, V≈44,875 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d. Chia thành 256 phần, V≈46,46875 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính y=y2(x) y=y1(x) Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y)
liên tục trên miền đóng và bị chặn D 1) Giả sử D xác định bởi: a b §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d c 2) Giả sử D xác định bởi: x=x1(y) x=x2(y) 2 Giải câu e) 2 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tính thể tích của vật thể. =48 Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là tam giác ABC với A(1,-1), B(1,3), C(4,0) Ta đi tích phân này bằng 2 cách §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính B(1,3) Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục
Ox ta được đoạn [1,4] C(4,0) Đi theo trục Oy từ dưới lên A(1,-1) y=1/3(x-4) y=4-x §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính x=1 B(1,3) 3 D1 C(4,0) D2 -1 A(1,-1) x=-y+4 x=3y+4 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính với D là miền giới hạn bởi §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà
không cần vẽ hình như sau: Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D:
y = x = 2-x2 x2+x-2 = 0 x = -2, x = 1 Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm
của tam thức f(x) = x2+x-2 nên ta có bất đẳng thức:
x ≤ 2-x2
x2+x-2 ≤ 0
Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường
thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x2. Vậy ta
cũng viết được cận tích phân: Ví dụ : Tính tích phân trong đó
D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2
Miền D được chia thành 4 phần D3 D4 D1 D2 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn
lại. Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích
phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình
vuông nhỏ Ví dụ: Tính tích phân kép
Ví dụ: Tính tích phân kép
Ví dụ: Tính tích phân kép §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính D1 D2 D2 D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1
D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1
D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1
D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ: Tính tích phân Với D là miền giới hạn bởi 1 Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích
phân này thì ta chiếu D xuống
trục nào cũng như nhau.
Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích
phân sẽ buộc ta phải chiếu D
xuống trục Oy 1 §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau 2 Ta vẽ miền lấy tích phân D2 D1 Chiếu miền D vừa vẽ xuống
trục Ox -2 2 D: Ta thấy phải chia D
thành 2 phần D1 và D2 Nhắc lại về tọa độ cực M(x,y) r Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa
độ Descartes. φ §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là Đặt : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực ↔ r = 2acosφ 1. x2 + y2 = 2ax ↔ r2 = 2arcos φ 2. Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng
cách đặt : x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ Thì ta được pt r = 1 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 ↔ Công thức đổi biến sang tọa độ cực §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực = r Trong đó Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực
nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc
ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Trong đó D giới hạn bởi : Để xác định cận của tích
phân theo φ, ta quét từ dưới
lên theo ngược chiều kim
đồng hồ bởi các tia màu đỏ.
Ta được φ đi từ 0 đến π/2
Còn để xác định cận của tích
phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia
màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước
thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường
nào gặp sau thì pt đường đó là cận trên. Ví dụ : Tính tích phân §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận
dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi
đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ Vậy : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ
gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3
Suy ra: §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4 Suy ra : 3π/4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân
Ví dụ : Tính tích phân
Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi :
Trong đó D giới hạn bởi : 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔
2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ Đây là trường hợp ta có thể
không cần vẽ hình cũng lấy
được cận tích phân §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi Xác định góc sẽ rất khó 1 1 2 vì ta phải xác định hệ số
góc của tiếp tuyến với
đường tròn qua gốc O -1 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 1 Do vậy, ta đi tích phân này
bằng cách dời trục tọa độ để
tâm hình tròn là (0,0), sau đó
mới đổi sang tọa độ cực. 1 2 -1 Thực hiện 2 việc trên bằng 1
phép đổi biến sang tọa độ
cực mở rộng như sau: đặt §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Khi đó, miền D giới hạn bởi Vậy : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi b Ta đổi biến sang tọa độ cực
mở rộng bằng cách đặt a Thì D giới hạn bởi §1: Tích phân kép – Ứng Dụng Ứng dụng hình học của tích phân kép 1. Diện tích hình phẳng: Diện tích miền D trong mặt
phẳng Oxy được tính bởi 2. Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt giới hạn dưới bởi mặt và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục
Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi: §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi
y2+2y-3x+1=0, 3x-3y-7=0 Ta tìm giao điểm 2 đường cong bằng cách khử x từ 2 pt (1) Tức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3]
Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1)
ta sẽ được y2 + 2y + 1 ≤ 3y + 7 Vậy : §1: Tích phân kép – Ứng dụng Trước tiên, ta tìm giao điểm
cosφ = √3/2 ↔ φ = π/6 , φ = -π/6
Vậy : π/6 -π/6 Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài
đường tròn r = 1 và trong đường tròn §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể Ώ giới hạn bởi Khi vật thể giới hạn chỉ bởi 2
mặt thì ta tìm hình chiếu D
của nó xuống mặt phẳng z=0
bằng cách khử z
từ 2
phương trình 2 mặt x2+y2=1, z=1 File: VD3_tpkep3.m Hình chiếu của giao tuyến là
đường tròn thì hình chiếu của
vật thể là hình tròn Với bất đẳng thức hình tròn, ta thay ngược lên
phương trình (1) để được
Tức là mặt nón là mặt giới hạn dưới, mặt cầu là
mặt giới hạn trên của vật thể. Vậy : §1: Tích phân kép – Ứng dụng 1 1 Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x2 + y2 = 4,
y2 = 2z, z=0 §1: Tích phân kép – Ứng dụng 2 Trong 3 mặt tạo nên vật thể, có 1 hình trụ kín (đường
chuẩn là đường cong kín) x2+y2=4 song song với trục
Oz (pt không chứa z) nên hình chiếu của nó xuống mặt
z = 0 là hình tròn, tức là ta có miền lấy tích phân D:
x2 + y2 ≤ 4.
Ta còn lại 2 mặt và phải xác
định mặt nào nằm trên, mặt
nào nằm dưới để có hàm
dưới dấu tích phân
Dễ dàng thấy bất đẳng thức 0 ≤ ½ .y2 , tức là mặt
z = 0 ở phía dưới và z = ½ .y2 ở phía trên §1: Tích phân kép – Ứng dụng Suy ra hàm dưới dấu
tích phân là : . m
3
p
e
k
p t 2z=y2 _
4
D
V : e l
i F Vậy thể tích cần tính là : x2+y2=4 Ví dụ 5: Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa
trên các pt không chứa z tức là các hình trụ có đường
sinh song song với trục Oz Trong 4 mặt đã cho có 2
mặt trụ (phương trình
không chứa z) cùng song
song với Oz là y=1, y = x2 Hai mặt trụ đó có 2 đường
chuẩn tạo thành miền D
đóng trong mặt Oxy Miền D y=x2 y=1 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Với 2 mặt còn lại hiển
nhiên ta có 0 ≤ x2+y2
tức là f(x,y) = x2+y2
Vậy : z=x2+y2 1 y=1 y=x2 File: VD5_tpkep3.m -1 1 Ví dụ 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi §1: Tích phân kép – Ứng dụng Các mặt cùng song song
với Oz (phương trình
không chứa z) là y = 0,
3x+y = 4, 3/2x+y = 4.
Vẽ 3 đt này trong mp
Oxy ta được ΔABC nên
hình chiếu của V xuống
mp Oxy là Dxy: ΔABC B C A A(0,4) §1: Tích phân kép – Ứng dụng Còn 2 mặt mà pt chứa z là B(4/3,0) C(8/3,0) giúp ta có hàm dưới dấu
tp nhờ b.đ.t hiển nhiên: Tức là hàm dưới dấu tích
phân là Vậy: §1: Tích phân kép – Ứng dụng z=1/2x2+1/4y2 3x+y=4 y=0 3/2x+y=4 Ví dụ 7 : Tính thể tích vật thể giới hạn bởi : y = 0, z = 0,
z = a – x - y, 3x + y = a, 3/2x + y = a §1: Tích phân kép – Ứng dụng A Trong 5 pt đã cho có 3 pt
không chứa z tương ứng
với 3 mp cùng song song
với trục Oz B C 3 đt này giúp ta có hình
chiếu xuống mặt phẳng
Oxy là ΔABC = Miền D Còn lại 2 mặt có pt chứa z, ta sẽ tìm cách xác định
mặt nằm trên, nằm dưới để có hàm dưới dấu tích
phân §1: Tích phân kép – Ứng dụng A B C Ta đi so sánh z= a-x-y với
z= 0 bằng cách vẽ thêm
đường a-x-y=0 trong mặt
phẳng z=0 đang xét
Rõ ràng, trên hình vẽ ta có
ΔABC nằm phía dưới đường
thẳng a-x-y=0 tức là trong
miền D ta có bất đẳng thức
0 ≤ a-x-y. Suy ra hàm dưới
dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y Vậy §1: Tích phân kép – Ứng dụng 3x+y=4 y=0 Ta xoay trục Oy
thẳng đứng, ta
sẽ thấy vật thể
chính là hình
chóp tứ giác,
thể tích bằng
1/3 chiều cao
nhân diện tích
đáy z=4-x-y 3/2x+y=4 Ví dụ 8: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt
cong z = 1-x2-y2, y = x, y = √3x, z = 0 với x, y, z ≥ 0 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ta cũng bắt đầu tìm hình
chiếu của vật thể xuống mặt
z = 0 bằng cách chỉ ra các
mặt trụ với pt không chứa z Với ví dụ này, ta chỉ có 2 mặt
là y=x và y = √3x tương ứng
với 2 đường thẳng không đủ
cho ta miền đóng D. Vì vậy, ta sẽ tìm thêm giao tuyến của các mặt còn
lại với mặt z=0 Cho z = 0 và thay vào phương trình Paraboloid ta
được x2+y2 =1, tức là giao tuyến của mặt Paraboloid
với mặt tọa độ z = 0 là đường tròn. 1 phần đường
tròn đó sẽ “ĐẬY KÍN” phần còn mở giữa 2 đường
thẳng trên.
Từ đó suy ra, D là 1 phần
hình tròn x2+y2≤1 nằm giữa
2 đường thẳng với x, y ≥0 §1: Tích phân kép – Ứng dụng D Với mọi (x,y) thuộc D, ta
đều có : 0≤ 1-x2-y2 tức là
mặt phẳng z = 0 nằm dưới
và paraboloid z = 1-x2-y2
nằm trên Vậy: §1: Tích phân kép – Ứng dụng z=1-x2-y2 Vì miền lấy tích phân là
hình tròn nên ta sẽ đổi
sang tọa độ cực bằng
cách đặt x=rcosφ, y=rsin φ Khi đó, ta được y=x y=√3x §1: Tích phân kép – Ứng dụng Hai mặt trụ cùng song song với trục Ox là Ví dụ 9: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x = 1, x = 2 Vì vậy, hình chiếu của vật
thể xuống mặt phẳng Oyz
là miền D : V bằng diện tích hình tròn lớn
trừ diện tích hình tròn nhỏ §1: Tích phân kép – Ứng dụng C. Diện tích mặt cong : Diện tích phần mặt cong S có
phương trình z = f(x,y) và có hình chiếu xuống mặt
phẳng Oxy là miền D được tính bởi §1: Tích phân kép – Ứng dụng Như vậy, để tính thể tích vật thể hoặc tính diện tích 1
phần mặt cong thì trước tiên ta phải xác định được
hình chiếu D của vật thể hoặc phần mặt cong cần
tính xuống 1 trong 3 mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx Với mặt cong cần tính diện tích, ta phải viết lại pt
mặt bằng cách viết 1 biến theo 2 biến còn lại tuỳ vào
việc ta tìm hình chiếu xuống mp toạ độ nào. Ví dụ 10 : Tính diện tích phần mặt S : x2+y2+z2 = 4
nằm phía trên mặt nón §1: Tích phân kép – Ứng dụng Để tính diện tích mặt cong S nhờ tích phân kép, ta
phải xác định được hình chiếu D của mặt cong
xuống 1 trong 3 mặt tọa độ. Với ví dụ này, ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống
mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình đã cho
z2 = 4-x2-y2 = x2+y2 ↔ x2+y2 = 2
Từ phương trình trên, ta được hình chiếu của S
xuống mặt z = 0 là hình tròn Dxy : x2+y2 ≤ 2 Sau đó, vì tìm hình chiếu xuống mặt z = 0 nên ta sẽ
tính z=f(x,y) từ phương trình mặt S Vì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy Suy ra : Vậy: §1: Tích phân kép – Ứng dụng §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 11:Tính diện tích phần mặt cầu S
Nằm giữa 2 mặt phẳng 2 mặt phẳng đã cho đều song song với trục Ox (Pt
không chứa x) nên ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống
mặt phẳng x = 0
Chiếu 2 mặt phẳng xuống mặt x = 0
ta được 2 đường thẳng cùng đi qua
gốc tọa độ tức là chưa có miền
đóng D. z O y Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hình
chiếu của mặt cầu xuống mặt
phẳng x = 0 là hình tròn x2+y2+z2=2 Miền D trên mp x=0 Mặt cầu và cả 2
mặt phẳng cắt nó
đều nhận mặt x = 0
là mặt đối xứng
nên phần mặt S
cũng nhận x = 0 là
mặt đối xứng §1: Tích phân kép – Ứng dụng Do đó, ta sẽ tính
diện tích phần
phía trên mặt x = 0
rồi nhân đôi Ta viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Vậy Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4
nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4 §1: Tích phân kép – Ứng dụng x2+z2=4 (R) Ta sẽ chiếu phần mặt S
xuống mặt phẳng y = 0 vì
hình trụ R song song với
trục Oy, và được hình tròn Do tính đối xứng qua các
mặt tọa độ của cả 2 mặt trụ
nên ta chỉ tính diện tích một
phần tám mặt S, nằm trong
góc x≥0, y ≥0, z ≥0 x2+y2=4 (S) §1: Tích phân kép – Ứng dụng Khi đó, ta đi tính y = f(x,z) từ phương trình mặt S. Vậy, diện tích cần tính là Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt nón z2 = x2+y2 bị cắt
bởi 4 mặt x - y = 1, x + y = 1, x – y = -1, x + y = -1 §1: Tích phân kép – Ứng dụng B C A D Mặt nón nhận mặt phẳng
Oxy là mặt đối xứng nên
phần nón nằm trong trụ kín
trên cũng nhận Oxy là mặt
đối xứng, ta tính diện tích
phía trên mp Oxy rồi nhân
đôi Khi đó, hàm dưới dấu tích phân bằng hằng số
nên tích phân cần tính là diện tích miền lấy tích
phân nhân với hằng số. Vậy S = 2.2. √2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng §1: Tích phân kép – Ứng dụng y+x=-1 y-x=1 z2=x2+y2, z≥0 -y+x=1 y+x=1 Ví dụ 13 : Cho vật thể Ω giới hạn bởi y=x2, x=y2, z=0, §1: Tích phân kép – Ứng dụng z=y2. Tính 2. Thể tích Ω 1. Diện tích phần mặt phẳng z=0 nằm trong Ω D 3. Diện tích phần mặt trụ z = y2 nằm trong Ω Trong 4 mặt tạo thành Ω,
có 2 mặt cùng song song
với trục Oz là y=x2 và x=y2
Từ đó ta được hình chiếu
của Ω xuống mặt z = 0 là
miền D 1. Diện tích miền D §1: Tích phân kép – Ứng dụng 2. Thể tích Ω : Hiển nhiên y2 ≥ 0 nên f(x,y)=y2 3. Diện tích mặt cong có phương trình z=y2 Vậy diện tích mặt cong cần tính là §1: Tích phân kép – Ứng dụng z=y2 y=x2 x=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng z2=x2+y2 y=x2 x=y2 Ví dụ 2 : Tính diện tích miền nằm ngoài đường
r = 2cosφ và phía trong đường r = 2(1+cosφ) §1: Tích phân kép – Ứng dụng D1 D2 a. Khối lượng mảnh phẳng §1: Tích phân kép – Ứng dụng
Ứng dụng cơ học
Mảnh phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng
riêng tại điểm (x,y) là f(x,y) Với trục Ox b. Moment quán tính của mảnh phẳng Với gốc tọa độ O Với trục Oy Với đt L, r(x,y) là khỏang
cách từ điểm (x,y) đến L §1: Tích phân kép – Ứng dụng
c. Moment tĩnh của mảnh phẳng Với trục Ox Với trục Oy d. Trọng tâm (x0,y0) của mảnh phẳng §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn bởi y=x2, y=2-x
và khối luợng riêng f(x,y)=2x-y. Tính khối lượng,
các moment quán tính, moment tĩnh và trọng tâm. Ta có : x2 = 2-x x2+x-2=0 x=1, x=-2 Suy ra D giới hạn bởi:
Vậy:
Khối lượng D Moment tĩnh §1: Tích phân kép – Ứng dụng Trọng tâm (x0,y0) : Moment quán tính : §1: Tích phân kép – Bài tập I. Tính tích phân hàm f(x,y) trên miền D §1: Tích phân kép – Bài tập II. Đổi thứ tự lấy tích phân: §1: Tích phân kép – Bài tập III. Tính diện tích miền D: §1: Tích phân kép – Bài tập IV. Tính thể tích vật thể: §1: Tích phân kép – Bài tập V. Tính diện tích mặt cong 1. S§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính
Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu
đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất
giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D)
Cách 2 : Chiếu miền D xuống
trục Oy ta được đoạn [-1,3]
Đi theo trục Ox từ trái
sang thì không giống
như trên, ta sẽ gặp 2
đường BC và AC. Do
đó, ta sẽ chia miền D
thành 2 phần D1 và D2
Ví dụ : Tính tích phân kép
4 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng
song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ
kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCD
