Bài giảng Giải tích B2: Tích phân bội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích B2: Tích phân bội gồm có những nội dung chính sau: Tích phân kép trên một hình chữ nhật, tích phân lặp, tích phân kép trên một miền tổng quát, tích phân kép trong tọa độ cực, tích phân bội ba, tích phân bội ba trong tọa độ trụ, tích phân bội ba trong tọa độ cầu. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích B2: Tích phân bội

TÍCH PHÂN BỘI
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP Hình bên là đồ thị của một hàm số f không âm, xác định trên hình chữ nhật R R D Œa; b Œc; d D .x; y / 2 R2 ˇ a Ä x Ä b và c Ä y Ä d ˚ ˇ « Đồ thị là mặt cong có phương trình z D f .x; y /. Gọi S là khối nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R S D .x; y ; z/ 2 R3 ˇ 0 Ä z Ä f .x; y /; .x; y / 2 R ˚ ˇ « Mục này của chương muốn đưa ra định nghĩa thể tích của khối S. GIẢI TÍCH B2 180/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Chia đoạn Œa; b thành m đoạn con Œxi 1 ; xi đều nhau với độ dài x D .b a/=m; chia đoạn Œc; d thành n đoạn con Œyj 1 ; yj đều nhau với độ dài y D .d c/=n. Như vậy ta có mn hình chữ nhật con có dạng Rij D Œxi 1 ; xi Œyj 1 ; yj D .x; y / ˇ xi 1 Ä x Ä xi ; yj 1 Ä y Ä yj ˚ ˇ « với diện tích A D xy . GIẢI TÍCH B2 181/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Trên mỗi ô con Rij , chọn một điểm mẫu .xij ; yij / ngẫu nhiên. Ta có thể xấp xỉ một phần thể tích của khối S nằm phía trên ô con Rij bằng thể tích cột dạng hộp có đáy Rij và chiều cao bằng f .xij ; yij /. Thể tích này bằng f .xij ; yij /A GIẢI TÍCH B2 182/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Và thể tích toàn khối S được xấp xỉ bởi m n XX V f .xij ; yij /A iD1 jD1 GIẢI TÍCH B2 183/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Định nghĩa tích phân kép Tích phân kép (The double integral) của hàm f trên một hình chữ nhật R là “ m n XX f .x; y /dA D lim f .xij ; yij /A; R m;n!1 iD1 jD1 miễn là giới hạn trên tồn tại theo nghĩa: với mọi số " > 0 cho trước, luôn có một số tự nhiên N sao cho ˇ“ m n XX ˇ f .x; y /dA f .xij ; yij /Aˇ < " ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ R iD1 jD1 đúng với mọi số m; n lớn hơn N và với mọi cách chọn điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij . Một hàm f như trên được gọi là khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 184/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ta thừa nhận định lý sau đây Điều kiện đủ để khả tích Nếu 1 hàm số f bị chặn trên hình chữ nhật R, nghĩa là có hằng số dương M sao cho 8.x; y / 2 R; ˇf .x; y /ˇ Ä M ˇ ˇ 2 f liên tục trên R, ngoại trừ, có thể gián đoạn trên vài đường cong trơn bên trong R (Đường cong trơn là đường cong được biểu diễn bởi hàm vectơ có đạo hàm liên tục.) thì f khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 185/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ghi chú. m n XX 1 Tổng f .xij ; yij /A được gọi là tổng Riemann và được dùng iD1 jD1 để xấp xỉ giá trị của tích phân kép. 2 Vì điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij được chọn tùy ý, nên ta có thể chọn theo nhiều cách cho các mục đích khác nhau. 3 Nếu f .x; y / 0; 8.x; y / 2 R, thì thể tích khối S nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R được định nghĩa bởi công thức “ V D f .x; y /dA R miễn là f khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 186/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ví dụ Hãy ước tính thể tích khối nằm trên hình vuông R D Œ0; 2 Œ0; 2 và nằm dưới mặt z D 16 x 2 2y 2 , bằng cách chia thành bốn hình vuông nhỏ và chọn điểm mẫu là góc trên bên phải của mỗi hình vuông con Rij . Phác họa khối đó và các hộp chữ nhật để tính xấp xỉ. Giải. Yêu cầu của phép xấp xỉ ứng với m D n D 2, A D 1, và ta có 2 XX2 V f .xi ; yj /A iD1 jD1 D f .1; 1/A C f .1; 2/A C f .2; 1/A C f .2; 2/A D 13.1/ C 7.1/ C 10.1/ C 4.1/ D 34 2 GIẢI TÍCH B2 187/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ta thấy nếu m; n càng lớn thì phép xấp xỉ càng chính xác. GIẢI TÍCH B2 188/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật QUY TẮC TRUNG ĐIỂM: XẤP XỈ TÍCH PHÂN Tổng Riemann dùng để xấp xỉ tích phân với điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij tùy ý. Có nhiều cách chọn điểm mẫu cho thuận tiện, trong đó có quy tắc sau đây Quy tắc trung điểm của tích phân kép “ m n XX f .x; y /dA f .x i ; yj /A R iD1 jD1 trong đó x i là trung điểm của đoạn Œxi 1 ; xi và yj là trung điểm của đoạn Œyj 1 ; yj . Nói cách khác, .x i ; yj / là tâm của hình chữ nhật con Rij . Ví dụ Dùng quy tắc trung điểm với m D n D 2, hãy xấp xỉ giá trị của “ .x 3y 2 /dA, trong đó R D Œ0; 2 Œ1; 2. R GIẢI TÍCH B2 189/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật 1 Giải. Diện tích của mỗi hình chữ nhật con là A D . Theo quy tắc 2 trung điểm thì 2 2 1 “ XX .x 3y 2 /dA f .x i ; yj / R 2 iD1 jD1 1 f .x 1 ; y 1 / C f .x 1 ; y 2 / C f .x 2 ; y 1 / C f .x 2 ; y 2 / D 2 1 h i D f 1; 5 C f 2; 7 C f 2; 5 C f 3; 7 2 4 1 4 3 4 2 4 2 1 h 67 139 51 123 i D 16 C 16 C 16 C 16 2 95 D D 11:875 “ 8 Vì vậy .x 3y 2 /dA 11:875 2 R GIẢI TÍCH B2 190/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Giá trị trung bình Giá trị trung bình (the average value) của hàm f hai biến được định nghĩa là 1 “ fave D f .x; y /dA A.R/ R Hình trên nói rằng nếu trong đó A.R/ là diện tích của R. z D f .x; y / 0 mô tả bề mặt địa hình, thì ta có thể cắt bỏ các chỏm đồi tại độ cao fave và dùng Định lý đất dư để lấp các thung lũng thì Nếu hàm số f liên tục trên R thì tồn ta được một vùng hoàn toàn tại . ; Á/ 2 R sao cho f . ; Á/ D fave . bằng phẳng có cao độ fave . GIẢI TÍCH B2 191/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật GIẢI TÍCH B2 192/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ví dụ Ở trang trước là một contour map biểu thị độ dày (đơn vị inch) của tuyết phủ ở bang Colorado trong hai ngày 20 và 21, tháng 12, 2006. Bang này có hình chữ nhật, từ Tây sang Đông là 388 dặm, từ Nam lên Bắc là 276 dặm. Hãy ước tính độ dày trung bình của tuyết phủ trên toàn bang. Giải. Lấy góc Tây Nam của bang làm gốc tọa độ thì bang Colorado được biểu thị bởi hình chữ nhật R D Œ0; 388 Œ0; 276. Đặt f .x; y / là độ dày tuyết phủ tại vị trí sang Đông x dặm và lên Bắc y dặm tính từ gốc. Khi đó độ dày trung bình của tuyết phủ toàn bang là 1 “ fave D f .x; y /dA A.R/ trong đó A.R/ D 388:276 dặm vuông. GIẢI TÍCH B2 193/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Để ước tính giá trị của tích phân kép ở trước, ta dùng quy tắc trung điểm với m D n D 4, nghĩa là chia bang Colorado thành 16 hình chữ nhật đều nhau, với diện tích mỗi hình là A D 16 .388:276/ 1 D 6693 dặm vuông Contour map cho ta ước đoán giá trị của f tại mỗi tâm hình chữ nhật con, do đó 4 4 1 1 XX “ fave D f .x; y /dA f .x i ; yj /A A.R/ R A.R/ iD1 jD1 A .0 C 15 C 8 C 7 C 2 C 25 C 18; 5 C 11 C 4; 5 A.R/ C 28 C 17 C 13; 5 C 12 C 15 C 17; 5 C 13/ 6693 D .207/ 12; 9 inches 2 388:276 GIẢI TÍCH B2 194/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP Giả sử các tích phân sau tồn tại. Khi đó “ “ “ 1 f .x; y / C g .x; y / dA D f .x; y /dA C g .x; y /dA R R R “ “ 2 cf .x; y /dA D c f .x; y /dA R R 3 Nếu f .x; y / g .x; y / với mọi .x; y / 2 R thì “ “ f .x; y /dA g .x; y /dA R R Tính chất 1, 2 được gọi tính chất tuyến tính của tích phân kép. GIẢI TÍCH B2 195/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.2. Tích phân lặp Các tích phân dưới đây Z b Z d Z b ÄZ d f .x; y /dydx D f .x; y /dy dx a c a c Z d Z b Z d ÄZ b f .x; y /dxdy D f .x; y /dx dy c a c a được gọi là các tích phân lặp (iterated integral), vì chúng là kết quả lấy tích phân theo từng biến x và y riêng lẻ. Hai tích phân lặp ở trên có thứ tự lấy tích phân theo các biến khác nhau. GIẢI TÍCH B2 196/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.2. Tích phân lặp Định lý Fubini Giả sử f là hàm số liên tục trên hình chữ nhật R D Œa; b Œc; d. Khi đó “ Z bZ d Z dZ b f .x; y /dA D f .x; y /dydx D f .x; y /dxdy : R a c c a Tổng quát hơn, có thể lấy giả thiết f bị chặn trên R, chỉ bị gián đoạn trên vài đường cong trơn bên trong R, và tồn tại các tích phân lặp. Ta không chứng minh định lý trên, thay vào đó, ta nêu ý tưởng hình thành định lý này theo cách trực quan GIẢI TÍCH B2 197/??
Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân 3.2. Tích phân lặp Trong hình bên, gọi S là khối nằm trên R và dưới mặt z D f .x; y /; V là thể tích khối S; C là đường cong vết trong mặt phẳng Z d x D hằng số; A.x/ D f .x; y /dy là diện c tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng trên cắt khối S. Nếu khối S bị cắt thành nhiều lát có độ dày x đều nhau và ta cộng thể Nếu cho số lát ngày càng tích các lát thì ta có xấp xỉ nhiều (x ! 0), ta thấy Xm V A.xi /x. “ iD1 f .x; y /dA D V R Xm Z b Z b ÄZ d D lim A.xi /x D A.x/dx D f .x; y /dy dx: m!1 a a c iD1 GIẢI TÍCH B2 198/??