TÍCH PHÂN BỘI BA
ĐỊNH NGHĨA
Cho đóng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z) xác định trong .
Phân hoạch thành những miền con k với thể tích V(k), d là đường kính phân hoạch. Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân là
k
n k 1
) ( ) S n f M V ( k
k
n k 1
f x y z dxdydz ( , , )
S lim n d 0
gọi là tp bội ba của f trên .
) ( ) S n f M V ( k
Tính chất hàm khả tích
(thể tích )
Cho là miền đóng và bị chận )
c
f
f
g
2 /
c f .
,
f g (
)
dxdydz 1 ( 1 V /
.
khoâng daãm nhau
vaø
,
2
2
f
f
f
3 / 1 1
1
2
1
2
Cách tính tích phân bội ba
•Giả sử là vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z = z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên
của miền D đóng và bị chận trong Oxy.
•Hình chiếu của lên Oxy là D.
z x y ( , ) 2
f x y z dxdydz ( , , )
f x y z dz dxdy ( ,
, )
D z x y ( , ) 1
Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D
1.Biến tính trước được chọn tương ứng với
biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa .
2. Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích.
VÍ DỤ
1/ Tính:
ydxdydz I
2, x z y
Là miền ghạn bởi :
Cách 1: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z (z1, z2 là 1 trong 2 hàm z = 1 – y, z = 0).
y z 1, 0
y
x
2,1
y
0
:
D hc Oxy
2
x
D y :
,1
y
0
1
z 1 y z , 0
y
-1
1
D
0
1
ydz dxdy
ydxdydz
D 1
1
1
4
6
dx
y
(1
y dy )
2
1 6
x 2
x 3
8 35
2
dx
1
0
x
y y dxdy (1 )
Lưu ý: có thể viết dưới dạng tp lặp
y
1
1
D
0
ydxdydz
ydz dxdy
1 1
y 1 0
1 dx dy 2 x
-1
1
ydz
2
x z y
z
y :
,
1,
0
Cách 2: y xuất hiện 2 lần, biến tính trước là y
2,
x
y x y z 1
1
2
z x 0,1 z :
D hc Oxz
1
ydxdydz
-1
2
1 z D x
ydy dxdz
2
x
1
1
2
4
x dz
dx z (1 )
ydy dxdz
1
0
1 z 2 D x x
1 2
1
1
6
4
1
1
z
1 2 1 2 3 x 3 8 35 x dx
-1
y
z
1
:
D hc Oxz
2
y
x
:
z 0 D hc Oxy
2/ Tính:
gh bởi:
I x y dxdydz ( ) ,
x y z x y y y z
3, 3
z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z :
z = 3 – y – x và z = 0
x 3, 3 2 6, 0, 0
:
D hc Oxy
x y x y y 3 3,3 2 6, 0,
x y (3 0)
x y
3
x y dz dxdy
(
)
D
0
2
3
y 2 3
I x y dxdydz ( ) ,
dy x y dx ( x y )(3 )
0
1
y 3
11 4
3/ Vẽ miền lấy tp cho tp sau:
x
2
2
dx
I
4 dy zdz
0
0
0
sau đó viết lại I theo thứ tự :I
dy dz zdx
Mặt trên: z = 4, mặt dưới: z = 0 (các hàm xác định trên R2 và 2 mặt không có giao tuyến)
Hình chiếu lên Oxy của miền :0 x 2, 0 y x/2
Hình chiếu lên Oxy của miền :0 x 2, 0 y x/2
Vậy miền lấy tp gh bởi các mặt sau:
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
2
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0
I dy dz zdx
:
y z z D hc Oyz y 0, 1, 0, 4
1 0
2 dy dz zdx 2y
4 0
I
3/ Tính:
zdxdydz I ,
: x2 + y2 2z, x2 + y2 + z2 3
Là miền nằm trong paraboloid.
2
2
x
y
2
2
2
2
x
y
x
y
:
3
2
D hc Oxy
2
2
2
2
x
y
Mặt trên:
Mặt dưới:
z
2 2 x y
z
3
2
zdxdydz
I
2
2
x
y
3
zdz
2
2
2
x
x
y
2
y D (
2 )
2
2
2
2
2
x
y
2
2
x
y
3
1 2
2
D
dxdy
2
2
2
2
2
2
x y
x y 3
D
2
1 2 2 dxdy
2
2
4
2
2
I
r
rdr
d
3
r 4
5 3
0
0
x r cos , r y sin
4/ Tính:
xdxdydz
I
,
: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0
x
y
1
:
2 x y ,
5,(3
0)
D hc Oxy
5
x
3
D1
D2
0
I
D 1
0
1
xdz dxdy
-2
2
x
xdz dxdy 3D 2
: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0
