Tr
ườ
ng Đ i h c Bách khoa tp. H Chí Minh Ứ
ụ
ồ ạ ọ B môn Toán ng d ng ộ -------------------------------------------------------------------------------------
Gi
i tích hàm nhi u bi n
ả
ề
ế
Ch
ng 4
ươ
: Tích phân b i baộ
• Gi ng viên Ts. Đ ng Văn Vinh (4/2008) ặ
ả
dangvvinh@hcmut.edu.vn
ộ
N i dung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Đ nh nghĩa, cách tính tích phân b i ba
ộ
ị
0.2 – T a đ tr
ọ ộ ụ
0.3 – T a đ c u
ọ ộ ầ
0.4 – ng d ng hình h c ọ ụ
Ứ
0.5 – ng d ng c h c ơ ọ ụ
Ứ
ộ
ị
I. Đ nh nghĩa, cách tính tích phân b i ba ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f x y z , ) ( , = xác đ nh trên v t th đóng, b ch n ị ặ E f ể ậ ị
,..., E Chia E m t cách tùy ý ra thành n kh i nh : ố ỏ ộ E E , 1 2 .n
( ( V E ( Th tích t ),..., ng ng m i kh i ể ươ ứ ỗ ố V E V E ), 1 2 ).n
i
i
iE
n
). ( , Trên m i kh i l y tuỳ ý m t đi m ể ấ ộ ỗ ố M x y z , i i
n
= (cid:0) (cid:0) ( L p t ng Riemann: ( I ) ậ ổ f M V E ) i i
= I E, và cách l y đi m ụ ấ ể Mi I lim n (cid:0) +(cid:0) n
= i 1 , không ph thu c cách chia ộ = ���
E
f x y z dxdydz , ) ( , I
đ c g i là ượ ọ tích phân b i baộ c a ủ f=f(x,y,z) trên kh i ố E.
ị
I. Đ nh nghĩa, cách tính tích phân kép --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính ch t c a tích phân b i ba
ấ ủ ộ
ặ ơ ị ặ ộ ố
1) Hàm liên t c trên m t kh i đóng, b ch n, có biên là m t tr n tùng khúc ụ thì kh tích trên mi n này. ề ả
dxdydz V E
= ��� 2) E
a= f x y z dxdydz , ) ( , f x y z dxdydz , ) ( , 3)
��� E a ���� E
+ = + g dxdydz ) f dxdydz gdxdydz 4)
��� E f ( ��� E ��� E
c chia làm hai kh i ượ ẫ ố E1 và E2 không d m lên nhau:
5) N u ế E đ = + fdxdydz fdxdydz fdxdydz
��� E ��� E 1 ��� E 2
E
E
" S x y z ( , , ) E f x y z , ) ( , , g x y z , ) ( , f 6) (cid:0)��� ��� g
E
f x y z dxdydz , ) I Đ nh lý (Fubini) ị = ��� ( ,
= z ) z x y 2 ( ,
Phân tích kh i ố E: Ch n m t chi u là x0y. ế ặ ọ
= M t phía d i: ặ ướ z ) z x y 1( ,
= M t phía trên: ặ z ) z x y 2 ( ,
0Pr xy E D=
Hình chi uế :
= z ) z x y 1( ,
E
x y ( , )
I f x y z dxdydz , ) ( , = ���
f x y z dz dxdy , ) ( ,
� z 2 = �� �� � D z x y ( , ) 1 � � � Hình chi uế : D
Ví dụ
2
2
2
2
= Tính tích phân b i ba trong đó E là v t th gi z dxdydz ) I i h n b i ể ớ ạ ở ậ ộ +��� ( x
E = - 2
+ = - x y 1, z x = , z y 0
2
2
Hình chi u c a E xu ng 0xy: ế ủ ố
2
2
(cid:0) D x : y+ 1
- = - ) 2 x y M t phía trên: ặ z x y 2 ( ,
2
2
z = 0 M t phía d i: ặ ướ
x
- -
2
2
= + I ( x
0
1
x
(cid:0) � 2 y � �� � � + � y � z dz dxdy ) � � �
2
2
x
y
2
- -
2
2
= + I dxdy
x
2 � � � 0
2
z 2 (cid:0) � x z �� � + � 1 y
2 2 )
2
2
2
- - (2 x y = - - I (2 x + 2 y )
x
2
2 (cid:0) � x �� � + � y 1 � dxdy � �
2 2 )
- - (2 x y
2
2
I dxdy Đ i sang t a đ c c. ọ ộ ự ổ = ��
+
x
y
1
2
2 (cid:0)
1
-
) 2
r
= = d I r dr ��
2
( 2 p 2 j � � 0
0
p 7 6
Ví dụ
2
Tính tích phân b i ba trong đó E là v t th gi i h n b i ể ớ ạ ở ậ ộ zdxdydz I = ���
E ặ
y = - 1 x z , = - 1 x 0 z (cid:0) và các m t ph ng t a đ , (ph n ) ọ ộ ầ ẳ
Hình chi u c a ế ủ E xu ng 0xy: ố
2
Tam giác OAB
= - ) 1 x M t phía trên: ặ z x y 2 ( ,
2
M t phía d i: ặ ướ z = 0
x
OAB
- � 1 B I = �� �� D � 0 � zdz dxdy � �
A
2
x
A - � 1
OAB
2
I = �� �� D � 0 � zdz dxdy � �
x
12
-
OAB
0
I B = �� D O
2
� z � � 2 � � � dxdy � �
-
(
) 2
1 x
OAB
2
I dxdy = �� D 2
1
x
- -
) 2
1 x
= I dy
( 1 = � � dx
0
0
2 11 60
Ví dụ
E
= y dxdydz 3 ) I Tính tích phân trong đó E là v t th gi ể ớ ạ i h n b i ở ậ +��� (2 x
= y x z , = - 1 = y x , 0, = z 0.
M t phía trên: ặ = - 1z y
M t phía d i: ặ ướ z = 0
Hình chi u c a ế ủ E xu ng 0xy: ố
-� 1 y ( �� �� � D 0
= + I 2 x 3
� ) y dz dxdy � �
y
1 0
- = I y 3 ) z
D
� +��� (2 x � dxdy �
)
= + - I 2 x 3 y (1
) y dxdy )
( ( �� D
(
)
= + - I 2 x 3 y (1
) y dy )
1 1 ( dx � � 0
x
I =
11 60
Ví dụ
E
= 1) dxdydz I Tính tích phân trong đó E là v t th gi ể ớ ạ i h n b i ở ậ +��� z (
2,
= = = = x y z x z , 0, x 1.
M t phía trên: z x= ặ
z = 0 M t phía d i: ặ ướ
Hình chi u c a ế ủ E xu ng 0xy: ố
D
x � +���� ( z � 0
= I 1)
2
� dz dxdy � �
D
x � � � 0
= I z
2
� � z +��� � 2 � � � � � dxdy � �
= I
2
� x +��� 2D � � x dxdy � �
= + I dy
- � 1 1 x � �� 2 2 � 1 y � x dx � �
I =
38 35
II. To đ tr ạ ộ ụ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
j
z , )
Đi m M(x,y,z) trong h tr c t a đ 0xyz. ệ ụ ọ ộ ể
r ấ ở ộ ( ,
M đ c xác đ nh duy nh t b i b ượ ị z
j r ( , z , ) đ c g i là ượ ọ . t a đ tr c a đi m M ọ ộ ụ ủ ể
M x y z (cid:0) , ) ( , t a đ Decasters ế ừ ọ ộ
Công th c đ i bi n t ứ sang t a đ tr : ổ ọ ộ ụ
j (cid:0) x cos
(cid:0) j (cid:0) z y sin
j
(cid:0) = (cid:0) r = (cid:0) r = y z z (cid:0)
' x j
r x
' y j
x = (cid:0) y y J ,0) r= M x y 1( ,
' z j
' x r ' r ' r
' z ' z ' z
z z
E
I f x y z dxdydz , ) ( , ổ ế = ���
j (cid:0) cos x
(cid:0) j (cid:0) sin y
(cid:0) = ) Đ i bi n sang t a đ tr . ọ ộ ụ = (cid:0) r = (cid:0) r = M t phía d z i: ặ ướ z r j 1( , z z (cid:0)
= = z ) z M t phía trên: ặ z z ) r j 2 ( , r j 2( ,
Hình chi u: ế D
,r j ị ủ ậ
Xác đ nh c n c a D:
2
j j j (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 r 1
j
j ( , r
z
2
r 2
= (cid:0) z ) :D z r j 1( , (cid:0) (cid:0) r (cid:0) r 2
j
j ( , r
) 2 dr � � � ) 1
z 1
r 1
= j j I d j ( cos , sin , ) z r f r r dz ��
2
Ví dụ
2 Tính tích phân trong đó E là v t th gi
E
2
2
= ể ớ ạ i h n b i ở ậ y dxdydz I +��� x
= - z 4, z = - 1 x + 2 x , y = 2 y 1.
2
z = 4 M t phía trên: ặ
2
2
= - 1z r M t phía d i: ặ ướ
(cid:0) D x : y+ 1 Hình chi u xu ng 0xy: ế ố
j (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 p 2
4
(cid:0) D : (cid:0) (cid:0) 0 r 1 (cid:0)
= j I d r dz ��
p 2 1 r dr � � � 2 0 0
1 r
p 2
1
1
4
2
2
-
+ =
)
2
1
r
0
0
p ( 2 j r � � 0
0
I d (3 r ) dr - � = � � � j 2 dr r z d � � = � � p 12 5
Ví dụ
E 2
2
2
2
2
2
zdxdydz I Tính tích phân trong đó E là v t th gi ể ớ ạ i h n b i ở ậ = ���
2
= + + + = z x y , z = + 2 x y , x y 1.
2
M t phía trên: z = + 2 r ặ
r= M t phía d z i: ặ ướ
2
2
Hình chi u c a ế ủ E xu ng 0xy: ố
(cid:0) D x : y+ 1
C n c a D: ậ ủ
j (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0
(cid:0) D : (cid:0) (cid:0) 0 r p 2 1 (cid:0)
2
+
r
2
+
22
r
2
p 2
1
2
p 2 1 dr � � � 0 0
2
= j I d z r dz �� dr 3p=
0
r
r
z = � � j r d 0 2
2
2
2
Ví dụ
= = + =
)
2 Tính tích phân trong đó E:
dxdydz z I 2 y x z , y 2.
( +��� x
E
Chi u xu ng x0z ố ế
2
y = 2 M t trên: ặ
y = M t d i: ặ ướ
2
2
r 2
(cid:0) Hình chi u:ế D x : z+ 4
2
2
y
2
p 2 2 r dr � � � 0 0 / 2
r
= j I d dy r ��
ạ ộ ầ
II. To đ c u ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
,
)
Đi m M(x,y,z) trong h tr c t a đ 0xyz. ệ ụ ọ ộ ể
q j r ấ ở ộ( ,
M đ c xác đ nh duy nh t b i b z ượ ị
q
r
M x y z (cid:0) , ) ( , q j r ( , , ) đ c g i là ượ ọ . t a đ c u c a đi m M ọ ộ ầ ủ ể
(cid:0) ứ ổ x
(cid:0) r (cid:0) ọ ộ ầ j cos j sin y
= r (cid:0) q cos z Công th c đ i bi n sang t a đ c u: ế = �� q r sin = �� q sin = (cid:0) r z q cos (cid:0)
j
'
'
y
' r
q
'
'
= r x x x j r q sin
2
' r
q
,0)
M x y 1( ,
'
'
x = (cid:0) J y y y j r =� | J | q sin �
' r
q
z z z j
ạ ộ ầ
II. To đ c u ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi s trong t a đ c u, v t th E đ c gi i h n b i: ả ử ọ ộ ầ ể ậ ượ ớ ạ ở
1
2
q q q (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
2
(cid:0) j j j (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
2
(cid:0) r r r (cid:0) (cid:0) (cid:0)
E
q
2
I f x y z dxdydz , ) ( , = ���
j q d
q
j
r
r 2 2 r j f d � � � 1 1
1
= q j r q j r q ( sin cos , sin sin , co s ) r d q r 2 s n i ��
Chú ý: q p (cid:0) (cid:0) 0
j p j (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 0 p 2
p or < < +(cid:0) r 0
2
2
Ví dụ
+ = + y x I i h n ậ ể ớ ạ
2 z dxdydz Tính tích phân trong đó E là v t th gi b iở
2
2
2
2
2
��� E
+ + + (cid:0) (cid:0) x y , x y z z . z
r (cid:0) x
(cid:0) r Đ i sang t a đ c u: ọ ộ ầ ổ (cid:0) j cos j sin y
(cid:0) = �� q sin = �� q sin = (cid:0) r z q cos (cid:0)
p
q (cid:0) (cid:0) Xác đ nh c n: ậ ị 0
4
j (cid:0) (cid:0) 0 p 2
p
p 2
q cos
r (cid:0) (cid:0) 0 q osc
2 sin
= j q = I q d r d r ��
/ 4 r d � � � 0 0
0
2 80 � 1 -� 10 � � p � �
Ví dụ
E
2
+ 2
+ 2
+ 2
= 2
I zdxdydz Tính tích phân trong đó E là v t th gi ể ớ ạ i h n b i ở ậ = ���
z
x
y
,
x
y
z
1.
(cid:0) -
z r (cid:0) x
Đ i sang t a đ c u: ọ ộ ầ ổ (cid:0) r (cid:0) y j cos j sin
(cid:0) = �� q sin = �� q sin = (cid:0) r z q cos (cid:0)
Xác đ nh c n: ậ ị q p (cid:0) (cid:0)
y j (cid:0) (cid:0) p 3 4 0 p 2
1
r (cid:0) (cid:0) 0 1 x
p
= - = q r I j r d q d cos sin d r 2 ��
p p 2 q � � � 0
0
p 3 / 4
8
Ví dụ
E
2
2
2
= I z dxdydz ) Tính tích phân trong đó E là v t th gi ể ớ ạ i h n b i ở ậ +��� ( y
= + + = (cid:0) z 0, x y z 2 y z 0) (
r (cid:0) x z Đ i sang t a đ c u: ọ ộ ầ ổ (cid:0) r (cid:0) y j cos j sin
y (cid:0) = �� q sin = �� q sin = (cid:0) r z q cos (cid:0)
q p (cid:0) (cid:0) p Xác đ nh c n: ậ ị
x
p (cid:0) (cid:0) 2 0 j
r (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 q 2sin j sin
(cid:0)
p
p p j q d d � � / 2
0
j q 2sin sin r � 0
= q j q r I ( sin sin q os ) c sin d r + r 2 ��
Cách 2.
Đ i sang t a đ c u m r ng ọ ộ ầ ở ộ ổ z
ọ ộ ờ
G c t a đ d i v ề ố đây r (cid:0) x
(cid:0) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) = �� q sin q r 1 sin j cos j sin y
(cid:0) = (cid:0) r y z q cos (cid:0)
p Xác đ nh c n: ậ ị q p (cid:0) (cid:0)
2
j (cid:0) (cid:0) 0 p 2
x
1
r (cid:0) (cid:0) 0 1
p
p p 2 r j (1 d � � � / 2 0
0
= + q q r I q d j r sin sin co s ) d + q r 2 s n i ��
2
2
+
+
x
y
z
(
2 3/ 2 Tính tích phân trong đó E là v t th gi )
Ví dụ
E
2
2
2
ể ớ ạ i h n b i ở ậ dxdydz I = ��� e
= + + = (cid:0) y 0, x y z y 0) 1 (
r (cid:0) x z (cid:0) Đ i sang t a đ c u: ọ ộ ầ ổ r (cid:0) y j cos j sin
(cid:0) = �� q sin = �� q sin = (cid:0) r z q cos (cid:0)
p (cid:0) (cid:0) Xác đ nh c n: ậ ị 0 q
y p j p (cid:0) (cid:0) 2
r (cid:0) (cid:0) 0 1
1
p 2
3
p
x - 1 = j q = I sin r d r 2 �� ep 2
p r q d e d � � � 0
0
3
Ví dụ
2
2
2
ể ớ ạ i h n b i ở ậ Tính tích phân trong đó E là v t th gi zdxdydz I = ���
E = z
+ + = (cid:0) 1, x y z 2 z z 1) (
r (cid:0) x
(cid:0) Đ i sang t a đ c u: ọ ộ ầ ổ r (cid:0) y j cos j sin
(cid:0) = �� q sin = �� q sin = (cid:0) r z q cos (cid:0)
p
q (cid:0) (cid:0) Xác đ nh c n: ậ ị 0
j (cid:0) (cid:0) 2 p 2 0
r (cid:0) (cid:0) ? 0
Ph i chia kh i E ra làm 2 kh i. Công vi c tính toán r t ph c t p. ả ố ố ứ ạ ệ ấ
Đ i sang t a đ c u m r ng ọ ộ ầ ở ộ ổ ọ ộ ờ
G c t a đ d i v ề ố đây
r (cid:0) x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) y
(cid:0) = �� q sin = (cid:0) r q sin = (cid:0) r - 1 z j cos j sin q cos (cid:0)
p
q p (cid:0) (cid:0) Xác đ nh c n: ậ ị
2
j (cid:0) (cid:0) 0 p 2
1
r (cid:0) (cid:0) 0 1
p
p p 2 r j (1 d � � � / 2 0
0
= + q rq I q d cos n ) d r 2 si ��
Ví dụ
2
E
2
2
2
2
2
dxdydz I = ��� ậ ể ớ ạ i h n b i ở Tính tích phân trong đó E là v t th gi 2 1 + x y
= + + = + (cid:0) (cid:0) z 0, x y z 4, x y z 0) ( 1
ệ
S d ng t a đ c u công vi c tính toán ộ ầ ọ ph c t p h n nhi u. ề ơ ử ụ ứ ạ
= j (cid:0) x r cos
(cid:0) = j (cid:0) y Đ i sang t a đ tr : ọ ộ ụ ổ
(cid:0) r sin = z z (cid:0)
j (cid:0) (cid:0) 0 Xác đ nh c n: ậ ị
2
(cid:0) 0 p 2 1r(cid:0)
(cid:0) (cid:0) - 0 z 4 r
1
p 2
4
-
2 r r = � � � r
0
0
0
j I dr d dz
0
0
Ví dụ
2
2
2
0 Đ i sang t a đ c u r i tính � 2 y x
4
4
x
dy I xdz ổ ọ ộ ầ ồ = � � dx - - - - - -
Xác đ nh v t th E: ể ậ ị V kh i E ố ẽ
y z
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 x 0
2
(cid:0) (cid:0) x - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 x y 0
2
2
(cid:0)
- - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 x y z 0 (cid:0)
Đ i bi n sang t a đ c u: ổ y z (cid:0) x
(cid:0) r (cid:0) y ọ ộ ầ j cos j sin x (cid:0) ế = �� q r sin = �� q sin = (cid:0) r z q cos (cid:0)
p
q p (cid:0) (cid:0) Xác đ nh c n: ị ậ
2
p j(cid:0) (cid:0)
2
r (cid:0) (cid:0) 0 p 3 2 2
p
p
p p 3 / 2 q � � � / 2
0
2
2
2
= q I j r d q d j r sin cos sin d r 2 ��
p 3 / 2 j j cos ��� �
p 3 / 2 �
p
p
p
p
= = (cid:0) I sin q q d r r d d sin q q d j j cos d
p � / 2
2 r � 0
p � / 2
1 4
p= - I
2
Ví dụ
2
2
- ổ ọ ộ ụ ồ
2 x x dx � � � 0 0
4 dy z x 0
+ = Đ i sang t a đ tr r i tính 2 y dz I
z
Xác đ nh v t th E: ể ậ ị V kh i E ố ẽ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 x 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 0 2 x x y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 z 4 (cid:0) (cid:0)
y
y
x
x
z
ổ ế
Đ i bi n sang t a đ tr : ọ ộ ụ j (cid:0) x cos
(cid:0) j (cid:0) y sin
(cid:0) = (cid:0) r = (cid:0) r = z z (cid:0)
p
j (cid:0) (cid:0) Xác đ nh c n: ị ậ 0
2
j (cid:0) (cid:0) 0 r 2cos
y
p
4
(cid:0) (cid:0) 0 z 4
j 2cos / 2 � � � 0 0
0
j
42
p
2cos
/ 2
= j I d dr z r r dz ���
x
2 r dr
I = � � j d
0
0
0
z 2
I =
128 9
ọ ủ
Ứ
ụ
ộ
III. ng d ng hình h c c a tích phân b i ba ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T đ nh nghĩa tích phân b i ba ta có công th c tính th tích v t th E: ừ ị ứ ể ể ậ ộ
V E
= ��� dxdydz 1
E
ể ử ụ ể ể ậ
Có th s d ng tích phân kép đ tính th tích v t th . ể Tuy nhiên trong m t s tr ng h p s d ng tích phân b i ba tính nhanh h n, ộ ố ườ ợ ử ụ ơ ộ
vì tích phân b i ba có cách đ i sang t a đ tr ho c t a đ c u. ọ ộ ụ ặ ọ ộ ầ ổ ộ
Ví dụ
2
2
2
2
2
2
2
2
Tính th tích v t th E đ c gi i h n b i ể ể ậ ượ ớ ạ ở
+ + = + + = + (cid:0) x y z 1; x y z 4, z x y
p
q (cid:0) (cid:0) V dxdydz 0 = ���
E
4
j (cid:0) (cid:0) p 2 0 S d ng t a đ c u ọ ộ ầ ử ụ
p
2
2
r (cid:0) (cid:0) 1 2
p / 4 2 r � � � 0 0
1
= j q r (cid:0) V q d d sin d
= p - V
14 3 7 2 p 3
ử ụ ứ ạ ấ
S d ng tích phân kép, tính toán r t ph c t p!!
2
2
Ví dụ
+ Tính th tích v t th E đ c gi ể ể ậ ượ ớ ạ ở - = = i h n b i z + = z x x 2 ; 3, x y x 3
E
V dxdydz = ��� = j (cid:0) x r cos
(cid:0) j (cid:0) = y S d ng t a đ tr
(cid:0) r sin = z z ọ ộ ụ p ử ụ p - (cid:0)
j (cid:0) (cid:0)
2 2
j (cid:0) (cid:0) 0 r 2cos
j - (cid:0) (cid:0) - r cos 3 z 3 j cos r
p
r
3
-
p
= (cid:0) V d dr r dz
j osc 2 / 2 j � � / 2
0
j cos � j cos
r
3
- -
p= 4V
z y
x
2
2
2
2
2
2
+
=
+
+
=
Ví dụ
+ i h n b i z z
4;
x
y
x
y
4
z
Tính th tích v t th E đ c gi ể ể ậ ượ ớ ạ ở
E
V dxdydz = ���
ử ụ ọ ộ ụ
j (cid:0) (cid:0) S d ng t a đ tr p 2 0
2
2
(cid:0) 0 r(cid:0) 3
2
- - (cid:0) (cid:0) - 2 4 r z r 4
3
4
-
2
0
= j (cid:0) V d dz r
p 2 r dr � � � 0 r
2
4
- - z
= V ọ ộ ầ ứ ạ ề ơ
p 10 3
x y S d ng t a đ c u tính ph c t p h n nhi u. ử ụ
=
=
0.
1,
x
y
z
+ = z
2,
Ví dụ
y i h n b i
Tính th tích v t th E đ c gi ể ể ậ ượ ớ ạ ở
y
1
-
0
1
Parabol
0
1 1 = � � � dx dy dz 2 x
E
-� � 1 y = �� �� � � �
dz dxdy V dxdydz = ��� -
Bài t pậ
Bài t pậ
