intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng - Tăng Lâm Tường Vinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST
Báo xấu
13
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng, cung cấp cho người học những kiến thức như Ôn tập tích phân bội ba, tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các, tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ, tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu, công thức đổi biến tổng quát; ứng dụng tích phân bội ba tính thể tích vật thể. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng - Tăng Lâm Tường Vinh

  1. Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 05/2020 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 1 / 61
  2. Nội dung 1 Ôn tập tích phân bội ba Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu Công thức đổi biến tổng quát 2 Ứng dụng tích phân bội ba tính thể tích vật thể 3 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 2 / 61
  3. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các các ví dụ mục bài Định lý 1 (Định lý Fubini) Cho f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D = (x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s là hàm liên tục trên miền D. Khi đó b d s b  d  s   f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz =   f (x, y, z) dz  dy  dx (1) Ω a c r a c r Chú ý: Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ta có 3! = 6 cách lấy tích phân khác nhau theo thứ tự của các biến x, y, z. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 3 / 61
  4. Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω các ví dụ mục bài Định lý 2 Cho miền Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ D, u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y) , trong đó D là hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng Oxy. Khi đó   u2 (x,y) I = f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz  dx dy (2)    Ω D u1 (x,y) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 4 / 61
  5. Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω các ví dụ mục bài Định lý 3 Cho miền Ω = (x, y, z) : (x, z) ∈ D, u1 (x, z) ≤ y ≤ u2 (x, z) , trong đó D là hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng Oxz. Khi đó   u2 (x,z) I = f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dy  dx dz (3)    Ω D u1 (x,z) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 5 / 61
  6. Tích phân bội ba trên miền bị chặn tổng quát Ω các ví dụ mục bài Định lý 4 Cho miền Ω = (x, y, z) : (y, z) ∈ D, u1 (y, z) ≤ x ≤ u2 (y, z) , trong đó D là hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng Oyz. Khi đó   u2 (y,z) I = f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y) dx dy dz (4)    Ω D u1 (y,z) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 6 / 61
  7. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ các ví dụ mục bài Điểm P (x, y, z) trong hệ trục tọa độ Oxyz được xác định duy nhất bộ (r, ϕ, z). Bộ (r, ϕ, z) được gọi là tọa độ trụ của điểm P . Công thức biến đổi từ tọa độ Đề-các sang tọa độ trụ    x = r cos ϕ  2 r = x 2 + y 2         y   ⇔ tan ϕ = y = r sin ϕ    x      z = z  z = z   TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 7 / 61
  8. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ các ví dụ mục bài Định lý 5 Cho miền Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ D, u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y) , trong đó D là hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng Oxy và D xác định trong hệ tọa độ cực D= (r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, h1 (ϕ) ≤ r ≤ h2 (ϕ) Khi đó   β h2 (ϕ) u2 (r cos ϕ,r sin ϕ) I = f (x, y, z) dx dy dz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz  r dr dϕ (5)    Ω α h1 (ϕ) u1 (r cos ϕ,r sin ϕ) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 8 / 61
  9. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ các ví dụ mục bài TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 9 / 61
  10. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu các ví dụ mục bài Điểm P (x, y, z) trong hệ trục tọa độ Oxyz được xác định duy nhất bởi bộ (θ, ϕ, ρ). Bộ (θ, ϕ, ρ) được gọi là tọa độ cầu của điểm P . Công thức biến đổi từ tọa độ Đề-các sang tọa độ cầu   x = ρ sin θ cos ϕ      (6) y = ρ sin θ sin ϕ     z = ρ cos θ  với 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, ρ > 0. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 10 / 61
  11. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu các ví dụ mục bài Định lý 6 Khi đổi biến từ hệ tọa độ Đề-các sang hệ tọa độ cầu theo công thức (6) thì tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền Ω trong không gian Oxyz là I = f (x, y, z) dx dy dz được xác định như sau Ω I= f ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ ρ2 sin θ dρ dϕ dθ (7) Ω TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 11 / 61
  12. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Định nghĩa 1 (Định thức Jacobian) Cho T là phép biến đổi miền Ω được xác định trong mặt phẳng uvw thành miền V trong mặt phẳng xyz theo những công thức sau x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) Khi đó định thức Jacobian được tính theo công thức xu xv xw J = yu yv yw zu zv zw TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 12 / 61
  13. Tích phân bội ba khi thực hiện biến đổi các ví dụ mục bài Định lý 7 Tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V trong không gian xyz là I = f (x, y, z) dx dy dz V được xác định như sau I = f x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) |J | du dv dw (8) Ω TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 13 / 61
  14. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ các ví dụ mục bài Định lý 8 Cho miền Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ D, u1 (x, y) ≤ z ≤ u2 (x, y) , trong đó D là hình chiếu của miền V xuống mặt phẳng Oxy và D xác định trong hệ tọa độ cực D = (r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, h1 (ϕ) ≤ r ≤ h2 (ϕ) . Khi đó   u2 (x,y) I = f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz  dx dy    Ω D u1 (x,y)   β h2 (ϕ) u2 (r cos ϕ,r sin ϕ) = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz  r dr dϕ    α h1 (ϕ) u1 (r cos ϕ,r sin ϕ) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 14 / 61
  15. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ các ví dụ mục bài TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 15 / 61
  16. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu các ví dụ mục bài Định lý 9 Cho T là phép biến đổi trên miền Ω được xác định trong hệ tọa độ cầu thành miền V trong không gian xyz theo những công thức sau   x = ρ sin θ cos ϕ       y = ρ sin θ sin ϕ      z = ρ cos θ  Tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V trong không gian xyz được xác định như sau I = f (x, y, z) dx dy dz = f ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ ρ2 sin θ dρ dϕ dθ V Ω TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 16 / 61
  17. Tích phân bội ba trên miền hình cầu các ví dụ mục bài Định lý 10 Miền hình cầu: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R2 , công thức biến đổi trong hệ tọa độ cầu mở rộng là   x − x0 = ρ sin θ cos ϕ        y − y0 = ρ sin θ sin ϕ       z − z0 = ρ cos θ  Tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V trong không gian xyz được xác định như sau 2 I = f (x, y, z) dx dy dz = f x0 + ρ sin θ cos ϕ, y0 + ρ sin θ sin ϕ, z0 + ρ cos θ ρ sin θ dρ dϕ dθ V Ω TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 17 / 61
  18. Tích phân bội ba trên miền hình ellipsoid các ví dụ mục bài Định lý 11 x2 y2 z2 Miền hình ellipsoid: 2 + 2 + 2 = 1, công thức biến đổi trong hệ tọa độ cầu mở rộng là a b c x y z = ρ sin θ cos ϕ, = ρ sin θ sin ϕ, = ρ cos θ a b c Tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên miền V trong không gian xyz được xác định như sau I = f (x, y, z) dx dy dz = f aρ sin θ cos ϕ, bρ sin θ sin ϕ, cρ cos θ abcρ2 sin θ dρ dϕ dθ V Ω TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 18 / 61
  19. Tính thể tích vật thể các ví dụ mục bài Định lý 12 Thể tích vật thể Ω được tính theo công thức V = 1 dx dy dz (9) Ω TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 19 / 61
  20. Tính khối lượng vật thể các ví dụ mục bài Định lý 13 Khối lượng vật thể Ω có hàm mật độ ρ(x, y, z) được tính theo công thức m= ρ(x, y, z) dx dy dz (10) Ω TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân bội ba và ứng dụng 20 / 61
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2