Bài giảng Giải tích II: Chương 2 - Tích phân bội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:111

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích II: Chương 2 - Tích phân bội" trình bày các nội dung chính sau đây: Tích phân kép; Đổi biến trong tích phân kép; Tích phân kép trong tọa độ cực; Ứng dụng của tích phân kép; Tích phân bội ba;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích II: Chương 2 - Tích phân bội

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 1 / 73
Nội dung 1 Tích phân kép 2 Đổi biến trong tích phân kép 3 Tích phân kép trong toạ độ cực 4 Ứng dụng của tích phân kép: Diện tích hình phẳng 5 Ứng dụng của tích phân kép: Diện tích mặt cong 6 Tích phân bội ba 7 Đổi biến trong tích phân bội ba 8 Tích phân bội ba trong toạ độ trụ 9 Tích phân bội ba trong toạ độ cầu 10 Ứng dụng của tích phân bội ba: Thể tích Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 2 / 73
Bài toán tính thể tích z Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định và liên tục trên z = f (x, y) miền D đóng và bị chặn với biên ∂D trong mặt phẳng Oxy. Giả sử f (x, y) ≥ 0. Gọi E là vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, tức là, y E = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ D}. D Bài toán: Hãy tìm thể tích V (E) của vật thể E. x Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 3 / 73
Xấp xỉ vật thể thành các hình trụ con z f (Mk ) z = f (x, y) y Dk Mk D x Phân hoạch miền D một cách tùy ý thành các miền con D1 , D2 , . . . , Dn sao cho các miền Dk không giao nhau ngoại trừ biên của chúng. Gọi ∆Sk là diện tích của miền Dk . Trong mỗi miền Dk , lấy điểm Mk tùy ý. Khi đó, n V (E) ≈ f (Mk ) · ∆Sk . k=1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 4 / 73
Định nghĩa tích phân kép Cho z = f (x, y) là một hàm hai biến xác định trên miền đóng và bị chặn D. Phân hoạch miền D một cách tùy ý thành các miền con D1 , D2 , . . . , Dn sao cho các Dk không giao nhau ngoại trừ biên của chúng. Gọi ∆Sk là diện tích của miền con Dk . Đặt d(Dk ) là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong Dk , và d = max {d(Dk )}. 1≤k≤n Lấy Mk là điểm tùy ý trong Dk . n Tổng tích phân của f (x, y) trên miền D là In = f (Mk ) · ∆Sk . k=1 Nếu lim In tồn tại không phụ thuộc vào cách phân hoạch miền D và cách chọn các điểm Mk trong mỗi miền d→0 Dk , thì giới hạn này được gọi là tích phân kép của hàm f trên miền D. Kí hiệu là f (x, y)dS. D Lúc đó, ta nói hàm f (x, y) khả tích trên miền D. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 5 / 73
Định nghĩa tích phân kép Giả sử f (x, y) khả tích trên miền D. Khi đó, việc tính tích phân kép không phụ thuộc cách phân hoạch miền D. Do đó, ta có thể phân hoạch miền D theo các đường song song với các trục tọa độ. Lúc đó, ∆Sk = ∆x · ∆y và ta có thể viết như sau: f (x, y)dS = f (x, y)dxdy. D D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 6 / 73
Ứng dụng của tích phân kép: Thể tích của vật thể Hệ quả 1 Nếu f (x, y) ≥ 0 liên tục trên miền D, thì thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, được tính theo công thức V = f (x, y)dxdy. D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 7 / 73
Ứng dụng của tích phân kép: Thể tích của vật thể Hệ quả 1 Nếu f (x, y) ≥ 0 liên tục trên miền D, thì thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, được tính theo công thức V = f (x, y)dxdy. D √ Ví dụ. Cho D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}. Hãy tính tích phân 1 − x2 dxdy. D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 7 / 73
Ứng dụng của tích phân kép: Thể tích của vật thể Hệ quả 1 Nếu f (x, y) ≥ 0 liên tục trên miền D, thì thể tích V của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, được tính theo công thức V = f (x, y)dxdy. D √ Ví dụ. Cho D = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}. Hãy tính tích phân 1 − x2 dxdy. D Lời giải. z Theo Hệ quả trên, tích phân cần tìm là thể tích V của √ vật thể nằm phía dưới hàm không âm √ z= 1 − x2 z = f (x, y) = 1 − x2 và nằm trên hình chữ nhật D = [−1, 1] × [−2, 2]. Do đó, vật thể này là nửa hình y trụ như hình vẽ và vì vậy V = 2π(đvtt). x Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 7 / 73
Các tính chất của tích phân kép Cho f (x, y), g(x, y) là các hàm khả tích trên miền D ⊆ R2 , và c, m, M là các số thực. Khi đó, 1 [f (x, y) + g(x, y)]dxdy = f (x, y)dxdy + g(x, y)dxdy; D D D 2 c · f (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy; D D 3 Nếu D = D1 ∪ D2 , trong đó D1 và D2 không giao nhau ngoại trừ biên của chúng, thì f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy; D D1 D2 4 Nếu f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, thì f (x, y)dxdy ≥ g(x, y)dxdy. D D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 8 / 73
Định lý Fubini Định lý 2 (Định lý Fubini) Nếu f liên tục trên R = [a, b] × [c, d], thì b  d  d  b  f (x, y)dxdy =  f (x, y)dy  dx =  f (x, y)dx dy. R a c c a Kí hiệu: b d b  d  d b d  b  dx f (x, y)dy :=  f (x, y)dy  dx và dy f (x, y)dx :=  f (x, y)dx dy. a c a c c a c a Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 9 / 73
Định lý Fubini Định lý 2 (Định lý Fubini) Nếu f liên tục trên R = [a, b] × [c, d], thì b  d  d  b  f (x, y)dxdy =  f (x, y)dy  dx =  f (x, y)dx dy. R a c c a Kí hiệu: b d b  d  d b d  b  dx f (x, y)dy :=  f (x, y)dy  dx và dy f (x, y)dx :=  f (x, y)dx dy. a c a c c a c a Đặc biệt, nếu f (x, y) có thể phân tích thành tích của hàm một biến của x và hàm một biến của y, thì tích phân kép của f có thể viết thành tích của các tích phân sau:  b   d  g(x)h(y)dxdy =  g(x)dx ·  h(y)dy  . R a c Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 9 / 73
Các ví dụ Ví dụ 1. Tính (x − 3y 2 )dxdy, trong đó R = [0, 2] × [1, 2]. R Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 10 / 73
Các ví dụ Ví dụ 1. Tính (x − 3y 2 )dxdy, trong đó R = [0, 2] × [1, 2]. R Lời giải. Theo Định lý Fubini, ta có thể viết lại tích phân đã cho như sau: 2 2 2 y=2 (x − 3y 2 )dxdy = dx (x − 3y 2 )dy = xy − y 3 y=1 dx R 0 1 0 2 = (x − 7)dx = −12. 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 10 / 73
Các ví dụ Ví dụ 2. Tìm thể tích của vật thể S bị chặn bởi elliptic paraboloid x2 + 2y 2 + z = 16, các mặt phẳng x = 2 và y = 2 và ba mặt phẳng toạ độ. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 11 / 73
Các ví dụ Ví dụ 2. Tìm thể tích của vật thể S bị chặn bởi elliptic paraboloid x2 + 2y 2 + z = 16, các mặt phẳng x = 2 và y = 2 và ba mặt phẳng toạ độ. Lời giải. z Thể tích cần tìm là x2 + 2y 2 + z = 16 V = (16 − x2 − 2y 2 )dxdy [0,2]×[0,2] 2 2 = dx (16 − x2 − 2y 2 )dy y 0 0 = 48(đvtt). x Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 11 / 73
Miền phẳng kiểu 1 Một miền phẳng D được gọi là kiểu 1 nếu nó nằm giữa hai đồ thị của các hàm liên tục của x, tức là, D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)}, trong đó g1 và g2 liên tục trên [a, b]. Định lý 3 Nếu f (x, y) khả tích trên miền kiểu 1 ở trên thì b g2 (x) f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy. D a g1 (x) Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 12 / 73
Miền phẳng kiểu 2 Một miền phẳng kiểu 2 là D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)}, trong đó h1 và h2 là các hàm liên tục trên [c, d]. Định lý 4 Nếu f (x, y) khả tích trên miền kiểu 2 ở trên thì   d h2 (y) d h2 (y) f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy = dy f (x, y)dx.    D c h1 (y) c h1 (y) Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 13 / 73
Các ví dụ Ví dụ 1. Tính (x + 2y)dxdy, trong đó D là miền bị chặn bởi các parabol y = 2x2 và y = 1 + x2 . D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 14 / 73
Các ví dụ Ví dụ 1. Tính (x + 2y)dxdy, trong đó D là miền bị chặn bởi các parabol y = 2x2 và y = 1 + x2 . D Lời giải. Ta có 1 1+x2 y = 2x2 y (x + 2y)dxdy = dx (x + 2y)dy D −1 2x2 y = 1 + x2 1 = x(1 + x2 ) − 2x3 + (1 + x2 )2 − 4x4 dx −1 1 32 D = 2 (1 + x2 )2 − 4x4 dx = . x 15 1 0 -1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 2 14 / 73