intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích II: Chương 3 - Tích phân phụ thuộc tham số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST
Báo xấu
7
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích II: Chương 3 - Tích phân phụ thuộc tham số" trình bày các nội dung chính sau đây: Tích phân xác định phụ thuộc tham số; Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; Hàm Gamma; Hàm Beta. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích II: Chương 3 - Tích phân phụ thuộc tham số

  1. Chương 3 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 1/37 1 / 37
  2. Nội dung 1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 3 Hàm Gamma 4 Hàm Beta Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 2/37 2 / 37
  3. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Cho f (x, y) là một hàm hai biến số xác định trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d]. Giả sử với mỗi y ∈ [c, d], hàm số z = f (x, y) khả tích theo x trên [a, b]. Khi đó tích phân b f (x, y) dx a xác định hàm phụ thuộc vào tham số y, ta có thể viết b I(y) = f (x, y) dx a như một hàm số theo biến y. Tích phân trên gọi là tích phân phụ thuộc tham số, y là tham số. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 3/37 3 / 37
  4. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ 1. 1 1 y 1 exy dx = e − (y ̸= 0). y y 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 4/37 4 / 37
  5. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ 1. 1 1 y 1 exy dx = e − (y ̸= 0). y y 0 Tích phân ở ví dụ này có thể tính được tường minh, với kết quả là hàm số theo biến y. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 4/37 4 / 37
  6. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ 1. 1 1 y 1 exy dx = e − (y ̸= 0). y y 0 Tích phân ở ví dụ này có thể tính được tường minh, với kết quả là hàm số theo biến y. Ví dụ 2. π/2 dx . 1 − y 2 sin2 x 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 4/37 4 / 37
  7. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ 1. 1 1 y 1 exy dx = e − (y ̸= 0). y y 0 Tích phân ở ví dụ này có thể tính được tường minh, với kết quả là hàm số theo biến y. Ví dụ 2. π/2 dx . 1 − y 2 sin2 x 0 Tích phân này chỉ tính được khi y = 0. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 4/37 4 / 37
  8. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ 1. 1 1 y 1 exy dx = e − (y ̸= 0). y y 0 Tích phân ở ví dụ này có thể tính được tường minh, với kết quả là hàm số theo biến y. Ví dụ 2. π/2 dx . 1 − y 2 sin2 x 0 Tích phân này chỉ tính được khi y = 0. Đây là hàm số theo biến y, y ∈ (−1, 1). Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 4/37 4 / 37
  9. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ 1. 1 1 y 1 exy dx = e − (y ̸= 0). y y 0 Tích phân ở ví dụ này có thể tính được tường minh, với kết quả là hàm số theo biến y. Ví dụ 2. π/2 dx . 1 − y 2 sin2 x 0 Tích phân này chỉ tính được khi y = 0. Đây là hàm số theo biến y, y ∈ (−1, 1). Trong nhiều trường hợp, ta không tính được tường minh tích phân phụ thuộc tham số, nhưng có thể xét được một số tính chất của hàm số xác định bởi tích phân đó. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 4/37 4 / 37
  10. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ 1. 1 1 y 1 exy dx = e − (y ̸= 0). y y 0 Tích phân ở ví dụ này có thể tính được tường minh, với kết quả là hàm số theo biến y. Ví dụ 2. π/2 dx . 1 − y 2 sin2 x 0 Tích phân này chỉ tính được khi y = 0. Đây là hàm số theo biến y, y ∈ (−1, 1). Trong nhiều trường hợp, ta không tính được tường minh tích phân phụ thuộc tham số, nhưng có thể xét được một số tính chất của hàm số xác định bởi tích phân đó. Tính liên tục, khả vi, khả tích của hàm số I(y)? Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 4/37 4 / 37
  11. Tính liên tục Định lý b Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] × [c, d], thì I(y) = f (x, y) dx là hàm số liên tục trên [c, d]. a Chứng minh. Với y ∈ [c, d] và số gia h sao cho y + h ∈ [c, d]. Ta có b |I(y + h) − I(y)| ≤ |f (x, y + h) − f (x, y)| dx. a Do f là hàm số liên tục trên [a, b] × [c, d] nên f liên tục đều ε |f (x, y + h) − f (x, y)| < với |h| < δ và ∀x ∈ [a, b] ⇒ |I(y + h) − I(y)| < ε. b−a Hàm số I(y) liên tục. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 5/37 5 / 37
  12. Tính liên tục 1 xdx Ví dụ (20201). Cho hàm số I(y) = . Xét tính liên tục của I(y). Từ 0 x4 (1 + y6)+ 3(y 2 + 2) đó tìm lim I(y). y→0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 6/37 6 / 37
  13. Tính liên tục 1 xdx Ví dụ (20201). Cho hàm số I(y) = . Xét tính liên tục của I(y). Từ 0 x4 (1 + y6)+ 3(y 2 + 2) đó tìm lim I(y). y→0 x Lời giải. Hàm số f (x, y) = liên tục trên [0, 1] × [c, d], với mọi khoảng x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) 1 [c, d] ⊂ R nên hàm số I(y) = f (x, y)dx liên tục trên mọi khoảng [c, d] ⊂ R, tức là liên tục 0 trên R. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 6/37 6 / 37
  14. Tính liên tục 1 xdx Ví dụ (20201). Cho hàm số I(y) = . Xét tính liên tục của I(y). Từ 0 x4 (1 + y6)+ 3(y 2 + 2) đó tìm lim I(y). y→0 x Lời giải. Hàm số f (x, y) = liên tục trên [0, 1] × [c, d], với mọi khoảng x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) 1 [c, d] ⊂ R nên hàm số I(y) = f (x, y)dx liên tục trên mọi khoảng [c, d] ⊂ R, tức là liên tục 0 trên R. Suy ra lim I(y) = I(0) y→0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 6/37 6 / 37
  15. Tính liên tục 1 xdx Ví dụ (20201). Cho hàm số I(y) = . Xét tính liên tục của I(y). Từ 0 x4 (1 + y6)+ 3(y 2 + 2) đó tìm lim I(y). y→0 x Lời giải. Hàm số f (x, y) = liên tục trên [0, 1] × [c, d], với mọi khoảng x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) 1 [c, d] ⊂ R nên hàm số I(y) = f (x, y)dx liên tục trên mọi khoảng [c, d] ⊂ R, tức là liên tục 0 trên R. Suy ra 1 xdx lim I(y) = I(0) = y→0 x4 + 6 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 6/37 6 / 37
  16. Tính liên tục 1 xdx Ví dụ (20201). Cho hàm số I(y) = . Xét tính liên tục của I(y). Từ 0 x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) đó tìm lim I(y). y→0 x Lời giải. Hàm số f (x, y) = liên tục trên [0, 1] × [c, d], với mọi khoảng x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) 1 [c, d] ⊂ R nên hàm số I(y) = f (x, y)dx liên tục trên mọi khoảng [c, d] ⊂ R, tức là liên tục 0 trên R. Suy ra 1 1 xdx 1 d(x2 ) lim I(y) = I(0) = 4+6 = y→0 x 2 x4 + 6 0 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 6/37 6 / 37
  17. Tính liên tục 1 xdx Ví dụ (20201). Cho hàm số I(y) = . Xét tính liên tục của I(y). Từ 0 x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) đó tìm lim I(y). y→0 x Lời giải. Hàm số f (x, y) = liên tục trên [0, 1] × [c, d], với mọi khoảng x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) 1 [c, d] ⊂ R nên hàm số I(y) = f (x, y)dx liên tục trên mọi khoảng [c, d] ⊂ R, tức là liên tục 0 trên R. Suy ra 1 1 ò1 d(x2 ) x2 ï xdx 1 1 lim I(y) = I(0) = 4+6 = = √ arctan √ y→0 x 2 x4 + 6 2 6 6 0 0 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 6/37 6 / 37
  18. Tính liên tục 1 xdx Ví dụ (20201). Cho hàm số I(y) = . Xét tính liên tục của I(y). Từ 0 x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) đó tìm lim I(y). y→0 x Lời giải. Hàm số f (x, y) = liên tục trên [0, 1] × [c, d], với mọi khoảng x4 (1 + y6) + 3(y 2 + 2) 1 [c, d] ⊂ R nên hàm số I(y) = f (x, y)dx liên tục trên mọi khoảng [c, d] ⊂ R, tức là liên tục 0 trên R. Suy ra 1 1 ò1 d(x2 ) x2 ï xdx 1 1 1 1 lim I(y) = I(0) = 4+6 = 4+6 = √ arctan √ = √ arctan √ . y→0 x 2 x 2 6 6 0 2 6 6 0 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 6/37 6 / 37
  19. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Tính khả vi b ′ ′ I (y) = fy (x, y) dx? a Leibnitz là người đầu tiên tìm ra công thức này năm 1697. Định lý (Quy tắc Leibniz) ′ Giả sử f (x, y) là hàm số liên tục và có đạo hàm riêng fy (x, y) liên tục trên một miền của mặt phẳng Oxy chứa hình chữ nhật [a, b] × [c, d]. Khi đó với c ≤ y ≤ d, ta có b b d ′ f (x, y) dx = fy (x, y) dx. dy a a Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 7/37 7 / 37
  20. Tích phân xác định phụ thuộc tham số Ví dụ, xét tích phân phụ thuộc tham số 1 dx 1 1 I(y) = = arctan với y ̸= 0. x2 + y 2 y y 0 Đạo hàm hai vế và sử dụng quy tắc Leibnitz, ta có 1 Å ã ′ dx 1 1 1 1 1 1 I (y) = −2y 2 + y 2 )2 = −2y 3 arctan + 2 2) = − 2 arctan − . (x 2y y 2y (1 + y y y y(1 + y 2 ) 0 Áp dụng: Tính tích phân sau 1 dx . (x2 + 1)3 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-GIẢI TÍCH II-CHƯƠNG 3 SAMI.HUST – 2023 8/37 8 / 37
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2