intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích II: Chương 5 - Tích phân mặt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
10
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích II: Chương 5 - Tích phân mặt" trình bày các nội dung chính sau đây: Tích phân mặt loại một; Các tính chất của tích phân mặt loại một; Cách tính tích phân mặt loại một; Tích phân mặt loại hai; Các tính chất của tích phân mặt loại hai; Cách tính tích phân mặt loại hai;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích II: Chương 5 - Tích phân mặt

  1. Chương 5 TÍCH PHÂN MẶT BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 1/33 1 / 33
  2. Nội dung 1 Nội dung, mục tiêu Tích phân mặt loại một Tích phân mặt loại hai Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 2/33 2 / 33
  3. Tích phân mặt Nội dung Chương 5 1.1 Tích phân mặt loại một 1.2 Tích phân mặt loại hai Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 3/33 3 / 33
  4. Tích phân mặt loại một Định nghĩa Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên một mặt S đóng và bị chặn trong R3 . • Chia mặt S thành n mặt con p : S1 , S2 , . . . , Sn với diện tích tương ứng là ∆S1 , ∆S2 , . . . , ∆Sn . • Trong mỗi mảnh Si lấy một điểm tuỳ ý Mi (xi , yi , zi ). • Lập tổng tích phân n S(f, p) = f (xi , yi , zi )∆Si . i=1 • Nếu tồn tại giới hạn limdp→0 S(f, p) = I (dp = max d(Si )), không phụ thuộc vào cách Hình 1: Mặt cong 1≤i≤n chia miền thành các miền con Si và cách lấy các điểm Mi , thì giới hạn này được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f (x, y, z) trên mặt S. Tích phân này được ký hiệu là f (x, y, z)dS. Khi đó, ta nói f khả tích trên S. S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 4/33 4 / 33
  5. Các tính chất của tích phân mặt loại một Tính chất 1. Diện tích của mặt cong S = 1dS; S 2. Tích phân mặt loại một không phụ thuộc phía của S; 3. Nếu S = S1 ∪ S2 và S1 , S2 không dẫm lên nhau thì f (x, y, z)dS = f (x, y, z)dS + f (x, y, z)dS; S S1 S2 4. Nếu S gồm 2 phần S1 và S2 đối xứng với nhau qua mp z = 0 (Oxy) và • f chẵn theo z thì f (x, y, z)dS = 2 f (x, y, z)dS, S S1 • f lẻ theo z thì f (x, y, z)dS = 0. S Tích phân mặt loại một có nhiều ứng dụng trong vật lý tương tự như tích phân xác định và tích phân bội ta đã xét. Ví dụ, trong trường hợp một mặt mỏng (như mảnh giấy nhôm) có hình dạng của mặt cong S, khối lượng riêng tại mỗi điểm M (x, y, z) là ρ(x, y, z) thì khối lượng của mặt mỏng sẽ được cho bởi ρ(x, y, z)dS. S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 5/33 5 / 33
  6. Cách tính tích phân mặt loại một Cách tính Giả sử S được cho bởi phương trình z = z(x, y) với (x, y) ∈ D ⊂ R2 , trong đó z(x, y) là một hàm số khả vi liên tục, D là hình chiếu của mặt S lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó, • dS = ′ ′ 1 + zx 2 + zy 2 dxdy, • f (x, y, z)dS S = f x, y, z(x, y) ′ ′ 1 + zx 2 + zy 2 dxdy. D Hình 2: Cách tính tích phân mặt loại một Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 6/33 6 / 33
  7. Cách tính tích phân mặt loại một Tổng quát: B1. Chọn cách viết phương trình mặt cong S (theo biến có số lần xuất hiện ít nhất trong phương trình mặt cong S và các mặt chắn), B2. Tìm hình chiếu D của S lên mp tương ứng (giống tính thể tích trong phần tích phân kép), B3. Tính tích phân trên D. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 7/33 7 / 33
  8. Các ví dụ Ví dụ 1 Tính x2 + y 2 dS trên mặt biên của miền Ω : x2 + y 2 ≤ z ≤ 1. S Hình 3: Mặt nón Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 8/33 8 / 33
  9. Các ví dụ Ví dụ 1 • S gồm mặt nón z1 = x2 + y 2 và mặt phẳng z2 = 1. • hc(Oxy) S1 = hc(Oxy) S2 = D : x2 + y 2 ≤ 1. x 2 y 2 √ • S1 : z = x2 + y 2 ⇒ dS = ′ ′ 1 + zx 2 + zy 2 dxdy = 1+ √ + √ dxdy = 2dxdy. x2 +y 2 x2 +y 2 • S2 : z = 1 ⇒ dS = ′ ′ 1 + zx 2 + zy 2 dxdy = dxdy. Do đó, √ I= x2 + y 2 dS + x2 + y 2 dS = x2 + y 2 2dxdy + x2 + y 2 dxdy S1 S2 D D √ √ 2π 1 2π √ = (1 + 2) x2 + y 2 dxdy = (1 + 2) dφ r.rdr = (1 + 2). 0 0 3 D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 SAMI.HUST – 2023 9/33 9 / 33
  10. Các ví dụ Ví dụ 2 Tính zdS, với S là phần mặt z = 5 − x − y bị chắn bởi các mặt 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0. S Hình 4: Miền D Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 10/33 SAMI.HUST – 2023 10 / 33
  11. Các ví dụ Ví dụ 2 • S : z = 5 − x − y. • D giới hạn bởi các đường 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0. Do đó, √ √ 3 2−2 y 3 I= (5 − x − y) 1 + 1 + 1dxdy = 3 dy (5 − x − y)dx 1 1− y 3 D √ √ 3 y (1 − y )2 3 y 16 3 = 3 5(1 − )−3 − y(1 − ) = . 1 3 2 3 9 BTVN 1. Tính: zdS, với S là phần mặt z = x2 + y 2 bị chắn bởi các mặt z = 1 và z = 2; S 2. Tính diện tích của mặt z = 4 − x2 − y 2 bị chắn trong mặt trụ x2 + y 2 = 2y; √ 3. Tính diện tích của phần mặt trụ: 2z = x2 bị chắn bởi các mặt x − 2y = 0, y − 2x = 0, x = 2 2. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 11/33 SAMI.HUST – 2023 11 / 33
  12. Tích phân mặt loại hai Mặt định hướng Cho (S) là mặt cong trơn, giới hạn bởi một đường cong trơn từng khúc C. Lấy điểm M ∈ (S) và dựng pháp tuyến − của (S) tại M . Nếu xuất phát từ điểm M di chuyển theo một đường cong kín, quay về điểm xuất phát → n M mà pháp tuyến − không đổi hướng, thì ta nói (S) định hướng được. →n Mặt định hướng được Các mặt xác định bởi z = f (x, y) là mặt định hướng được và có hai hướng: − → +) Hướng − tạo với trục Oz một góc ≤ 90◦ , → n − → +) Hướng − tạo với trục Oz một góc ≥ 90◦ . → n Mặt định hướng được Các mặt kín như mặt cầu, ellipsoid,. . . là mặt định hướng được và có hai hướng: − hướng ra ngoài và − hướng → n → n vào trong. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 12/33 SAMI.HUST – 2023 12 / 33
  13. Tích phân mặt loại hai Mặt không định hướng được Mặt Mobius không định hướng được: Hình 5: Mặt Mobius Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 13/33 SAMI.HUST – 2023 13 / 33
  14. Trường vectơ Trong chương trình vật lý phổ thông, chúng ta đã biết công thức tính từ thông của trường cảm ứng điện từ đều − → B qua một vòng dây dẫn phẳng có diện tích S và vectơ pháp tuyến − được tính bằng công thức → n − · − )S. Trong phần này, chúng ta giới thiệu tích phân mặt loại hai, giúp tính lưu lượng của một trường → → Φ = (n B − → vectơ F qua một diện tích ghềnh S. Mặt S có tính định hướng được và hướng của nó thể hiện qua vectơ pháp tuyến − . → n Trường vectơ Cho V ⊂ R3 , ta nói trong V xác định một trường vectơ nếu tại mỗi điểm M (x, y, z) ∈ V xác định một vectơ − → − → − → − → F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k . Ví dụ Dòng nước đang chảy thì tại mỗi điểm xác định một vectơ vận tốc. Toàn thể các vectơ vận tốc xác định một trường vectơ. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 14/33 SAMI.HUST – 2023 14 / 33
  15. Thông lượng Định nghĩa Thông lượng − → +) Cho S là mặt định hướng được trong V . Nếu F = const và S là một miền phẳng có vectơ pháp tuyến − và diện tích là ∆S. Lúc đó, thông lượng của − qua S (lượng chất lỏng thông qua mặt S → đơn vị là n → F trong một đơn vị thời gian) là − → → −→ Φ = ∆S| F | cos(− , F ). n − → +) Nếu S là mặt định hướng trong V và F (M ) biến thiên theo M thì ta xác định thông lượng: -) Chia S thành n mảnh nhỏ S1 , S2 , . . . , Sn có diện tích tương ứng là ∆S1 , ∆S2 , . . . , ∆Sn sao cho khi − → ∆Si khá nhỏ, mảnh Si có thể xem như là miền phẳng và có thể xem như vectơ F (M ) không đổi trên mảnh ấy. Lúc đó, thông lượng qua mảnh Si là − → − → ΦSi = ∆Si | F (Mi )| cos(− Mi , F (Mi )) = ∆Si P (Mi ) cos αi + Q(Mi ) cos βi + R(Mi ) cos γi . → n Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 15/33 SAMI.HUST – 2023 15 / 33
  16. Thông lượng n − → -) Nếu limd→0 i=1 ΦSi = Φ d = max d(Si ) thì Φ chính là thông lượng của trường F qua mặt S. Đồng thời, Φ còn được gọi là tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R trên mặt S và ký hiệu P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ dS, S ở đây (α, β, γ) là góc chỉ phương của pháp tuyến tại M của S. i i i i -) Gọi Syz , Szx , Sxy theo thứ tự là hình chiếu của Si lên (Oyz), (Ozx), (Oxy) ⇒ ∆Syz = ∆Si cos αi . Khi đó, tích phân mặt loại hai còn được ký hiệu là P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy. S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 16/33 SAMI.HUST – 2023 16 / 33
  17. Các tính chất của tích phân mặt loại hai Tính chất 1. Nếu S đổi hướng thì tích phân đổi dấu; 2. Nếu P, Q, R liên tục trên mặt S định hướng, trơn thì tồn tại tích phân mặt loại hai; 3. Mối liên hệ giữa tích phân mặt loại một và hai: P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy = (P, Q, R) · − dS → n S S = (P cos α + Q cos β + R cos γ)dS. S Ví dụ 1 Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu z = R2 − x2 − y 2 . Tính I= xdydz + ydzdx + zdxdy. S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 17/33 SAMI.HUST – 2023 17 / 33
  18. Ví dụ 1 Hình 6: Nửa trên của Cầu Tại M (x, y, z) trên S, vectơ pháp tuyến đơn vị là − = → n (x,y,z) R . Dó đó, (x, y, z) x2 + y 2 + z 2 I= (P, Q, R) · − dS = → n (x, y, z) · dS = dS = RdS = 2πR3 . R R S S S S Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 18/33 SAMI.HUST – 2023 18 / 33
  19. Cách tính tích phân mặt loại hai Cách tính Ngoài phương pháp tính tích phân mặt loại hai thông qua tích phân mặt loại một, chúng ta còn có cách sau để tính tích phân mặt loại hai thông qua tích phân kép: I= P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy S = P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy := I1 + I2 + I3 . S S S − → Tính I3 = R(x, y, z)dxdy. Ký hiệu γ là góc hợp bởi Oz với − . → n S • Viết pt S dạng: z = z(x, y) (bắt buộc), • Tìm hình chiếu Dxy của S lên mp z = 0 (Oxy) (bắt buộc), π π γ< 2 ⇒ I3 = R x, y, z(x, y) dxdy, γ> 2 ⇒ I3 = − R x, y, z(x, y) dxdy, D D π γ= 2 (S ∥ Oz hoặc S chứa Oz) ⇒ I3 = 0. Tương tự ta tính cho I1 và I2 . Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 19/33 SAMI.HUST – 2023 19 / 33
  20. Các ví dụ Ví dụ 2 Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu z = R2 − x2 − y 2 . Tính I = zdxdy. S Hình 7: Nửa cầu hướng ra ngoài Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 5 20/33 SAMI.HUST – 2023 20 / 33
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2