intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại II - Tăng Lâm Tường Vinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST
Báo xấu
17
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại II, cung cấp cho người học những kiến thức như Tính khối lượng của mặt cong; Cách tính dùng định nghĩa; Tích phân mặt loại II; bài tập về tích phân mặt loại II. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại II - Tăng Lâm Tường Vinh

  1. Tích phân mặt loại II Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 06/2020 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 1 / 29
  2. Nội dung 1 Tích phân mặt loại II 2 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 2 / 29
  3. Đặt vấn đề các ví dụ mục bài Tính lượng chất lỏng đi qua bề mặt cho trước (thông lượng) Xét bài toán tính thông lượng chất lỏng đi qua bề mặt cho trước S trong một đơn vị thời gian. Giả sử mật độ chất lỏng (khối lượng riêng của chất lỏng) tại mỗi điểm Mi (x, y, z) trong không gian là ρ(x, y, z) (kg/m3 ), mặt cong S là mặt định hướng với pháp véc-tơ đơn vị n, có khả năng cho chất lỏng thấm qua, véc-tơ vận tốc v(x, y, z) (m/s) của chất lỏng tại mỗi điểm Mi (x, y, z) trong không gian không đổi theo thời gian. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 3 / 29
  4. Đặt vấn đề các ví dụ mục bài Khi đó khối lượng của chất lỏng đi qua mặt cong S trên một đơn vị diện tích, theo một đơn vị thời gian là ρ · v kg/(m2 s) = P (Mi ), Q(Mi ), R(Mi ) . Nếu chúng ta chia mặt cong S thành những mặt cong nhỏ Si thì Si gần như là một mặt phẳng. Như vậy, chúng ta có thể tính gần đúng khối lượng chất lỏng đi qua Si theo một đơn vị thời gian là < ρ · v(Mi ), n(Mi ) > ·∆Si Do đó, khối lượng chất lỏng đi qua S theo một đơn vị thời gian được tính gần đúng là n m≈ < ρ · v(Mi ), n(Mi ) > ·∆Si i=1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 4 / 29
  5. Đặt vấn đề các ví dụ mục bài Giả sử pháp véc-tơ đơn vị của mặt S tại điểm Mi là n(Mi ) = cos α(Mi ), cos β(Mi ), cos γ(Mi ) Khi đó n m≈ P (Mi ) cos α(Mi ) + Q(Mi ) cos β(Mi ) + R(Mi ) cos γ(Mi ) · ∆Si i=1 Đây là tổng Riemann của tích phân mặt loại II. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 5 / 29
  6. Đặt vấn đề các ví dụ mục bài Định nghĩa Cho những hàm P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định trên mặt trơn, định hướng S . Pháp véc-tơ đơn vị của mặt S là n = (cos α, cos β, cos γ), với α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi n và các tia Ox, Oy, Oz . Tích tích phân mặt loại I ¨ I = P cos α + Q cos β + R cos γ dS (1) S được gọi là tích phân mặt loại II của P, Q, R trên mặt định hướng S . Tích phân này được ký hiệu là ¨ ¨ I = P dy dz + Q dz dx + R dx dy = (P, Q, R) · n dS (2) S S TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 6 / 29
  7. Cách tính dùng định nghĩa các ví dụ mục bài Xác định (P, Q, R). Xác định dấu ± cho véc-tơ đơn vị n. Xác định D = hc S . Tính tích phân. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 7 / 29
  8. Tích phân mặt loại II xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 1 ¨ Tính I = (x−y) dy dz+z dx dy, trong đó S là phần mặt phẳng x+y+z = S 1 bị chắn bởi các mặt phẳng tọa độ, lấy phía trên theo hướng trục Oz. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 8 / 29
  9. Giải Ví dụ 1 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 1 ¨ Tính I = (x − y)dyz + zdxy, S là phần x + y + z = 1 bị chắn bởi các mặt phẳng tọa độ, phía trên theo Oz. S (P, Q, R) = (x − y, 0, z). 1 1 1 Hướng theo trục Oz : + nên n = + √ ,√ ,√ . 3 3 3 D = hc S : x = 0, y = 0, x + y = 1 Oxy ¨ ¨ 1 I = (x − y, 0, z) · n dS = √ (x − y + z) dS 3 S S ¨ ¨ 1 1 = √ (x − y + 1 − x − y) 1 + (zx )2 + (zy )2 dx dy = (1 − 2y) dx dy = . 3 6 D D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 9 / 29
  10. Giải Ví dụ 1 trở về các ví dụ mục bài TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 10 / 29
  11. Lưu ý các ví dụ mục bài Nếu mặt cong S có phương trình z = f (x, y) thì ta có thể làm theo cách sau Xác định (P, Q, R). Tính (−zx , −zy , 1). Xác định D = hc S Oxy Tính tích phân ¨ ¨ I= P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ± (P, Q, R) · (−zx , −zy , 1) dx dy S D Dấu + nếu S là phía trên của mặt cong theo hướng trục Oz . TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 11 / 29
  12. Giải Ví dụ 1 (cách khác) trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 1 ¨ Tính I = (x − y)dyz + zdxy, S là phần x + y + z = 1 bị chắn bởi các mặt phẳng tọa độ, phía trên theo Oz. S (P, Q, R) = (x − y, 0, z). Với z = 1 − x − y thì (−zx , −zy , 1) = (1, 1, 1) Lấy phía trên theo hướng theo trục Oz ⇒ +. D = hc S : x = 0, y = 0, x + y = 1 Oxy ¨ ¨ I =+ (x − y, 0, z) · (1, 1, 1) dx dy = (x − y + 0 + z) dx dy D D ¨ ¨ 1 = (x − y + 1 − x − y) dx dy = (1 − 2y) dx dy = . 6 D D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 12 / 29
  13. Tích phân mặt loại II xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 2 ¨ Tích tích phân I = (1 + x − 2y) dy dz + sin y dz dx + zy dx dy, trong S đó S là phần hữu hạn của mặt trụ z = x2 − 2x bị chắn bởi mặt trụ z = −y 2 , lấy phía dưới theo hướng trục Oz. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 13 / 29
  14. Giải Ví dụ 2 trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 2 (P, Q, R) = (1 + x − 2y, sin y, zy). (−2x + 2, 0, 1) Hướng âm trục Oz: −x2 + 2x + z = 0 ⇒ n = − . (−2x + 2)2 + 1 D = hc S : x2 − 2x = −y 2 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 1 Oxy ¨ ¨ (−2x + 2, 0, 1) (1 + x − 2y)(2 − 2x) + zy I =− (1 + x − 2y, sin y, zy) · dS = − dS (−2x + 2)2 + 1 (−2x + 2)2 + 1 S S ¨ (1 + x − 2y)(2 − 2x) + y(x2 − 2x) =− 1 + (zx )2 + (zy )2 dx dy (−2x + 2)2 + 1 D ¨ π =− (1 + x − 2y)(2 − 2x) + y(x2 − 2x) dx dy = · · · = . 2 D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 14 / 29
  15. Giải Ví dụ 2 (Cách khác) trở về các ví dụ mục bài Ví dụ 2 (P, Q, R) = (1 + x − 2y, sin y, zy). Với z = x2 − 2x ⇒ (−zx , −zy , 1) = (−2x + 2, 0, 1). Hướng âm trục Oz: −. D = hc S : x2 − 2x = −y 2 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 1 Oxy ¨ I =− (1 + x − 2y, sin y, zy) · (−2x + 2, 0, 1) dx dy D ¨ π =− (1 + x − 2y)(2 − 2x) + zy dx dy = · · · = . 2 D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 15 / 29
  16. Giải Ví dụ 2 trở về các ví dụ mục bài TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 16 / 29
  17. Tích phân mặt loại II xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 3 (Ôn tập cuối kì trang 249) ¨ Tính I = −x2 z dy dz + y dz dx + 2 dx dy, trong đó S là phần phía ngoài S của mặt x2 + y 2 + z 2 = 4, ứng với x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 0. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 17 / 29
  18. Giải Ví dụ 3 trở về các ví dụ mục bài TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 18 / 29
  19. Công thức Ostrogatxki - Gauss các ví dụ mục bài Định lý Cho S là mặt kín, Ω là vật thể được bao quanh bởi S . Nếu P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) và các đạo hàm riêng cấp một của nó liên tục trên miền Ω thì ‹ ˚ ∂P ∂Q ∂R P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ± + + dx dy dz (3) ∂x ∂y ∂z S Ω Dấu + nếu hướng của pháp véc-tơ với mặt cong lấy hướng ra ngoài vật thể Ω. TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 19 / 29
  20. Tích phân mặt loại II xem lời giải các ví dụ mục bài Ví dụ 4 Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss tính tích phân ¨ I= y dy dz + xy dz dx − z dx dy S với S là mặt biên phía trong của vật thể xác định bởi x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 . TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 20 / 29
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2