Tích phân mặt loại II
Khoa Khoa học Ứng dụng
Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH
Tp. Hồ Chí Minh, 06/2020
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 1 / 29
Nội dung
1Tích phân mặt loại II
2Các ví dụ
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 2 / 29
Đặt vấn đề các ví dụ mục bài
Tính lượng chất lỏng đi qua bề mặt cho trước (thông lượng)
Xét bài toán tính thông lượng chất lỏng đi qua bề mặt cho trước Strong một đơn vị thời gian.
Giả sử mật độ chất lỏng (khối lượng riêng của chất lỏng) tại mỗi
điểm Mi(x, y, z)trong không gian là ρ(x, y, z)(kg/m3),
mặt cong Slà mặt định hướng với pháp véc-tơ đơn vị ~n, có khả
năng cho chất lỏng thấm qua, véc-tơ vận tốc ~v(x, y, z)(m/s)
của chất lỏng tại mỗi điểm Mi(x, y, z)trong không gian không
đổi theo thời gian.
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 3 / 29
Đặt vấn đề các ví dụ mục bài
◮Khi đó khối lượng của chất lỏng đi qua mặt cong Strên một đơn vị diện tích, theo một đơn vị thời
gian là ρ·~v kg/(m2s)=P(Mi), Q(Mi), R(Mi).
◮Nếu chúng ta chia mặt cong Sthành những mặt cong nhỏ Sithì Sigần như là một mặt phẳng. Như
vậy, chúng ta có thể tính gần đúng khối lượng chất lỏng đi qua Sitheo một đơn vị thời gian là
< ρ ·~v(Mi), ~n(Mi)>·∆Si
◮Do đó, khối lượng chất lỏng đi qua Stheo một đơn vị thời gian được tính gần đúng là
m≈
n
X
i=1
< ρ ·~v(Mi), ~n(Mi)>·∆Si
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 4 / 29
Đặt vấn đề các ví dụ mục bài
Giả sử pháp véc-tơ đơn vị của mặt Stại điểm Milà
~n(Mi) = cos α(Mi),cos β(Mi),cos γ(Mi)
Khi đó
m≈
n
X
i=1 hP(Mi) cos α(Mi) + Q(Mi) cos β(Mi) + R(Mi) cos γ(Mi)i·∆Si
Đây là tổng Riemann của tích phân mặt loại II.
TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tích phân mặt loại II 5 / 29