Bài giảng Giải tích 2: Chương 6 - TS. Nguyễn Văn Quang

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 6 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân mặt loại 1; Tích phân mặt loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 6 - TS. Nguyễn Văn Quang

1. Tích phân mặt loại 1 2. Tích phân mặt loại 2 TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm
Định nghĩa Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆. Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1 , 𝑆2 , ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau). Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 . Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) tùy ý. Lập tổng Riemann: 𝑛 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖 𝑖=1 𝐼 = lim 𝐼𝑛 , không phụ thuộc cách chia mặt cong 𝑆, và cách lấy điểm 𝑀𝑖 . 𝑛→∞ 𝐼= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 𝑆 được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên mặt 𝑆. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính chất 1. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên mặt cong trơn 𝑆 thì khả tích trên 𝑆. 2. Diện tích của mặt 𝑆: 𝑆 𝑑𝑆. 3. 𝑆 𝑘𝑓 + 𝑚𝑔 𝑑𝑆 = 𝑘 𝑆 𝑓𝑑𝑆 + 𝑚 𝑆 𝑔𝑑𝑆 4. Nếu 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 thì: 𝑆 𝑓𝑑𝑆 = 𝑆1 𝑓𝑑𝑆 + 𝑆2 𝑓𝑑𝑆. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính Phương trình tham số mặt cong S: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 , 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷 Phương trình tham số hàm vector mặt cong S: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Xác định mặt cong S biết phương trình tham số hàm vector của mặt S có dạng: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝐢 + 𝑣. 𝐣 + 2𝑠𝑖𝑛𝑢. 𝐤 Phương trình tham số mặt cong S: 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 2𝑠𝑖𝑛𝑢 Do đó: 𝑥 2 + 𝑧 2 = 4, mặt S là mặt trụ song song với trục Oy. Nếu thêm điều kiện: 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋/2,0 ≤ 𝑣 ≤ 3, mặt S có dạng: 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tìm phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 Phương trình tham số mặt cong S: 𝑥 = 𝑥; 𝑦 = 𝑦; 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 Do đó phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: 𝐫 𝑥, 𝒚 = 𝑥. 𝐢 + 𝑦. 𝐣 + (𝑥 2 + 2𝑦 2 ). 𝐤 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính Giả sử mặt cong S có phương trình tham số hàm vector: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷, khi đó:  f ( x, y, z ) dS   f (r(u, v)) | r  r S D u v |  dudv x y z x y z trong đó: ru  i j  k ; rv  i  j  k u u u v v v i j k ru  rv  xu yu zu xv yv zv 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 𝑥 2 𝑑𝑆 , trong đó S là hình cầu: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 . Tham số hóa mặt cầu S bằng hệ tọa độ cầu: 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐷 𝜑, 𝜃 = { 𝜑, 𝜃 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋} Tức là: 𝐫 𝜑, 𝜃 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐢 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐣 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝐤 r   R sin  sin  i  R cos  sin  j  0.k r  R cos  cos  i  R sin  cos  j  R sin  k 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ i j k r  r   R sin  sin  R cos  sin  0 R cos  cos  R sin  cos   R sin    R 2 cos  sin 2  i  R 2 sin  sin 2  j  R 2 sin  cos  k Do đó: | ru  rv |  R 2 sin   dS    ( R cos  sin  ) 2  r  r  d d 2 Vậy: x S D( , )    D( , ) R 4 (cos  sin  ) 2  sin   d d 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ 2  R   cos  sin  d d 4 2 3 0 0 2  R  cos  d  sin 3  d 4 2 0 0 2   1 2 (1  cos 2 ) d  (sin   sin  cos  ) d 2 0 0    sin 2 0   cos   cos   2  R4 2 1 2 1 3 3 0 4 R 4  3 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tính 𝐼 = 𝑆 𝑥 2 𝑑𝑆 , trong đó S là hình cầu đơn vị: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 . Cách 2: Do các hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn, và mặt cầu đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ. 𝐼= 𝑥 2 𝑑𝑆 = 𝑦 2 𝑑𝑆 = 𝑧 2 𝑑𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 1 2 2 2 𝑅2 4𝜋𝑅4 Do đó: 𝐼 = 𝑆 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑆 = 𝑆 𝑑𝑆 = 3 3 3 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦). Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1 , 𝑆2 , ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau). Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 . Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ) tùy ý. Lập tổng Riemann: 𝑛 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖 𝑖=1 Trong phần ứng dụng tích phân kép (tính diện tích mặt cong), ta có:  zx ( xi , yi ) 2   z y ( xi , yi )   1  S ( Di ) 2 Si   zx ( xi , yi ) 2   zy ( xi , yi )   1  xy 2  23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính n Do đó: I n   f ( M i ) Si i 1 n  zx ( xi , yi ) 2   z y ( xi , yi )   1  xy 2   f ( xi , yi , zi )  i 1 n  zx ( xi , yi ) 2   z y ( xi , yi )   1  xy 2   f ( xi , yi , zi ( xi , yi ))  i 1  zx  2  I  lim I n hay  f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z )    z y   1  dxdy 2 n S Dxy  zx  2   z y   1  dxdy 2   f ( x, y, z ( x, y ))  Dxy 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính z 1. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxy S z = z(x,y) Nếu 𝑆 có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxy là 𝐷𝑥𝑦 : y Dxy O x 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦 1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝐷𝑥𝑦 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính 2. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxz là 𝐷𝑥𝑧 : 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝐷𝑥𝑧 𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥, 𝑧), 𝑧 1 + (𝑦𝑥′ )2 + (𝑦𝑧′ )2 𝑑𝑥𝑑𝑧 3. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oyz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oyz là 𝐷𝑦𝑧 : 𝑆 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 = 𝐷𝑦𝑧 𝑓 𝑥(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧 1 + (𝑥𝑦′ )2 + (𝑥𝑧′ )2 𝑑𝑦𝑑𝑧 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Chú ý Nếu hình chiếu của 𝑆 xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một đường cong (trường hợp này xảy ra khi 𝑆 là một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz) thì phải chiếu 𝑆 xuống các mặt phẳng tọa độ khác, không được chiếu xuống mặt phẳng Oxy. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tính I   ( x 2  y 2  z 2 )dS , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 S nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3. Z=3 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9} Phương trình mặt nón: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑧 𝑥 𝜕𝑧 𝑦 = = 𝜕𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑦 𝑥2 + 𝑦2 Z=0 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ 𝐼= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑆 = 2 𝑥2 + 𝑦2 2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝐷𝑥𝑦 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 3,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} 2𝜋 3 𝐼=2 2 𝑟 2 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 2 2 𝑑𝜑 𝑟 3 𝑑𝑟 = 81 2𝜋 𝐷𝑟𝜑 0 0 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tính I   ( x 2  y 2  z 2 )dS , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 S nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3. Cách 2: Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝜃 = 𝜋/4 𝜌 𝜌 𝜌 Do đó: 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 2 2 2 𝐷 𝜌, 𝜑 = 𝜌, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 2 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ i j k cos  sin  1 r  r  2 2 2   sin   cos  0 2 2  cos   sin    i j k 2 2 2 𝜌2 𝜌2 𝜌 Do đó: 𝐫𝜌 × 𝐫𝜑 = + = 4 4 2 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN