Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 4

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 3 - Chương 4 Tích phân mặt, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa tích phân mặt loại 1; Cách tính tích phân mặt loại 1; Mặt cong định hướng Định nghĩa tích phân mặt loại 2; Cách tính tích phân mặt loại 2; Công thức Gauss-Ostrogradski; Công thức Stokes. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 3: Chương 4

TOÁN CAO CẤP 3 Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT BỘ MÔN TOÁN-CƠ-TIN HỌC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngày 19 tháng 10 năm 2020 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 1 / 24
Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 Định nghĩa tích phân mặt loại 1 Cách tính tích phân mặt loại 1 2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 Mặt cong định hướng Định nghĩa tích phân mặt loại 2 Cách tính tích phân mặt loại 2 Công thức Gauss-Ostrogradski Công thức Stokes BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 2 / 24
1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 1.1. Định nghĩa tích phân mặt loại 1 Cho hàm ba biến f xác định trên mặt cong (S) ⊆ R3 . Chia (S) thành n mảnh cong con (S1 ), (S2 ), . . ., (Sn ) không dẫm nhau và diện tích tương ứng là ∆s1 , ∆s2 , . . ., ∆sn . Với mỗi k = 1, 2, . . . , n, trên (Sk ) lấy điểm Mk (xk ; yk ; zk ) tuỳ ý. n Lập tổng tích phân Tn = f (xk ; yk ; zk )∆sk . k=1 Cho n → +∞ sao cho max ∆sk → 0. Nếu Tn có giới hạn tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc cách chia (S) và cách lấy các điểm Mk BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 3 / 24
thì giới hạn đó được gọi là¨ phân mặt loại 1 của tích f (x; y; z) trên (S). Kí hiệu f (x; y; z)ds, trong đó (S) là (S) mặt cong lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 4 / 24
thì giới hạn đó được gọi là¨ phân mặt loại 1 của tích f (x; y; z) trên (S). Kí hiệu f (x; y; z)ds, trong đó (S) là (S) mặt cong lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Điều kiện khả tích. Nếu hàm f liên tục trên mặt cong (S) trơn hoặc trơn từng khúc thì hàm f khả tích trên (S). BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 4 / 24
thì giới hạn đó được gọi là¨ phân mặt loại 1 của tích f (x; y; z) trên (S). Kí hiệu f (x; y; z)ds, trong đó (S) là (S) mặt cong lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Điều kiện khả tích. Nếu hàm f liên tục trên mặt cong (S) trơn hoặc trơn từng khúc thì hàm f khả tích trên (S). Mặt cong (S) có phương trình F (x; y; z) = 0 được gọi là mặt cong → − trơn nếu hàm vector n = (Fx ; Fy ; Fz ) liên tục và khác 0 . Mặt cong trơn từng khúc là mặt cong hợp bởi hữu hạn mảnh cong trơn. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 4 / 24
thì giới hạn đó được gọi là¨ phân mặt loại 1 của tích f (x; y; z) trên (S). Kí hiệu f (x; y; z)ds, trong đó (S) là (S) mặt cong lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Điều kiện khả tích. Nếu hàm f liên tục trên mặt cong (S) trơn hoặc trơn từng khúc thì hàm f khả tích trên (S). Mặt cong (S) có phương trình F (x; y; z) = 0 được gọi là mặt cong → − trơn nếu hàm vector n = (Fx ; Fy ; Fz ) liên tục và khác 0 . Mặt cong trơn từng khúc là mặt cong hợp bởi hữu hạn mảnh cong trơn. ¨ Công thức diện tích mặt cong (S): A(S) = 1.ds. (S) BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 4 / 24
1.2. Cách tính tích phân mặt loại 1 Cho (S) : z = z(x; y) và Dxy là hình chiếu của (S) lên Oxy : ¨ ¨ f (x; y; z)ds = f (x; y; z(x; y)) 1 + (zx )2 + (zy )2 dxdy. (S) Dxy BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 5 / 24
1.2. Cách tính tích phân mặt loại 1 Cho (S) : z = z(x; y) và Dxy là hình chiếu của (S) lên Oxy : ¨ ¨ f (x; y; z)ds = f (x; y; z(x; y)) 1 + (zx )2 + (zy )2 dxdy. (S) Dxy Cho (S) : x = x(y; z) và Dyz là hình chiếu của (S) lên Oyz : ¨ ¨ f (x; y; z)ds = f (x(y; z); y; z) 1 + (xy )2 + (xz )2 dy dz. (S) Dyz BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 5 / 24
1.2. Cách tính tích phân mặt loại 1 Cho (S) : z = z(x; y) và Dxy là hình chiếu của (S) lên Oxy : ¨ ¨ f (x; y; z)ds = f (x; y; z(x; y)) 1 + (zx )2 + (zy )2 dxdy. (S) Dxy Cho (S) : x = x(y; z) và Dyz là hình chiếu của (S) lên Oyz : ¨ ¨ f (x; y; z)ds = f (x(y; z); y; z) 1 + (xy )2 + (xz )2 dy dz. (S) Dyz Cho (S) : y = y(x; z) và Dxz là hình chiếu của (S) lên Oxz : ¨ ¨ f (x; y; z)ds = f (x; y(x; z); z) 1 + (yx )2 + (yz )2 dxdz. (S) Dxz BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 5 / 24
Ví dụ Tính các tích phân sau ¨ 1 (x + 2y + 3z)ds với (S) là phần mặt phẳng (S) 6x + 4y + 3z = 12 trong góc phần thứ nhất. ĐS: BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 6 / 24
Ví dụ Tính các tích phân sau ¨ 1 (x + 2y + 3z)ds với (S) là phần mặt phẳng (S) 6x + 4y + 3z = 12 trong góc phần thứ nhất. ĐS: ¨ 2 y 2 ds với (S) là mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4. ĐS: 64π/3 (S) BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 6 / 24
Bài tập Tính các tích phân sau ¨ 1 xyz ds với (S) là phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong (S) √ góc phần thứ nhất. ĐS: 3/120 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 7 / 24
Bài tập Tính các tích phân sau ¨ 1 xyz ds với (S) là phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong (S) √ góc phần thứ nhất. ĐS: 3/120 ¨ 2 xds với (S) là phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = R2 , (R > 0) (S) với x, y, z ≥ 0. ĐS: πR3 /4 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 7 / 24
Bài tập Tính các tích phân sau ¨ 1 xyz ds với (S) là phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong (S) √ góc phần thứ nhất. ĐS: 3/120 ¨ 2 xds với (S) là phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = R2 , (R > 0) (S) với x, y, z ≥ 0. ĐS: πR3 /4 ¨ 3 z 2 ds với (S) là phần mặt nón z = x2 + y 2 nằm giữa (S) √ hai mặt phẳng z = 1 và z = 2. ĐS: 15π 2/2 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 7 / 24
¨ 4 xz ds với (S) là phần mặt phẳng 2x + 3y − 6 = 0 trong (S) √ góc phần thứ nhất. ĐS: 9 14/2 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 8 / 24
¨ 4 xz ds với (S) là phần mặt phẳng 2x + 3y − 6 = 0 trong (S) √ góc phần thứ nhất. ĐS: 9 14/2 ¨ 5 (x + z)ds với (S) là phần mặt trụ y 2 + z 2 = 9 nằm giữa (S) mặt phẳng x = 0 và x = 4 trong miền y, z ≥ 0. ĐS: 12π + 36 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 8 / 24
¨ 4 xz ds với (S) là phần mặt phẳng 2x + 3y − 6 = 0 trong (S) √ góc phần thứ nhất. ĐS: 9 14/2 ¨ 5 (x + z)ds với (S) là phần mặt trụ y 2 + z 2 = 9 nằm giữa (S) mặt phẳng x = 0 và x = 4 trong miền y, z ≥ 0. ĐS: 12π + 36 ¨ 6 z x2 + y 2 ds với (S) là nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4 (S) trong miền z ≥ 0. ĐS: 32π/3 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 8 / 24
2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 9 / 24
2.1. Mặt cong định hướng Cho mặt cong (S) trong không gian Oxyz có phương trình: F (x; y; z) = 0. Hàm vector pháp tuyến (VTPT) của (S) tại (x; y; z): →(x; y; z) = (Fx ; Fy ; Fz ). − n VTPT đơn vị tại điểm (x; y, z): →(x; y; z) = (cos α; cos β; cos γ), −n0 trong đó α = ( n →; − , β = (→; − , γ = (→; − . → − Ox) − Oy) n → → − Oz) n Tại mỗi điểm của (S), có hai vector pháp tuyến đơn vị là → và − n0 →. Nếu có thể chọn tại mọi điểm M của (S) một VTPT đơn vị − − n0 − sao cho vector được họn biến thiên liên tục khi M di động trên → nM mặt (S) thì (S) được gọi là mặt định hướng được hoặc mặt hai phía. BM Toán-Cơ-Tin học (Khoa KHCB) Chương 4. TÍCH PHÂN MẶT 19/10/2020 10 / 24