Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại 2 - Trần Ngọc Diễm

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

115
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 2: Tích phân mặt loại 2" cung cấp cho người học các kiến thức: Pháp tuyến của mặt cong, mặt định hướng, định nghĩa tích phân mặt loại 2, tính chất tích phân mặt loại 2, cách tính tích phân mặt loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Tích phân mặt loại 2 - Trần Ngọc Diễm

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG. Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0)  S •L là đường cong trong S đi  qua M. Tiếp tuyến của L tại M n gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là mặt tiếp diện của S tại M. •Pháp tuyến của mặt tiếp diện tại M gọi là pháp tuyến của S tại M.
PHÁP TUYẾN MẶT CONG Giả sử L S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0))  L Vt chỉ  phương của tiếp tuyến tại M là : u   x (t0 ), y ( y 0 ), z(t0 )  M S: F(x,y,z) = 0, ta có: Fx (M ) x (t0 )  Fy (M ) y (t0 )  Fz (M ) z(t0 )  0   x (t 0 ), y (t 0 ), z(t 0 )    Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ) 
 x(t0 ), y (t0 ), z(t0 )    Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )  (đúng với mọi đường cong trong S và qua M)   n =   Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )  và các vector tỷ lệ là pháp vector của S tại M Một ký hiệu khác: gradF (M )   Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )  (gradient của F tại M)
Một số ví dụ tìm pháp vector a/ Mặt cầu S : x 2  y 2  z 2  R 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 ,2 y 0 , 2z0  (và các vector tỷ lệ)  n  n  OM ( x0 , y 0 , z0 )
Một số ví dụ tìm pháp vector a/ Mặt trụ S : x 2  y 2  R 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 , 2y 0 ,0  (và các vector tỷ lệ) M  n  O M   (x0 , y 0 ,0)
Một số ví dụ tìm pháp vector a/ Mặt nón S : x 2  y 2  z 2  z   x 2  y 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 ,2 y 0 , 2z0 
 n (M ) z0 M ( x0 , y 0 , z0 ) M   ( x0 , y 0 ,0) z0 ( x0 , y 0 , z0 )
MẶT ĐỊNH HƯỚNG S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu cho pháp vector tại MS di chuyển dọc theo 1 đường cong kín không cắt biên, khi quay về điểm xuất phát vẫn không đổi chiều. Ngược lại, pháp vector đảo chiều, thì S được gọi là mặt không định hướng (mặt 1 phía ). Phía của S là phía mà đứng trên đó, pháp vector hướng từ chân lên đầu. (Chương trình chỉ xét mặt 2 phía)
Mặt một phía
Mặt hai phía
Ví dụ tìm PVT tương ứng với phía mặt cong a/ Mặt cầu S : x 2  y 2  z 2  R 2 M ( x0 , y 0 , z0 )  S ,  n  ( x0 , y 0 , z0 )  pháp VT ngoài n   n  ( x0 , y 0 , z0 ) OM ( x0 , y 0 , z0 ) pháp VT trong
b/ Mặt trụ S : x 2  y 2  R 2  M ( x0 , y 0 , z0 )  S , n (M )    2 x0 , 2y 0 ,0  PVT trong M  n  ( x0 , y 0 ,0) PVT ngoài
c/ Mặt nón M ( x0 , y 0 , z0 )  S , z0 PVT trong  n  ( x0 , y 0 ,  z0 ) PVT ngoài z0
Pháp vector đơn vị z  n    y x  n  (cos  ,cos  ,cos  )
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 Cho các hàm P, Q, R liên tục trên mặt định hướng S.Gọi pháp vector đơn vị của S là  n  (cos  ,cos  ,cos  ) Tích phân mặt loại 2 của P, Q, R trên S định nghĩa bởi   S Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   S (P ,Q, R ).nds
 S Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   S (P cos  Q cos   R cos  )ds
VÍ DỤ 1/ Cho S là phía ngoài của nửa mặt cầu 2 2 2 z  R  x  y , tính I  S xdydz  ydzdx  zdxdy Tại M (x, y, z) trên S, pháp vector đơn vị là  ( x , y , z) n R
 ( x , y , z) I   (P ,Q, R ).nds   ( x , y , z). ds S S R 2 2 2 2 x y z R   S R ds   R ds  R  ds S S 3  2 R