Bài giảng Giải tích: Bài 2 - ThS. Nguyễn Hải Sơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Giải tích - Bài 2: Tích phân bội ba" trình bày khái niệm tích phân bội ba và các ứng dụng của nó, thấy được tích phân bội ba là sự phát triển tự nhiên của tích phân kép; các kĩ thuật tính tích phân bội ba và làm được các bài tập liên quan đến tích phân bội ba.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Bài 2 - ThS. Nguyễn Hải Sơn

BÀI À 2 TÍCH PHÂN BỘI BA Giảng viên: ThS. ThS Nguyễn Hải Sơn 1
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI ??? THỂ TÍCH CỦA HÌNH ELIPSOID Thể tích của hình cầu bán kính R Diện tích của hình elip có độ Diện tích của hình tròn bán dài các bán trục là a và b kính R: R b a S  R 2 S  ab 2
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo) ??? THỂ TÍCH CỦA HÌNH ELIPSOID Thể tích của hình cầu bán kính R 4 V  R 3 3 ??? Thể tích của elipsoid có các bán trục là a, b, c V  ... 3
MỤC TIÊU BÀI HỌC Sau khi học xong bài này, sinh viên có thể: • Trình bày được khái niệm tích phân bội ba và các ứng dụng của nó, thấy được tích phân bội ba là sự phát triển tự nhiên của tích phân kép. • Vận dụng được các kĩ thuật tính tích phân bội ba và làm được các bài tập liên quan đến tích phân ộ ba. bội 4
CÁC KIẾN THỨC CẦN CÓ • Giống như đối với tích phân kép, sinh viên cần có các kiến thức cơ bản về giải tích, đặc biệt là phép tính tích phân hàm một biến số. • Bên cạnh đó, sinh viên cũng cần có các kiến thức về hình học phẳng, hình học không gian. 5
HƯỚNG DẪN HỌC • Xem bài giảng đầy đủ và tóm tắt những nội dung chính của từng bài. bài • Tích cực thảo luận trên diễn đàn và đặt câu hỏi ngay nếu có thắc mắc. • Làm bài tập và luyện thi trắc nghiệm theo yêu cầu từng bài. 6
CẤU TRÚC NỘI DUNG 1 Đị 1. Định h nghĩa hĩ – Tính Tí h chất hất 2 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề các 2. 3. Phép đổi biến số trong tích phân bội ba 4. Ứng dụng của tích phân bội ba 7
1. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT 1.1. Định nghĩa tích phân bội ba 1.2. Tính chất 8
1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA • f = f(x,y,z) đóng bị chặn  f(x y z) xác định trên vật thể đóng, • Chia  một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: 1,  2 ,...,  n . • Thể tích tương ứng mỗi khối V(1), V(2 ),..., V(n ). • Trên mỗi khối i lấy tuỳ ý một điểm Mi (x i , yi , zi ). n • Lập tổng tích phân: In   f (Mi )  V(i ) i 1 • Cho n   sao cho  0 , nếu I  I xác định không phụ thuộc Max {di}  n i 1,n 1n cách chia miền  , và cách lấy điểm Mi thì I được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối. I   f (x, y, z)dxdydz  • Khi đó, f gọi là khả tích trên  9
1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA (tiếp theo) • Nhận xét: Thể tích vật thể  là V   dxdydz  • Định lý: Nếu  là một miền đóng, bị chặn, có biên trơn từng mảng và f(x,y,z) liên tục trên  thì f(x,y,z) khả tích trên . 10
1.2. TÍNH CHẤT 1. V   dxdydz  2.   f (x, y,z)dxdydz  f (x, y,z)dxdydz   3.  (f  g)dxdydz   fdxdydz   gdxdydz    4. Nếu  được chia làm hai khối 1 và 2 không dẫm lên nhau:  fdxdydz   fdxdydz   fdxdydz  1 2 5. (x, y,z) ,f (x, y,z)  g(x, y,z)   fdxdydz   gdxdydz   11
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC Cách tính: đưa về 3 tích p phân xác định ị theo từng g biến ((tích phân p lặp) ặp) Tích phân bội ba  Tích phân kép  Tích phân lặp a  x  b  Trường hợp miền  là hình hộp chữ nhật  : c  y  d m  z  n  Khi đó b d n  f (x, )d d d   dx ( y, z)dxdydz d  dy d  f (x, ( y, z)dz )d  a c m 12
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo) 0  x  1 Ví dụ 1: Tính I   xy 2dxdydz , với  : 1  y  2  1  z  3  1 2 3 1 2 3 Ta có: I   dx d  d  xy 2 dz dy d   xdx. d  y 2 dy. d  dz d 0 1 1 0 1 1 2 1 2 2 1 x y 3  3 2  3   z1 2 3 2 0 1 13
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo) a  x  b  Trường hợp miền  xác định bởi  :  y1 (x)  y  y 2 (x) z (x, y)  z  z (x, y)  1 2 b y 2 (x) z 2 (x,y) I  f (x, y, z)dxdydz   dx  dy  f (x, y, z)dz  a y1 (x) z1 (x,y)  y  x  y2  Ví dụ 2: Tính I  zdxdydz , với  : 1  y  2 0  z  xy   Ta có: y2 y2  z2 xy  12 y  2   2 xy 2 9 6 1 y I   dy  dx  zdz   dy  dx   8 5 y  y dy      ...  2  6 6  9 6  1 y 0 1 y  0  1 1 14
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo) z  z2 (x, y) Trường hợp miền  được giới hạn bởi: Mặt dưới và mặt trên là các mặt z  z1 (x, y) và z  z 2 (x, y) , có hì h chiếu hình h ế lê lên mặt ặ phẳng hẳ Oxy là miền ề D. z  z1 (x, y) Khi đó Hình chiếu D z 2 ( x , y)  f (x, y, z)dxdydz   dxdy  f (x, y, z)dz  D z1 ( x , y) 15
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo) z  2  x 2  y2  Ví dụ 3: Tính I  zdxdydz , với  được giới hạn bởi   z  x 2  y 2  Trước hết ta xác định giao tuyến của 2 mặt cong cong. z  2  x 2  y2 z  x 2  y2  0      z  x  y 2 2  2  z 2  z  z  1  x 2  y2  1 2 Vậy giao tuyến của 2 mặt cong là đường tròn x  y2  1  x 2  y 2  1  hình chiếu của  lên mặt phẳng Oxy là hình tròn D :  2 2 z  0 2x  y       1 2 11  I   dxdy d d  zdz d   dxdy d d  2  x  y  x  y   ...    2 2 2 2 D 2 2 2D   12 x y 16
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo) Ví dụ 4: Tính tích phân bội ba I   zdxdydz d dd trong đó V là vật thể ể giới hạn bởi V y  1  x,z  1  x và các mặt phẳng tọa độ, (phần z  0) 2 Hình chiếu của V xuống 0xy: Tam giác OAB Mặt phía trên: z2 (x, y)  1  x 2 Mặt phía dưới: z=0 1x2  B I     zdz d dxdy d d OAB  0  A  2 1x2    2  z  1 x 2   d d   dxdy dxdy d d 2  2 A OAB OAB  0    dy  11 B 2 1 1x 1 x 2 O   dx  0 0 2 60 17
2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC (tiếp theo) x 2  z2  4   2 2 Ví dụ 5: Tính I  x  z dxdydz , với  :  y  0  y  2  Hình chiếu của V xuống 0xz là D: x 2  z2  4 z Mặt phía trên: y=2 y Mặt phía dưới: y=0 2 x 2  I  dxdz  x 2  z 2 dy  2  x 2  z 2 dxdz D 0 D Đổi sang tọa độ cực, ta có 2 32 2  I  2  d  r dr d  2 0 0 3 18
3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA 3 1 Phép đổi biến số 3.1. ố tổng quát 3.2. Phép đổi biến số trong tọa độ trụ 3.3. Phép đổi biến số trong tọa độ cầu 19
3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT Xét tí tích h phân hâ I  f (x, (x y, y z)dxdydz   x  x(u, v, w)  Đặt  y  y(u, v, w) z  z(u, v, w)  x 'u x 'v x 'w D(x, y, z) J  y 'u y 'v y 'w D(u, v, w) z 'u z 'v z 'w   1 Khi đó I  f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)). J dudvdw 1 20