Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội" cung cấp cho người học các kiến thức về "Tích phân kép" bao gồm: Bài toán thể tích, định nghĩa tích phân kép, cách tính tích phân kép. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)

Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI Phần 1: TÍCH PHÂN KÉP
BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ  được giới hạn trên bởi mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị D chận trong Oxy. Tìm thể tích .
z z = f(x, y) D y x
Xấp xỉ  bằng các hình trụ con
Thể tích xấp xỉ của hình trụ con * * Vij  S (Dij )  f ( xij , y ij ) V ()  Vij i, j Dij
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D đóng và bị chận. D
Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, …, Dn Sk là diện tích Dk của miền con Dk. d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk. d  max{d (Dk )} Đường kính phân hoạch k 1, n
Mk được chọn tùy ý trong Dk f(Mk) Sk  S ( Dk ) D Mk n Sn   f (Mk ) Sk Tổng tích phân của f k 1
n Sn   f (Mk ) Sk k 1 f khả tích nếu: lim Sn   d 0 với phân hoạch tùy ý của D Tích phân kép của f trên D là giới hạn nếu có của Sn  f (x, y )ds  dlim 0 Sn D
Phân hoạch D theo các đường // ox, oy Dij
Khi f khả tích, việc tính tích phân không phụ thuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy. Dk là hình chữ nhật với các cạnh x, y  Sk = x. y  Thay cách viết tp kép  f ( x , y ) dxdy   f ( x , y ) ds D D
Nhận dạng hàm khả tích • Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0)  (C) nếu y’(x) liên tục tại x0. • (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành hữu hạn các đoạn trơn. Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên D.
Tính chất hàm khả tích Cho D là miền đóng và bị chận 1/ S (D)  1dxdy (Diện tích D) D 2 /  c.f ( x , y )dxdy  c. f ( x , y )dxdy D D  (f  g )dxdy   fdxdy   gdxdy D D D 3 / D  D1  D2 , D1 vaøD2 khoâ ng daã m nhau (toá i ña chædính bieâ n)  fdxdy   fdxdy   fdxdy D1 D2 D1 D2
Định lý giá trị trung bình D là miền liên thông nếu 2 điểm tùy ý trong D có thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D. Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên thông D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0)  D sao cho 1 f (M0 )   f ( x , y )dxdy S (D) D 1 gọi là giá trị trung  f ( x , y )dxdy S (D) D bình của f trên D.
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP y  y2 (x) a  x  b D:  y1 ( x )  y  y 2 ( x ) D b y2 (x ) y  y1 ( x )   a y1 ( x ) f ( x , y )dy dx a b b y2 (x ) Cách viết:  D  f ( x , y )dxdy  dx a  y1 ( x ) f ( x , y )dy
d x  x2 ( y ) D c  y  d D:  x1 ( y )  x  x2 ( y ) c d  x2 ( y )   f ( x , y )dx  dy x  x1 ( y )    c  x1 ( y )   d x2 ( y ) Cách viết:  D f ( x , y )dxdy  dy  c  x1 ( y ) f ( x , y )dx
VÍ DỤ 1/ Tính I   xydxdy D với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1) CÁCH 1 0  x  1 D : 0 y  x 1 x 1 1 B y 2 x 0   I  dx xydy  x   dx 0   2 0 0 A 1 3 O x 1 1  0 2 dx  8
I   xydxdy B 1 D 1 1 O A    dy xydx 0 y 1 1 CÁCH 2 2 1 x  0  y  1   y   dy  2 y D : 0  y  x 1 1 2 1 y 1 0  y 2 dy  8
2/ Tính I   ( x  y )dxdy D với D: x2 + y2  1, y  0 2 y  1 x 1 1 x 2 I   dx  ( x  y )dy 1 0 1 2 1 x 2  y -1 1 1    xy    2 0 dx 1  x  1 1 D : 2  2 1 x 2 2 0  y  1  x    x 1  x   dx  2 3 1  
2 y  1 x I   ( x  y )dxdy D 1 1 y 2  I  dy 0  ( x  y )dx -1 1 1 y 2 1 0  y  1 2 D : 2  1 y  x  1 y 2 0  2 y 1  y dy 2  3