intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường (Phần 2)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST
Báo xấu
149
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường" cung cấp cho người học các kiến thức về cách tính tích phân đường loại 2, tích phân đường loại 2 – CT Green, tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường (Phần 2)

  1. §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung AB trong mp Oxy Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, … An=B, Ak(xk,yk) Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 lấy 1 điểm Mk bất kỳ, đặt Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk là độ dài cung n Lập tổng Sn P (M k ) x k Q(Mk ) y k k 0 An B Mk Δyk A1 Ak Ak+1 A0 A Δxk
  2. §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Cho max Δlk → 0, nếu Sn có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc cách chia cung AB và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tp đường loại 2 của các hàm P(x,y) và Q(x,y) dọc cung AB và kí hiệu là P ( x, y )dx Q( x, y )dy lim Sn max lk 0 AB Điều kiện tồn tại: Nếu các hàm P, Q liên tục trong miền mở chứa cung AB trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P, Q dọc cung AB
  3. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Tính chất : Tích phân đường loại 2 đổi dấu nếu hướng đi trên cung AB thay đổi Pdx Qdy Pdx Qdy AB BA Trường hợp đường lấy tp là đường cong kín C, ta quy ước hướng dương trên C là hướng mà khi đi dọc C thì miền giới hạn bởi C nằm về bên trái. Hướng âm là hướng ngược với hướng dương
  4. §2: Tích phân đường loại 2– Cách tính Cách tính tích phân đường loại 2 Nếu cung AB có phương trình y=y(x), đi từ A(x1,y(x1)) đến B(x2,y(x2)) thì x2 Pdx Qdy P ( x, y ( x )) Q( x, y ( x ))y ( x ) dx AB x1 Nếu cung AB có phương trình tham số x=x(t), y=y(t) đi từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì t2 Pdx Qdy P ( x(t ), y (t ))x (t ) Q( x (t ), y (t ))y (t ) dt AB t1 Nếu AB là đường cong không gian, ta có cách tính tương tự khi có pt tham số của đường cong
  5. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 1: Tính tích phân I1 đi từ A(0,0) đến B(1,1) của 2 hàm P=x2 và Q=xy theo các đường 1. Đường thẳng 2. Parabol y=x2 3. Đường tròn x2+y2=2x lấy cùng chiều kim đồng hồ 1. AB là đoạn thẳng y=x, x từ 0 đến 1 1 1 I1 x 2dx xydy (x2 x 2 )dx AB 0 1
  6. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính 2. AB là phần parabol y=x2 với x 1 từ 0 đến 1, y’=2x 1 I1 (x2 x.x 2.2 x )dx 0 1 3. AB là phần đường tròn x2+y2=2x Ta viết pt tham số của đường tròn (x-1)2+y2=1: x=1+cost, y=sint với t đi từ π đến π/2 2 2 I1 (1 cos t ) ( sin t ) (1 cos t )(sin t )cos t dt
  7. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 2: Tính tp đường loại 2 của 2 hàm P=x2+2y và Q=y2 trên đường cong C : y=1-|1-x| với x đi từ 0 đến 2 x, x 1 Ta viết lại pt đường cong C: y 2 x,1 x 1 Vậy : I2 Pdx Qdy 1 2 C 1 2 I2 (x2 2x ) x 2 dx (x2 2(2 x )) (2 x )2 ( 1) dx 0 1
  8. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 3: Tính I3 xdx zdy ydz với C là giao tuyến C của 2 mặt y=x2 và x=z đi từ O(0,0,0) đến A(1,1,1) Ta viết pt tham số của C bằng cách đặt x=t thì ta được : x  t x  z    y  t 2 , t đi từ 0 đến 1 y  x 2 z  t  1 Vậy : I3 t t .2t t 2 dt 0
  9. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green CÔNG THỨC GREEN: Mối liên hệ giữa tích phân kép và tích phân đường loại 2 Định lý Green : Cho D là miền đóng, bị chặn trong mp Oxy với biên C trơn từng khúc. Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa D. Khi ấy ta có công thức Green Pdx Qdy (Qx Py )dxdy C D Trong đó, tp kép lấy dấu “+” nếu hướng đi trên đường cong kín C là hướng dương và dấu “-” nếu ngược lại
  10. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 4: Cho I4 (4 x 2y )dx (2 x 3 y )dy C với C chu tuyến dương của hình tròn (x-1)2+(y+1)2=4. Tính tp trên bằng 2 cách: trực tiếp và dùng công thức Green 1. Tính trực tiếp:Viết pt tham số đường tròn theo hướng dương: x = 1+2cost, y = -1+2sint, t đi từ 0 đến 2π Suy ra : 2 4(1 2 cos t ) 2( 1 2 sin t ( 2 sin tdt ) I4 0 2(1 2 cos t ) 3( 1 2 sin t 2 cos tdt
  11. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2 I4 8 sin2 t 8cos2 t dt = 0 0 2. Dùng CT Green với C là biên dương của miền D: (x-1)2+(y+1)2≤4 P x, y 4x 2y,Q x, y 2x 3y Qx Py 2 ( 2) 0 Vậy: I4 (Qx Py )dxdy = 0 D
  12. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 5: Tính I5 2( x 2 y 2 )dx (x y )2 dy C Với C là chu tuyến ΔABC, A(2,1), B(6,1), C(4,3) ngược chiều kim đồng hồ bằng 2 cách : Trực tiếp và dùng CT Green 1. Tính trực tiếp: Viết pt tham số 3 cạnh pt AB đi qua A(2,1) và vecto chỉ phương AB (4,0) C x=2+4t, y=1, t từ 0 đến 1 pt BC: x=6-2t, y=1+2t, t từ 0 đến 1 pt CA: x=4-2t, y=3-2t, t từ 0 đến 1 A B
  13. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Vậy: I5 AB BC CA 1 2 (2 4t )2 1 4dt ) I5 2 (6 2t )2 (1 2t )2 ( 2dt ) 72.2dt 0 2 (4 2t )2 (3 2t )2 ( 2dt ) (7 4t )2 ( 2dt ) 152 I5 3
  14. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2. Dùng CT Green: Miền lấy tp kép D: ΔABC, dấu tp kép: +, hàm dưới dấu tp kép : Q’x-P’y=2x-2y Vậy: 3 7 y I5 dy (2 x 2y )dx 1 1 y 152 C I5 3 A B
  15. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 6: Tính I6 e y sin x 3x 2y dy e y cos x 4y dx C Với C là phần đường tròn x2+y2=2y, x≥0, đi từ (0,2) đến (0,0) Không thể tích trực tiếp tích phân này. Ta sẽ tính bằng cách áp dụng CT Green. Tuy nhiên C là đường cong không kín, nên ta phải “bù” thêm đường cong đi từ (0,0) đến (0,2) để được đường cong kín.
  16. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Đường cong C1 bù thêm phải thỏa: 1. Hợp với C thành đường cong kín 2. Hướng từ (0,0) đến (0,2) 3. Tích phân đường loại 2 của 2 hàm đã cho trên đó là dễ tính nhất Với ví dụ này, ta chọn C1 là phần đường thẳng x=0 từ (0,0) đến (0,2) Như vậy, đường cong kín CUC1 là biên âm của miền D: x2+y2≤2y, x≥0 Áp dụng CT Green, ta được : Pdx Qdy (Qx Py )dxdy C C1 D
  17. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Pdx Qdy (Qx Py )dxdy C C1 D Pdx Qdy Pdx Qdy 7dxdy C C1 D 2 7 Pdx Qdy 2ydy 7S(D) I6 4 2 C 0
  18. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green y x Ví dụ 7: Cho 2 hàm P ( x, y ) 2 2 , Q( x, y ) x y x2 y 2 Tính I7 Pdx Qdy với C là chu tuyến kín, dương C 1. Của hình vuông |x|+|y|=1 2.Của hình tròn x2+y2=1 3. Không bao quanh gốc tọa độ Nhận xét : 2 hàm P, Q đều không xác định tại gốc toạ độ O(0,0) tức là nếu đường cong C bất kỳ bao kín miền D chứa O thì ta sẽ không áp dụng được CT Green
  19. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 1. Hình vuông |x|+|y|=1 chứa O. Để áp dụng CT Green, ta sẽ “khoét” đi phần chứa O. Cụ thể, ta gọi C1 là đường tròn x2+y2=r2, với r đủ nhỏ lấy cùng chiều kim đồng hồ Áp dụng CT Green trên CUC1 là biên dương của miền D: |x|+|y|≤1, x2+y2≥r2, ta được Pdx Qdy (Qx Py )dxdy C C1 D Pdx Qdy Pdx Qdy C C1
  20. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green xdy ydx I7 2 Đặt x=rcost, y=rsint ta được C1 r 0 1 I7 2 r cos t .r cos tdt r sin t .( r sin tdt ) 2 r I7 = 2π Chú ý: Cách làm ở này không chỉ đúng khi C là chu tuyến dương của hình vuông mà còn được áp dụng tương tự khi C là đường cong bất kỳ bao gốc tọa độ. Tức là với mọi chu tuyến dương bao kín miền D chứa gốc tọa độ ta luôn có I7 = 2π
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2