Bài giảng Giải tích 2: Cực trị hàm nhiều biến - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

94
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa" cung cấp cho người học các kiến thức về: Cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên tập compact. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Cực trị hàm nhiều biến - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Xét 2 bài toán: Bài 1: Tìm cực trị z  1 x2  y 2 2 2 z  1 x  y Cực đại đạt tại (0,0), z=1
Bài 2: Tìm cực trị z  1  x 2  y 2 Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 2 2 z  1 x  y
Bài 2: Tìm cực trị z  1  x 2  y 2 Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 2 2 z  1 x  y z 1/ 2 x+y–1=0 Cực đại đạt tại (1/2, 1/2),
Định nghĩa: Hàm số z = f(x, y) thỏa điều kiện (x, y) = 0 đạt cực đại tại M0 nếu tồn tại 1 lân cận V của M0 sao cho f(M)  f(M0), MV và (M) = 0 Tương tự cho định nghĩa cực tiểu có điều kiện.
Điều kiện cần của cực trị có điều kiện Giả sử f,  khả vi trong lân cận của M0(x0, y0) và 2 2  x (M0 )   y (M0 )  0, Nếu f đạt cực trị tại M0 với điều kiện  = 0 thì tồn tại   R sao cho fx (M0 )   x (M0 )  0 ( )  fy (M0 )   y (M0 )  0   (M0 )  0  : nhân tử Lagrange
fx (M0 )   x (M0 )  0 ( )  fy (M0 )   y (M0 )  0   (M0 )  0 1.M0 thỏa hệ () gọi là điểm dừng trong bài toán cực trị có điều kiện, cũng gọi là điểm dừng của hàm Lagrange L(x,y) = f(x, y) + (x, y) 2. d(M0) = 0 ( dx và dy liên kết với nhau theo hệ thức này)
Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện Giả sử f,  có các đhr đến cấp 2 liên tục trong lân cận của M0(x0, y0) và M0 là điểm dừng của L(x,y), 2 2 2    d L(M0 )  Lxx (M0 )dx  2Lxy (M0 )dxdy  Lyy (M0 )dy 1.Nếu d2L(M0) xác định dương thì f đạt cực tiểu có điều kiện tại M0. 2.Nếu d2L(M0) xác định âm thì f đạt cực đại có điều kiện tại M0.
Các bước tìm cực trị có điều kiện hàm 2 biến Loại 1: điều kiện bậc nhất theo x, y( tìm trên đường thẳng) (x, y) = ax + by + c = 0  đưa về cực trị hàm 1 biến khi thay y theo x trong f.
Loại 2:(tổng quát) dùng pp nhân tử Lagrange L(x,y) = f(x,y) + (x,y) Lx (M0 )  0  B1: tìm điểm dừng của L(x, y) : Ly (M0 )  0   (M0 )  0 B2: xét dấu d2L tại M0 có kèm đk d(M0) = 0 •Xác định dương: cực tiểu •Xác định âm: cực đại
VÍ DỤ 1/ Tìm cực trị z  1  4 x  8y 2 2 thỏa điều kiện  ( x , y )  x  8 y 8  0 L(x,y) = f(x, y) + (x, y) = 1 – 4x – 8y + (x2 – 8y2 – 8 ) Lx  4  2 x  0   x   4, y  1,   1 / 2 Ly  8  16 y  0    2 2  x  4, y  1,   1 / 2  x  8y  8
Điểm dừng:  x  4, y  1,   1 / 2   x  4, y  1,   1 / 2   2, Lxy Lxx   16, d  2 xdx  16 ydy   0, Lyy Tại M1(- 4, 1),  = -1/2 d 2L( 4,1)  dx 2  8dy 2  d ( 4,1)  8dx  16dy  0 d 2L(4,1)  4dy 2  8dy 2  4dy 2  0  dx  2dy  M1 là điểm cực tiểu có đk của f, f(M1) = 9
  2, Lxy Lxx   16, d  2 xdx  16 ydy   0, Lyy Tại M1(4, -1),  = 1/2 d 2L(4, 1)  dx 2  8dy 2  d (4, 1)  8dx  16dy  0 d 2L( 4,1)  4dy 2  8dy 2  4dy 2  0  dx  2dy  M2 là điểm cực đại có đk của f, f(M2) = 7
2 2  ( x , y )  x  8y  8  0 z  1  4 x  8y
2/ Tìm cực trị z  xy 2 2 x y thỏa điều kiện  ( x, y )    1  0 8 2 z  xy
 x2 y 2  L ( x , y )  xy      1  8 2  Điểm dừng của L là n0 hệ:  x Lx ( x , y )  y    0  4 Ly ( x , y )  x   y  0  2 2 x   y 1  0  8 2    2,( x , y )  (2, 1) hay ( x , y )  (2,1)     2,( x , y )  (2,1) hay ( x , y )  ( 2, 1)
 x   , Lxy Lxx   1, Lyy    , d ( x , y )  dx  ydy 4 4 Tại P1(2, -1),  = 2 d 2L(P )  1 dx 2  2dy 2  2dxdy  1 2  d (P1 )  1 dx  dy  0  2 d 2L(P1 )  8dy 2  0  dx  2dy Vậy f đạt cực tiểu có đk tại P1, f(P1) = - 2. Tương tự tại P (-2, 1) 2
 x   , Lxy Lxx   1, Lyy    , d ( x , y )  dx  ydy 4 4 Tại P3(2, 1),  = - 2 d 2L(P )   1 dx 2  2dy 2  2dxdy  1 2  d (P1 )  1 dx  dy  0  2 d 2L(P1 )  8dy 2  0  dx  2dy Vậy f đạt cực đại có đk tại P3, f(P3) = 2. Tương tự tại P4(-2, -1)
3/ Tìm cực trị z  f ( x , y )  1  x 2  y 2 thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 2 x+y–1=0y=1–x  z  2x  2x Bài toán trở thành tìm cực trị của z với x (0, 1) 1  2x z( x )  2 2x  2x z’ đổi dấu từ + sang – khi đi qua x = 1/2 , nên z đạt cđại tại x = 1/2 fcd  1 / 2 Vậy f đạt cđại có điều kiện tại (x,y) = (1/2, 1/2).
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT Định lý: f liên tục trên tập compact D thì f đạt min, max trên D. Nhắc lại: tập compact là tập đóng (lấy tất cả các biên) và bị chận (có thể được bao bởi 1 hình tròn)