intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Cực trị của hàm nhiều biến - Tăng Lâm Tường Vinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST
Báo xấu
5
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Cực trị của hàm nhiều biến, cung cấp cho người học những kiến thức như Cực trị tự do; Cực trị có điều kiện; Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất; Bài toán thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Cực trị của hàm nhiều biến - Tăng Lâm Tường Vinh

  1. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C C TR C A HÀM NHI U BI N TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh Tp. H Chí Minh, 04/2020 TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 1
  2. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t N i dung 1 C c tr t do 2 C c tr có đi u ki n 3 Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t 4 Bài toán th c t TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 2
  3. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Các bư c tìm c c tr t do Cho hàm s f (x, y) xác đ nh trên mi n m D. • Bư c 1: Tìm đi m d ng fx = 0 ⇒ Pi (xi , yi ), i = 1, 2, . . . fy = 0 và nh ng đi m t i đó có đ o hàm riêng c p 1 không t n t i • Bư c 2: Tính A = fxx , B = fxy , C = fyy . • Bư c 3: Kh o sát t i t ng đi m Pi (xi , yi ) và tính ∆ = AC − B 2 ∆>0 N u thì f đ t c c ti u t i Pi (xi , yi ) A>0 ∆>0 N u thì f đ t c c đ i t i Pi (xi , yi ) A
  4. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 1 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y. TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 4
  5. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 1 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y. Gi i • Bư c 1: Tìm đi m d ng fx = 3x2 − 6x = 0 fy = 6y 2 − 6 = 0 ⇒ có 4 đi m d ng P1 (0, −1), P2 (0, 1), P3 (2, −1), P4 (2, 1). TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 4
  6. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 1 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y. Gi i • Bư c 1: Tìm đi m d ng fx = 3x2 − 6x = 0 fy = 6y 2 − 6 = 0 ⇒ có 4 đi m d ng P1 (0, −1), P2 (0, 1), P3 (2, −1), P4 (2, 1). • Bư c 2: Tìm các đ o hàm riêng c p 2 fxx = 6x − 6; fxy = 0; fyy = 12y. TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 4
  7. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 1 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y. Gi i • Bư c 1: Tìm đi m d ng fx = 3x2 − 6x = 0 fy = 6y 2 − 6 = 0 ⇒ có 4 đi m d ng P1 (0, −1), P2 (0, 1), P3 (2, −1), P4 (2, 1). • Bư c 2: Tìm các đ o hàm riêng c p 2 fxx = 6x − 6; fxy = 0; fyy = 12y. • Bư c 3: Kh o sát t i t ng đi m d ng T i P1 (0, −1): A = fxx (0, −1) = −6, B = fxy (0, −1) = 0, C = fyy (0, −1) = −12, ∆ = AC − B 2 = (−6)(−12) − 02 > 0. A0 ⇒ P1 là đi m c c đ i, fCĐ = f (0, −1) = 4 TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 4
  8. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 1 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y. Gi i T i P2 (0, 1): A = fxx (0, 1) = −6, B = fxy (0, 1) = 0, C = fyy (0, 1) = 12, ∆ = AC − B 2 = (−6)(12) − 02 < 0 ⇒ P2 không là đi m c c tr . TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 5
  9. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 1 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y. Gi i T i P2 (0, 1): A = fxx (0, 1) = −6, B = fxy (0, 1) = 0, C = fyy (0, 1) = 12, ∆ = AC − B 2 = (−6)(12) − 02 < 0 ⇒ P2 không là đi m c c tr . T i P3 (2, −1): A = fxx (2, −1) = 6, B = fxy (2, −1) = 0, C = fyy (2, −1) = −12, ∆ = AC − B 2 = (6)(−12) − 02 < 0 ⇒ P3 không là đi m c c tr . TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 5
  10. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 1 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x2 − 6y. Gi i T i P2 (0, 1): A = fxx (0, 1) = −6, B = fxy (0, 1) = 0, C = fyy (0, 1) = 12, ∆ = AC − B 2 = (−6)(12) − 02 < 0 ⇒ P2 không là đi m c c tr . T i P3 (2, −1): A = fxx (2, −1) = 6, B = fxy (2, −1) = 0, C = fyy (2, −1) = −12, ∆ = AC − B 2 = (6)(−12) − 02 < 0 ⇒ P3 không là đi m c c tr . T i P4 (2, 1): A = fxx (2, 1) = 6, B = fxy (2, 1) = 0, C = fyy (2, 1) = 12, ∆ = AC − B 2 = (6)(12) − 02 > 0. A>0 Vì ∆>0 ⇒ P4 là đi m c c ti u, fCT = f (2, 1) = −8 TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 5
  11. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 2 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 1. TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 6
  12. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 2 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 1. Gi i • Bư c 1: Tìm đi m d ng fx = 4x3 − 4y = 0 y = x3 y = x3 ⇔ 3 ⇔ fy = 4y 3 − 4x = 0 x= x3 x(x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = 0 ⇒ có 3 đi m d ng P1 (0, 0), P2 (1, 1), P3 (−1, −1). • Bư c 2: Tìm các đ o hàm riêng c p 2 fxx = 12x2 fxy = −4; fyy = 12y 2 . • Bư c 3: Kh o sát t i t ng đi m d ng T i P1 (0, 0): A = fxx (0, 0) = 0, B = fxy (0, 0) = −4, C = fyy (0, 0) = 0, ∆ = AC − B 2 = 0.0 − (−4)2 < 0 ⇒ P1 không là đi m c c tr . TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 6
  13. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr t do Ví d 2 Tìm c c tr t do c a hàm s f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 1. Gi i T i P2 (1, 1): A = fxx (1, 1) = 12, B = fxy (1, 1) = −4, C = fyy (1, 1) = 12, ∆ = AC − B 2 = (12)(12) − (−4)2 > 0 A>0 Vì ∆>0 ⇒ P2 là đi m c c ti u, fCT = f (1, 1) = −1 T i P3 (−1, −1): A = fxx (−1, −1) = 12, B = fxy (−1, −1) = −4, C = fyy (−1, −1) = 12, ∆ = AC − B 2 = (12)(12) − (−4)2 > 0 A>0 Vì ∆>0 ⇒ P3 là đi m c c ti u, fCT = f (−1, −1) = −1 TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 7
  14. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr có đi u ki n Các bư c tìm c c tr c a hàm z = f (x, y) v i đi u ki n ϕ(x, y) = 0 • Lo i 1: Đi u ki n b c nh t theo x, y (d ng đư ng th ng) ϕ(x, y) = ax + by + c = 0 ⇒ đưa v c c tr 1 bi n. • Lo i 2: D ng t ng quát L p hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) Bư c 1: Tìm đi m d ng  Lx (x, y, λ) = 0  L (x, y, λ) = 0 ⇒ Pi (xi , yi ), λi , i = 1, 2, . . .  y Lλ (x, y, λ) = ϕ(x, y) = 0  Tìm Lxx , Lxy , Lyy . Kh o sát t ng đi m d ng Pi (xi , yi ), λi d2 L(xi , yi , λi ) = Lxx (xi , yy , λi )dx2 + 2Lxy (xi , yi , λi )dxdy + Lyy (xi , yi , λi )dy 2 TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 8
  15. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr có đi u ki n Các bư c tìm c c tr c a hàm z = f (x, y) v i đi u ki n ϕ(x, y) = 0 N u d2 L(xi , yi , λi ) > 0 thì P (xi , yi ) là đi m c c ti u có đi u ki n. N u d2 L(xi , yi , λi ) < 0 thì P (xi , yi ) là đi m c c đ i có đi u ki n. N u d2 L(xi , yi , λi ) không xác đ nh d u thì P (xi , yi ) không là đi m c c tr . TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 9
  16. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr có đi u ki n Ví d 3 Tìm c c tr c a hàm f (x, y) = x + 2y v i đi u ki n x2 + y 2 = 5. TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 10
  17. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr có đi u ki n Ví d 3 Tìm c c tr c a hàm f (x, y) = x + 2y v i đi u ki n x2 + y 2 = 5. Gi i Tìm đi m d ng c a hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y)  1  x = − 1 + 2xλ = 0   2λ 1    2 + 2yλ = 0 ⇔ y=−   λ 2 2 x +y =5    − 1 2 + −1 2 1 1   =5⇔λ=− ∨λ= 2λ λ 2 2 1  P1 (1, 2) ng v i λ = − 2 ⇒ ta có 2 đi m d ng là   1 P2 (−1, −2) ng v i λ = . 2 TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 10
  18. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr có đi u ki n Lxx = 2λ, Lxy = 0, Lyy = 2λ. Kh o sát t ng lo i đi m d ng. 1 T i P1 (1, 2) ng v i λ = − ta có 2 2 1 1 2 1 1 2 d L 1, 2, − = Lxx 1, 2, − dx + 2Lxy 1, 2, − dxdy + Lyy 1, 2, − dy 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2λdx + 2λdy = −dx − dy < 0 Do đó t i P1 hàm f (x, y) đ t c c đ i có đi u ki n. TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 11
  19. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t C c tr có đi u ki n Lxx = 2λ, Lxy = 0, Lyy = 2λ. Kh o sát t ng lo i đi m d ng. 1 T i P1 (1, 2) ng v i λ = − ta có 2 2 1 1 2 1 1 2 d L 1, 2, − = Lxx 1, 2, − dx + 2Lxy 1, 2, − dxdy + Lyy 1, 2, − dy 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2λdx + 2λdy = −dx − dy < 0 Do đó t i P1 hàm f (x, y) đ t c c đ i có đi u ki n. 1 T i P2 (−1, −2) ng v i λ = ta có 2 2 1 1 2 1 1 2 d L −1, −2, = Lxx −1, −2, dx + 2Lxy −1, −2, dxdy + Lyy −1, −2, dy 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2λdx + 2λdy = dx + dy > 0 Do đó t i P2 hàm f (x, y) đ t c c ti u có đi u ki n. TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 11
  20. C c tr t do C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Bài toán th c t Giá tr l n nh t - Giá tr nh nh t Đ nh lý N u hàm s z = f (x, y) liên t c trên mi n đóng, b ch n D ⊂ R2 thì f có GTLN, GTNN trên D. TĂNG LÂM TƯ NG VINH Gi i tích 2 C C TR C A HÀM NHI U BI N 12
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2